[Thông báo về việc bắt đầu tuyển sinh lớp 5 vào VZMSH]

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi dành cho lời giải toán học bài toán. Chúng chủ yếu nhắm đến học sinh từ lớp 7 đến lớp 9, nhưng chúng tôi hoan nghênh học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: [email protected] hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest

21. Chúng ta hãy viết theo thứ tự tăng dần tất cả các phân số dương tối giản nhỏ hơn 1, mẫu số của chúng thay đổi từ 2 đến 2018. Trung bình số học của các phân số này là bao nhiêu? G. Galperin

22. Cho một tam giác nhọn tùy ý. a) Hãy chỉ ra cách cắt hình đó thành sáu hình tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau. b) Chứng minh rằng có nhiều cách thực hiện điều này. E. Bakaev

23. Số tam giác là số bằng tổng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến một số tự nhiên nào đó. Dưới đây là một số số tam giác đầu tiên: 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + + 3 + 4 = 10, v.v. Petya, khi khám phá các tính chất của chúng, đã đưa ra hai định lý: I. Nếu tổng của hai số tam giác

Xin độc giả chú ý! Bắt đầu từ năm 2018, khoa Toán của VZMSH mở tuyển sinh lớp 5. Việc đào tạo sẽ diễn ra trên nền tảng điện tử. Chúng tôi bổ sung danh sách bài toán của bài mở đầu bằng các bài tập dành cho học sinh lớp 5. 13. (5) Amy, Ben và Chris xếp hàng. Nếu biết Amy ở bên trái Ben và Chris ở bên phải Amy thì nhận định nào sau đây chắc chắn đúng? 1. Ben ở ngoài cùng bên trái. 2. Chris ở ngoài cùng bên phải. 3. Amy đứng ở giữa. 4. Amy ở ngoài cùng bên trái. 5. Không có câu nào ở trên là đúng.

là lũy thừa của hai thì hiệu của chúng là lũy thừa của hai. II. Nếu hiệu của hai số tam giác là lũy thừa của hai thì tổng của chúng cũng là lũy thừa của hai. Ít nhất một trong những định lý này có đúng không? Hoặc có thể cả hai đều đúng? I. Akulich

24. Sân của trò chơi “Sea Battle” là một hình vuông có kích thước 10 ¥ 10, ở tất cả các góc đều có 2 ¥ 2 hình vuông được cắt ra. Số lượng lớn nhất các tàu ba tầng (tức là hình chữ nhật gồm ba ô) có thể được đặt trên sân này sao cho không có hai tàu nào chạm vào các góc? Hình chữ nhật chỉ có thể được đặt dọc theo đường lưới. S. Kostin

25. (5) Ông bà Smith kết hôn cách đây 18 năm. Ông Smith khi đó lớn hơn vợ gấp ba lần. Nhưng hôm nay tuổi anh chỉ gấp đôi tuổi cô. Bà Smith bao nhiêu tuổi khi kết hôn? 15. (5) Albert Einstein thử nghiệm hai chiếc đồng hồ khác thường. Cả hai chiếc đồng hồ đều có mặt số 24 giờ. Một số đồng hồ chạy nhanh gấp đôi bình thường. Đồng hồ kia chạy ở tốc độ bình thường, nhưng ngược lại. Đồng thời, cả hai đều hiển thị thời gian chính xác là 13h. Những đồng hồ này trùng nhau vào những thời điểm nào?

44

KVANT 2018/№2

khoảng cách giữa chúng là bao nhiêu và khoảng cách tối đa giữa chúng trong quá trình chuyển động là bao nhiêu. $(6,2)^{1}$ M. Zamyatnin

dưới ranh giới của cột chất lỏng trong nhiệt kế. Giải thích cách bạn có được đáp số. (1.7) M. Zamyatnin

Bài toán 2. Khối lập phương có lỗ Nếu bạn tạo một lỗ có hình lập phương trong khối lập phương có khối lượng $m_{0} = 1,6$ kg thì khối lập phương đó sẽ có khối lượng $m_{1} = 1,2$ kg (Hình 1). Nếu lỗ này

Bài toán 4. Từ đầy đến trống-1 Trong một khay hình chữ nhật có cạnh a = 30 cm, b = 20 cm và chiều cao cạnh $h_{0} = 10$ cm, có các bình hình trụ có diện tích đáy $S 100 см^{2}$ mỗi bình (Hình 3). Chiều cao của bình thứ nhất là $h_{0}$, và bình thứ hai là $5h_{0}$. Một ống mỏng có vòi K được luồn vào một bình cao qua một lỗ trên thành.

