Lời giải bài toán M2490—M2492; F2497—F2500

20

KVAN T 2018/№3

Cơm. 2

Lượng nước tiêu thụ Nom $Q_{0}$ (tính bằng l/s) liệu toàn bộ nước có rơi vào chai không? Gia tốc trọng trường g = 9,8 m $с^{2}$. Coi dòng nước chảy êm đềm (tầng). Bỏ qua ảnh hưởng của không khí thoát ra khỏi chai trong quá trình đổ nước vào chai.$^{1}$ D. Medvedev

F2511. Có 10 chai đựng chất lỏng giống hệt nhau. Chúng được lưu trữ bên trong một hộp mà nhiệt không thoát ra bên ngoài. Để bảo quản tốt hơn, mỗi chai nên được đun nóng trong một thời gian đến nhiệt độ $+ 90 \infty C$. Để làm điều này, chúng ta lấy chai thứ nhất và đun nóng nó đến nhiệt độ cần thiết, tiêu tốn một lượng nhiệt Q = 30 kJ. Sau đó, họ đặt nó vào trong hộp và đợi cho đến khi nhiệt độ của tất cả các chai được cân bằng do trao đổi nhiệt. Sau đó, họ lấy chai thứ hai và thực hiện quy trình tương tự với nó, bao gồm cả việc cân bằng nhiệt độ sau đó, v.v. Cần bao nhiêu nhiệt lượng để hâm nóng chai thứ mười? V. Borovkov

F2512. Một chiếc bình gỗ hình trụ (Hình 3) nổi trong nước, ngập 0,2 độ cao khi nó rỗng và 0,95 độ cao khi nó chứa đầy nước. Khối lượng riêng của gỗ làm chiếc bình nhỏ hơn khối lượng riêng của nước bao nhiêu lần? V.Batkin

Cơm. 3

Lời giải bài toán M2490–M2492, F2497–F2500

M2490. Có 100 cánh cửa, mỗi cánh cửa đều có chìa khóa riêng (chỉ mở được cánh cửa đó).

1 Ví dụ, vì ở bức tường bên

Chai có lỗ thoát khí. (Ghi chú của biên tập viên)

Cửa được đánh số 1, 2, ……, 100, chìa khóa cũng được đánh số, nhưng có lẽ có sai số: số chìa khóa trùng với số cửa hoặc khác 1. Trong một lần thử, bạn có thể chọn bất kỳ chìa khóa nào, cửa nào và kiểm tra xem chìa khóa này có khớp với cửa này không. Có thể tìm ra chiếc chìa khóa nào mở được cánh cửa nào một cách đáng tin cậy hay không bằng cách thực hiện không quá: a) 99 lần thử; b) 75 lần thử; c) 74 lần thử?

Đáp số. a), b) Có thể; c) điều đó là không thể được. a) Chúng ta thử xem chiếc chìa khóa đầu tiên có khớp với cánh cửa đầu tiên không. Nếu có thì khóa đầu tiên sẽ được nhận dạng. Nếu không thì đi vào cửa thứ hai, chìa khóa thứ hai sẽ đi vào cửa thứ nhất. Trong trường hợp này, hai khóa được xác định. Chúng tôi lấy chiếc chìa khóa không xác định tiếp theo ở bên trái, kiểm tra nó trên cánh cửa tương ứng và nhận ra ít nhất một chiếc chìa khóa. Nếu sau 99 lần thử như vậy mà vẫn không nhận ra thứ gì đó thì đây là chiếc chìa khóa cuối cùng và chỉ còn một cánh cửa cho nó. b) Chúng ta thử xem chiếc chìa khóa thứ ba có khớp với cánh cửa thứ ba không. Nếu nó phù hợp thì chúng ta có thể tìm ra hai chìa khóa đầu tiên trong một lần thử. Tổng cộng, ba khóa đầu tiên đã được xác định sau hai lần thử. Nếu anh ta không đến thì chúng ta thử xem anh ta có đến cửa thứ hai không. Nếu vậy thì chìa khóa thứ nhất chỉ có thể vừa với cánh cửa thứ nhất, còn chìa khóa thứ hai chỉ có thể vừa với cánh cửa thứ ba. Một lần nữa, trong hai lần thử, ba chìa khóa đầu tiên đã được xác định. Nếu anh ta không lên nữa thì anh ta sẽ đi đến cánh cửa thứ tư. Hai chiếc chìa khóa đầu tiên chỉ có thể mở được hai cánh cửa, do đó cánh cửa thứ ba được mở bằng chiếc chìa khóa thứ tư. Chúng ta sẽ tìm ra hai chiếc chìa khóa và cánh cửa đầu tiên trong một lần thử. Trong trường hợp này, bốn khóa đã được xác định trong ba lần thử. Chúng tôi lặp lại quá trình: thử chiếc thứ ba từ chiếc chìa khóa không xác định bên trái đến cánh cửa tương ứng. Chúng tôi nhận ra ba khóa trong hai lần thử hoặc bốn khóa trong ba lần thử. Nếu chúng tôi không thể hoàn thành bước này được nữa thì tức là chỉ còn lại ít hơn ba khóa không được nhận dạng. Chúng tôi sẽ xử lý hai khóa trong một lần thử và với một khóa – không lần thử nào.

