Bài toán M2429—M2435; F2435—F2442

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 4–2016” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2429” hoặc “F2435”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2429–M2432, M2433a, M2434, M2435 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic Toán toàn Nga XLII dành cho học sinh. Bài toán F2440 đã được trao tại Olympic quốc tế XXIII “Tuymaada” (vật lý).

Bài toán M2429–M2435, F2435–F2442

M2429. Có 30 đội trong Hiệp hội Bóng rổ Quốc gia, mỗi đội chơi 82 trận đấu thường xuyên trong mùa giải với các đội khác mỗi năm. Liệu ban quản lý Hiệp hội có thể chia các đội (không nhất thiết phải bằng nhau) thành các giải Đông và Tây và lên lịch thi đấu sao cho các trận đấu giữa các đội từ các giải khác nhau chiếm đúng một nửa tổng số trận đấu? A. Gribalko

M2430. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chín (không nhất thiết phải khác nhau) tạo thành các số có chín chữ số; Mỗi chữ số được sử dụng đúng một lần trong mỗi số. Số số 0 lớn nhất có thể tận cùng bằng tổng của chín số này là bao nhiêu? N. Agakhanov

M2431. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với các cạnh của góc BAC tại các điểm B và C. Đường thẳng l cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm K và L. Đường tròn $\omega$ cắt l tại các điểm P và Q. Chọn các điểm S và T trên đoạn BC sao cho KS P AC và LT P AB. Chứng minh rằng các điểm P, Q, S, T cùng thuộc một đường tròn. I. Bogdanov, P. Kozhevnikov

M2432. Hình vuông được chia thành $n^{2} \ge 4$ hình chữ nhật $2 ( n - 1 )$ bằng các đường thẳng, trong đó n – 1 song song với một cạnh của hình vuông, n – 1 còn lại song song với cạnh kia. Chứng minh rằng có thể chọn 2n hình chữ nhật có phân vùng sao cho với hai hình chữ nhật được chọn bất kỳ, một trong số chúng có thể được đặt bên trong hình chữ nhật kia (có thể xoay trước). S. Berlov

M2433. Cho một đa thức bậc ba f(x). Hãy gọi một chu trình là bộ ba số phân biệt ( a, b, c ) sao cho f ( a ) = b, f ( b ) = c và f ( c ) = a. Được biết, họ đã được tìm thấy

tám chu kỳ $( a_{i}, b_{i}, c_{i} ), i = 1, 2,$…, 8, bao gồm 24 số khác nhau. Chứng minh rằng trong tám số có dạng $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ có ít nhất: a) ba số khác nhau; b) bốn cái khác nhau. A. Golovanov, F. Petrov

M2434. Đường tròn $\omega$ nội tiếp tam giác ABC có AB < AC. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác này tiếp xúc với cạnh BC tại $A '$. Điểm X được chọn trên đoạn $A ' A$ sao cho đoạn $A ' X$ không cắt nhau $\omega$. Các tiếp tuyến từ X đến $\omega$ cắt đoạn BC tại các điểm Y và Z. Chứng minh rằng tổng XY + XX không phụ thuộc vào việc chọn điểm X. I. Mitrofanov

M2435. Một điểm X được chọn bên trong một hình 100 lồi không nằm trên bất kỳ cạnh hoặc đường chéo nào của nó. Ban đầu, các đỉnh của đa giác không được đánh dấu. Petya và Vasya thay phiên nhau đánh dấu các đỉnh chưa được đánh dấu của 100-gon, Petya bắt đầu và đánh dấu hai đỉnh cùng một lúc bằng nước đi đầu tiên của mình, sau đó mỗi người đánh dấu một đỉnh bằng nước đi tiếp theo. Người thua cuộc là người có điểm di chuyển X nằm bên trong đa giác có các đỉnh được đánh dấu. Chứng minh rằng Petya có thể giành chiến thắng dù Vasya di chuyển thế nào. S. Berlov, F. Petrov

F2435. Một hòn đá được ném với vận tốc ban đầu $v_{0}$ một góc $\alpha$ so với phương ngang và nó luôn di chuyển ra xa điểm ném. Ở góc độ nào $\alpha$ điều này có thể thực hiện được? Không có ma sát. A.Zilberman

F2436. Cầu nối hai bờ sông trong mặt cắt có dạng vòng cung lồi hướng lên trên có bán kính R = 200 m. Khoảng cách giữa các trụ đỡ cuối cùng của cầu trên bờ sông là R/2 = 100 m. Con đường bên bờ êm ả hòa vào mặt cầu. Tre- hệ số