Hình 1

đổ đầy nước thì khối lượng của hình lập phương bằng $m_{2} = 1,7$ kg. Xác định khối lượng riêng U của vật liệu làm nên khối lập phương đó. Mật độ của nước là $U_{в} 1,0$ g $см^{3}$. (8.5) V. Slobodyanin

Bài toán 3. Nhiệt kế nhanh Hình 2 thể hiện thang đo của bốn nhiệt kế. Xác định cái nào có chúng

Hình 3

Hình 2

giá chia lớn nhất và nó bằng bao nhiêu. Nhiệt kế nào hiện nay cho nhiệt độ cao nhất và bằng bao nhiêu? Nhiệt kế được mang vào phòng. Sau một giờ, nhiệt độ trong đó bắt đầu tăng dần và ở những khoảng thời gian bằng nhau với cùng một lượng. Xác định tốc độ tối đa tối đa và tối thiểu sẽ khác nhau bao nhiêu lần

1 Trong ngoặc đơn sau điều kiện bài toán, điểm trung bình của những người giải được câu hỏi này bài toán được biểu thị. Mỗi bài toán có ​​giá trị 10 điểm.

đầu thứ hai nằm trên thành của một chiếc bình thấp. Ở vị trí này ống nằm ngang. Nhờ có thiết bị U nên khi mở vòi, mực nước trong bình cao giảm với tốc độ không đổi v = 1,0 mm/s. Ban đầu, không có nước trong bình thấp và chảo, mực nước trong bình cao là $5h_{0}$. Tại thời điểm t = 0 vòi được mở. Vẽ đồ thị mực nước z trong bể theo thời gian t sau khi mở vòi. Đánh dấu các giá trị z và t trên các trục đồ thị tại các điểm đặc trưng (điểm ngắt, điểm cực đại hoặc cực tiểu). (1.9) S. Karmazin

lớp 8

Bài toán 1. Nông thôn trung bình Chiếc ô tô dành thời gian di chuyển từ thành phố này sang làng khác với tốc độ không đổi. Trên đường về, người lái xe chạy nhanh hơn và đến thành phố trong một nửa thời gian.

45

Thế Vận Hội

thời gian cổ. Hỏi ô tô sẽ đi từ thành phố đến làng trong bao lâu nếu người lái xe duy trì tốc độ bằng tốc độ trung bình của mình trên cả quãng đường? (7.6) M. Zamyatnin

Bài toán 2. Mùa đông và mùa hè… Người thí nghiệm Gluck nhận thấy rằng vào đầu mùa đông, số đọc của hai nhiệt kế đường phố (một được hiệu chỉnh theo độ C, một theo độ F), trùng nhau về giá trị tuyệt đối, có các dấu khác nhau: 11,5 q C và 11,5 q F. Khi có sương giá nghiêm trọng, số đọc của nhiệt kế lại trùng khớp, nhưng bây giờ đã có dấu: 40 q C và 40 q F. Xác định nhiệt độ của nhiệt kế hiển thị bằng độ C khi số đọc của giây là 40 q F. (5.0) M. Zamyatnin

Bài toán 3. Hỗn hợp bi Trong phòng thí nghiệm đo nhiệt lượng, một loạt thí nghiệm đã được thực hiện trên việc nung nóng những quả bóng thép có hai khối lượng khác nhau. Bảng 1

Bảng 1 cho thấy các giá trị thay đổi nhiệt độ của các quả bóng tùy thuộc vào lượng nhiệt Q cung cấp cho chúng. Thật không may, do thiếu kinh nghiệm, trợ lý phòng thí nghiệm đã nhập dữ liệu của các quả bóng khác nhau vào một bảng. Sau khi xây dựng một biểu đồ, hãy xác định khối lượng của các quả bóng khác nhau bao nhiêu lần và tìm ra kết quả nào rõ ràng nên bị người thí nghiệm loại bỏ do nhầm lẫn. (7.1) M. Zamyatnin

Bài toán 4. Từ đầy đến cạn-2 Xem điều kiện bài toán 4 cho lớp 7, nhưng nhiệm vụ và điều kiện bổ sung khác nhau: Vẽ đồ thị áp suất p do bình thấp tác dụng lên đáy chảo theo thời gian t sau khi mở vòi. Đánh dấu trên trục đồ thị các giá trị p và t trong

điểm đặc trưng - phá vỡ, tối đa hoặc tối thiểu. Đáy chảo thô ráp. (2.4)

lớp 9

Bài toán 1. Cầu Tàu đi vào cầu với tốc độ $v_{0}$. Nếu anh ta tăng tốc trên cầu với gia tốc a thì anh ta sẽ qua cầu trong thời gian $t_{1} = 30$ s, nếu anh ta phanh với cùng gia tốc thì anh ta sẽ qua cầu trong thời gian $t_{2} = 60$ s. Sẽ mất bao lâu $t_{3}$ để tàu qua cầu khi chuyển động đều với vận tốc $v_{0}$? (6.3) M. Zamyatnin

Bài toán 2. Cân bằng-1 Hệ thống bao gồm một số vật nặng được treo trên các sợi không trọng lượng, được ném qua các khối không trọng lượng và một khối lớn (được tô màu) (Hình 4). Khối lượng m = 1 kg. Xác định giá trị nào của khối lượng $m_{1}$ và $m_{2}$ thì hệ sẽ ở trạng thái cân bằng. Không có ma sát trong trục của khối. (3.9) M. Zamyatnin

