Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 1—5

Квант 2016, №4с. 24Тег 9N6X

24

КВАНТ 2016/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 7–9»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7-9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Высылайте решения задач, с которыми справитесь, не позднее 1 декабря 2016 года электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Желаем успеха!

  1. Можно ли разложить несколько яблок по 10 тарелкам так, чтобы на любых двух тарелках было вместе либо 5, либо 8, либо 11 яблок, и все три варианта встречались? Если да, то сколько всего могло быть яблок? Укажите все возможности. О.Зайцева-Иврии

  2. В трапеции ABCD точка M – середина боковой стороны CD. Докажите, что если точка M лежит на биссектрисе угла A, то она лежит и на биссектрисе угла B. Е.Бакаев

прежнем месте. Обязательно ли каждая вершина куба оказалась там, где была вначале? б) Тот же вопрос для правильного тетраэдра (все четыре грани – равносторонние треугольники). Фольклор

  1. а) У каждого из 12 пиратов есть некоторое количество золотого песка. Они могут встречаться по двое или по трое; при встрече весь имеющийся у участников встречи песок делится поровну. Докажите, что пираты могут добиться, чтобы после нескольких встреч у всех было поровну песка.

  2. Четыре логика A, B, C и D сидят за круглым столом в таком порядке (если двигаться по часовой стрелке). Девять карт одной масти (шестерка, семерка, …, король, туз) перемешали и четыре из них раздали логикам (каждому по карте). Все логики знают это, но каждый видит лишь свою карту. Логикам задали один и тот же вопрос: «Ваша карта старше, чем у вашего соседа справа?» После этого A, B, C и D по очереди (именно в таком порядке) сказали «не знаю». Какая карта у D? (Логики слышат ответы друг друга.) М.Евдокимов

  3. а) Куб перекатывают по плоскости, поворачивая его вокруг ребер (без проскальзывания). После нескольких перекатываний куб оказался в точности на

Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

б) Верно ли аналогичное утверждение для 13 человек, если разрешается встречаться в любом составе, только не всем вместе, и делить песок поровну? Фольклор