Задачи М2429—М2435; Ф2435—Ф2442

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №4–2016» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2429» или «Ф2435». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2429–М2432, М2433а, М2434, М2435 предлагались на заключительном этапе XLII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задача Ф2440 предлагалась на XXIII Международной олимпиаде «Туймаада» (физика).

Задачи М2429–М2435, Ф2435–Ф2442

M2429. В Национальной баскетбольной ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на восточную и западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей? А.Грибалко

M2430. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел? Н.Агаханов

M2431. Окружность $\omega$ касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность $\omega$ пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что KS P AC и LT P AB. Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности. И.Богданов, П.Кожевников

M2432. Квадрат разбит на $n^{2} \ge 4$ прямоугольников $2 ( n - 1 )$ прямыми, из которых n – 1 параллельны одной стороне квадрата, а остальные n – 1 – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для любых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув). С.Берлов

M2433. Дан кубический многочлен f ( x ). Назовем циклом тройку различных чисел ( a, b, c ) таких, что f ( a ) = b, f ( b ) = c и f ( c ) = a. Известно, что нашлись

восемь циклов $( a_{i}, b_{i}, c_{i} ), i = 1, 2,$ …, 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ есть хотя бы: а) три различных; б) четыре различных. А.Голованов, Ф.Петров

M2434. Окружность $\omega$ вписана в треугольник ABC, в котором AB < AC. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке $A '$. Точка X выбирается на отрезке $A ' A$ так, что отрезок $A ' X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведенные из X к $\omega$, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма XY + XZ не зависит от выбора точки X. И.Митрофанов

M2435. Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают еще не отмеченные вершины 100-угольника, причем Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася. С.Берлов, Ф.Петров

Ф2435. Камень бросают с начальной скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к горизонту, и он всегда удаляется от точки броска. При каких углах $\alpha$ это возможно? Трения нет. А.Зильберман

Ф2436. Мост между берегами реки в профиль имеет форму выпуклой вверх дуги радиусом R = 200 м. Расстояние между крайними опорами моста на берегах реки составляет R/2 = 100 м. Дорога на берегах плавно сопрягается с поверхностью моста. Коэффициент тре-