Bài toán 3. Khối hai trong một Khối 1, có nhiệt độ $начальную_{Рис.} 4$ t 70 q C, được hạ xuống nhiệt lượng kế, đổ đầy một phần nước ở nhiệt độ $t_{0} 10 q C$. Sau khi ngừng trao đổi nhiệt, nhiệt độ của chất chứa trong nhiệt lượng kế đạt $t_{1} 25 q C$. Nếu thay vì khối 1, khối 2, được nung nóng đến cùng nhiệt độ t, được hạ xuống nhiệt lượng kế, thì sau khi ngừng trao đổi nhiệt, nhiệt độ của chất chứa trong nhiệt lượng kế sẽ đạt $t_{2} 35 q C$. Nhiệt độ của vật chứa trong nhiệt lượng kế sẽ tăng đến nhiệt độ nào $t_{3}$ nếu cả hai khối được nung nóng đến nhiệt độ t được hạ xuống cùng một lúc? Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường. Nước không chảy ra khỏi nhiệt lượng kế. (4.8) M. Zamyatnin

Bài toán 4. Cô lập phi tuyến Trong phòng thí nghiệm điện động lực học tuyến tính, nhà thực nghiệm Gluck đã nghiên cứu điện áp

47

Thế Vận Hội

áp suất $D p_{2} p_{1}$ tính từ thời điểm t sau khi mở vòi $( p_{1}$ – áp suất của bình thấp lên đáy chảo, $p_{2}$ – áp suất của bình cao lên đáy chảo). Đánh dấu các giá trị của D và t trên trục đồ thị tại các điểm đặc trưng - ngắt, tối đa hoặc tối thiểu. Đáy bình và khay được đánh bóng cẩn thận để nước không rò rỉ xuống dưới bình. (3.4)

nhiệt độ $T_{0}$ đến nhiệt độ $2T_{0}$, kết quả là nó phân ly hoàn toàn thành các nguyên tử. Trong trường hợp này, mức độ phân ly khí (tỷ lệ phân tử phân rã) trong phạm vi quy định tỷ lệ thuận với nhiệt độ của nó. Vẽ quá trình này theo các trục p–V, V–T và Q p, trong đó p, V, T và Q lần lượt là áp suất, thể tích, nhiệt độ và lượng chất. (1.9) M. Zamyatnin

lớp 11

Bài toán 4. Khối lập phương trong từ trường Một khung dây hình lập phương được đặt trong một từ trường đều, mô đun cảm ứng của nó thay đổi theo thời gian theo định luật $B_{м} kt$, trong đó k > 0. Điện trở của tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng R mỗi cạnh. Độ dài cạnh a. Xác định chiều và cường độ dòng điện chạy qua mỗi gân. Xét các trường hợp vectơ cảm ứng từ trường: a) song song

Bài toán 1. Những quả bóng vướng víu Trong phòng thí nghiệm đạn đạo, người ta đã nghiên cứu sự phụ thuộc của các giá trị vận tốc v của một quả bóng được thả theo phương thẳng đứng hướng lên trên từ một máy phóng nhỏ đặt trên bàn ở độ cao h so với mặt bàn. Thật không may, vội vàng đến bảng 4 với kết quả

Bảng 4 về các phép đo trải chiếu tatami bao gồm dữ liệu của hai quả bóng khác nhau. Xác định dữ liệu nào liên quan đến quả bóng này và dữ liệu nào liên quan đến quả bóng kia. Để thực hiện việc này, hãy xây dựng một biểu đồ có kết quả đo theo tọa độ mà nó phải là tuyến tính. Tính xem độ cao nâng tối đa của các quả bóng phía trên bàn chênh nhau bao nhiêu lần. Xác định thời gian bay của quả bóng. Gia tốc trọng trường g 9,8 m $с^{2}$. (2.8) M. Zamyatnin

Bài toán 2. Cân bằng-3 Xem bài toán 2 cho lớp 9, và hình không phải là 4 mà là 7. (5,3)

Hình 7

Bài toán 3. Sự phân ly Một khí hai nguyên tử lý tưởng, nằm trong một bình kín có thể tích $V_{0}$, được nung nóng từ nhiệt độ

Hình 8

gắn vào xương sườn AE (Hình 8,a); b) song song với đường chéo nhỏ AC (Hình 8, b). (2.1) I.Iogolevich

Bài toán 5. Từ đầy đến hết-5 Xem điều kiện bài toán 4 cho lớp 7 nhưng nhiệm vụ và điều kiện bổ sung khác nhau: Vẽ đồ thị tỉ số áp suất $D_{2} p_{2} p_{1}$ so với thời gian sau khi mở vòi $( p_{1}$ là áp suất của bình thấp, và $p_{2}$ là áp suất của bình cao ở đáy chảo). Đánh dấu trên trục đồ thị các giá trị của D và t tại các điểm đặc trưng - ngắt, tối đa hoặc tối thiểu. Đáy chảo thô ráp. (3.6) Ấn phẩm do V. Slobodyanin biên soạn