XXII Турнир математических боёв имени А. П. Савина

23

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

XXII Турнир математических боев имени А.П.Савина

XXII Турнир имени А.П.Савина прошел с 26 июня по 2 июля 2016 года на базе отдыха «Берендеевы Поляны» (Костромская область) для школьников, закончивших 6–9 классы. Подробнее об этих турнирах мы писали, например, в «Кванте» №1 за 2015 год. С вопросами об участии обращайтесь к председателю оргкомитета А.Д.Блинкову по электронной почте [email protected].

Избранные задачи

1 (7). Стопку из девятнадцати листов бумаги согнули пополам и сшили двумя маленькими скрепками так, что получилась тетрадка. На «обложке» Саша нарисовал вертикальные и горизонтальные линии (от края до края, не задевая скрепок). Когда он разрезал тетрадку по этим линиям, она распалась на 2016 отдельных частей. Какое наименьшее количество линий мог провести Саша? А.Хачатурян

2 (7–8). Начав с некоторого натурального числа, Петя каждым шагом увеличивает или уменьшает его на какую-нибудь из его цифр (возможно, на цифру 0), строго чередуя сложение и вычитание. Первая операция – сложение. Из какого наименьшего натурального числа Петя может так получить 2016? А.Шаповалов

3 (8). В квадрат АВСD вписана окружность, которая касается сторон АВ и AD в точках K и М соответственно. Прямая CK вторично пересекает окружность в точке N. Найдите угол BMN. М.Волчкевич

4 (8). В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса $BB '$. Точка N – пересечение описанной окружности треугольника ABB $'$ и внешней биссектрисы угла A, точка M – пересечение описанной окружности треугольника $BB ' C$ и внешней биссектрисы угла C. Прямая NM пересекает отрезок $BB '$ в точке K. Докажите, что описанные окружности треугольников ANK и CMK пересекаются на $BB '$. Л.Попов

В скобках после номера задачи указаны классы, в которых она предлагалась.

5 (8). В равностороннем выпуклом шестиугольнике шесть диагоналей между собой равны. Обязательно ли равны между собой все его углы? М.Евдокимов

6 (7–8). Можно ли разрезать куб на кубики 2016-ти различных размеров так, чтобы кубиков каждого размера было поровну? А.Шаповалов, И.Раскина

7 (7). Какое наименьшее количество полей шахматной доски нужно испачкать смолой, чтобы на чистые клетки нельзя было поставить пять не бьющих друг друга ладей? Е.Бакаев

8 (7–8). Клетки доски размером $10 \times 10$ заполнены числами. Четырехклеточный уголок назовем упорядоченным, если в этом уголке каждое из двух чисел, имеющих двух соседей, больше одного из своих соседей и меньше другого. Какое наибольшее количество упорядоченных уголков (возможно, перекрывающихся) может оказаться на доске? Е.Бакаев

9 (6–7). На столе лежит кучка из 55 орехов. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо разделить одну из имеющихся кучек на две меньшие и добавить еще две кучки орехов, равные одной из полученных (запас дополнительных орехов неограничен). Кто не может сделать ход, платит штраф. Сможет ли кто-то из мальчиков играть так, чтобы наверняка не платить штраф? А.Шаповалов

10 (8). Равносторонний треугольник со стороной N разбит линиями, параллельными сторонам, на равносторонние треугольники со стороной 1. В вершине исходного треугольника стоит фишка. Петя и Вася играют в игру (начинает Петя). Каждым своим ходом разрешается сдвинуть фишку в соседний (находящийся на расстоянии 1) узел треугольной сетки, в котором фишка до этого не была. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из мальчиков может гарантировать себе победу? Р.Крутовский

Материал подготовил А. Блинков