22

KVAN T 2018/№3

đường thẳng (khi đó, ngoài điểm O, các đường tròn này thực tế còn có một điểm chung nữa - đối xứng với điểm O so với đường tâm). Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $B_{0} OB$ nằm tại giao điểm của các đường phân giác vuông góc với các đoạn OB và $OB_{0}$ (Hình 2).

Cơm. 2

Đồng đẳng tâm O hệ số 2 sẽ lấy tâm đường tròn $B_{0} OB$ đến điểm B c giao điểm AC và tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ qua điểm B. Điểm A c và C c được xác định tương tự. Tất cả những gì chúng ta phải làm là chứng minh rằng các điểm A c, B c và C c nằm trên cùng một đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Ví dụ, điều này rút ra từ trường hợp suy biến của định lý Pascal (cho sáu điểm A, A, B, B, C, C). Một cách khác là xét tam giác tạo bởi các tiếp tuyến AA c, BB c, CC c và áp dụng định lý Desargues cho tam giác này và tam giác ABC. Bài toán đã giải quyết. Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng bài toán cũng có thể được giải bằng máy tính (ví dụ: sử dụng định lý Ceva ở dạng sin), mặc dù chúng tôi không biết một lời giải hoàn toàn đơn giản. Như một bài tập, chúng tôi đề xuất chứng minh rằng đối với một tam giác cân (không phải tam giác đều), các đường thẳng $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ cắt nhau tại một điểm đối xứng với giao điểm của các đường trung tuyến so với đáy. T. Kovalev, A. Lvov

F2497. Điều kiện sau bài toán đã được công bố trên tạp chí “Vật lý ở trường”: “Một vật rơi tự do với gia tốc g = 10 m $с^{2}$ sau một thời gian

Sau khi bắt đầu chuyển động, tôi thấy mình ở độ cao $h_{1} = 300$ m so với mặt đất, và sau một thời gian khác ’ t = 10 s - ở độ cao $h_{2} = = 120$ m so với mặt đất. Vật rơi từ độ cao bao nhiêu? Và đáp số này đã được đưa ra: “H = 1531 m.” Tìm hai lỗi chính tả (mỗi lỗi một ký tự) trong tài liệu đã xuất bản.

Rõ ràng là các giá trị số đã cho không hề khớp với nhau. Giả sử độ cao $h_{1}$ và $h_{2}$ là đúng thì thời gian ’t không thể bằng 10 s. Nhưng nếu chúng ta giả sử rằng trong số ’ t thiếu dấu phẩy giữa các ký hiệu “1” và “0”, tức là thời gian chính xác là 1,0 s, thì đáp số phải là 1831 m. Chà, lỗi đánh máy thứ hai đã được tìm thấy: chiều cao ban đầu xấp xỉ không phải là 1531 m mà là 1831 m! Nói cách khác, thay vì ký hiệu “8” thì ký hiệu “5” đã bị đặt nhầm. U. Strashnov

F2498. Thành chai nhựa đựng đồ uống có ga cao có thể chịu được áp suất (từ bên trong) p = = 10 atm. Người ta đổ nitơ lỏng V/2 vào một chai như vậy có dung tích V = 1 lít, đậy nắp chai và đặt trên mặt đường nhựa, bên trên đậy chai bằng một thùng thiếc rỗng dung tích 10 lít và khối lượng 1 kg. Sau một thời gian, một vụ nổ xảy ra. Xô đã nhận được 1% nội năng của khí bên trong chai trước khi nổ. Ước tính chiều cao của thùng trên điểm bắt đầu. Điểm sôi của nitơ lỏng ở áp suất p = 10 atm xấp xỉ T = 100 K. Mật độ U của nitơ lỏng xấp xỉ bằng mật độ của nước U trong = 1 g $см^{3}$.

Chúng ta sẽ giả định rằng toàn bộ oxy là một phần của không khí trong chai đã ngưng tụ và chỉ có nitơ ở trạng thái khí trong chai 0,5 lít trước khi nổ. Nitơ này sau khi đổ nitơ lỏng vào chai sẽ nguội đi một cách tự nhiên và đóng góp của nó vào áp suất tổng cộng trước khi nổ nhỏ hơn áp suất khí quyển nên có thể bỏ qua sự đóng góp này. Khả năng nén

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

từ các bộ phận, chúng ta sẽ nhận được một phần không quá một nửa phần khác và điều này đã bị cấm. Tuy nhiên, có một lối thoát. Phát biểu 1. Nếu R 1 2 thì pho mát có thể được cắt không giới hạn, tức là sau bao nhiêu lần cắt có thể cắt được thêm một miếng nữa. Để chứng minh điều đó, như thường lệ, bạn cần củng cố tuyên bố một chút. Phát biểu 1 c. Nếu R 1 2 thì pho mát có thể được cắt chính xác thành n phần và sao cho không có hai phần nào có trọng lượng bằng nhau. Chứng minh (bằng quy nạp). Bạn có thể cắt nó thành 2 phần không bằng nhau. Để phô mai đã được cắt chính xác thành k 1 phần: a > b > c > … > f. Cắt phần lớn nhất làm đôi; ta có phần b, c, …, f, a 2, a 2. Vì f! một 2! b 2,

( ) pho mát được cắt đúng cách và các miếng thu được là nhỏ nhất. Đúng, giả định quy nạp không được thỏa mãn: có hai phần bằng nhau. Tuy nhiên, vì trong hệ thức ( ) cả hai bất đẳng thức đều nghiêm ngặt, nên người ta có thể tăng nhẹ một trong hai phần cuối, tương ứng giảm phần còn lại để các bất đẳng thức được bảo toàn. Như vậy quá trình chuyển đổi quy nạp đã hoàn thành. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một R tùy ý, ​​1 2 R 1. Đầu tiên, chúng ta hãy chứng minh một phát biểu hữu ích. Câu 2: Khi cắt đúng cách, bạn phải luôn cắt miếng lớn nhất. Bằng chứng. Gọi a là phần lớn nhất. Nếu chúng ta cắt một số mảnh b, b d a, thì một trong những mảnh thu được không lớn hơn b 2 d a 2, tức là có kích thước ít nhất bằng một nửa mảnh a, cho đến nay vẫn còn nguyên. Sự mâu thuẫn. Chúng ta hãy lưu ý thêm rằng điều này cho thấy rằng nếu có hai miếng lớn nhất giống hệt nhau thì không thể cắt miếng pho mát nữa. Số lượng miếng pho mát tối đa có thể được cắt thành ở mức R nhất định là bao nhiêu? Hóa ra, trước hết, nó là công bằng

“QUANTA”

sự thật thú vị: dù R là bao nhiêu thì số tối đa vẫn là số chẵn. Chính xác hơn, tuyên bố này là đúng. Phát biểu 3. Nếu phô mai có thể được cắt thành (2n – 1) phần một cách chính xác thì nó cũng có thể được cắt thành 2n phần một cách chính xác. Để chứng minh điều này, chúng tôi giới thiệu khái niệm cắt tối ưu. Trước tiên chúng ta hãy lưu ý rằng điều kiện “tỷ lệ trọng lượng của hai mảnh bất kỳ phải lớn hơn R” là đủ để kiểm tra mảnh nhỏ nhất và lớn nhất trong số các mảnh có sẵn; nếu điều đó đúng với họ thì đối với tất cả những người khác, nó sẽ được thực hiện tự động. Cho một số số tự nhiên s, r; Giả sử rằng bằng cách nào đó pho mát đã được cắt thành các miếng r một cách chính xác và chúng ta muốn thực hiện thêm một vết cắt s nữa, tức là lấy các miếng r s. Tất nhiên, điều này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Chúng ta gọi phương pháp cắt là tối ưu nếu sau mỗi lần cắt, hai điều kiện được thỏa mãn đồng thời, đó là điều kiện minimax: mảnh nhỏ nhất thu được tại thời điểm này không nhỏ hơn mảnh thu được bằng bất kỳ phương pháp cắt chính xác nào khác (“mảnh tối thiểu là tối đa”, do đó có khái niệm “minimax”), điều kiện tối đa: mảnh lớn nhất thu được tại thời điểm này không lớn hơn mảnh thu được bằng bất kỳ phương pháp cắt chính xác nào khác. Rõ ràng, nếu những điều kiện này được đáp ứng đồng thời thì ở mỗi bước, tỷ số giữa trọng lượng của mảnh nhỏ nhất và trọng lượng của mảnh lớn nhất sẽ lớn hơn (hoặc bằng) bất kỳ bước nào khác. Ngay sau đó, nếu tồn tại một cách cắt đúng, thì cách cắt tối ưu cũng đúng. Trước khi tiếp tục, chúng ta hãy đưa ra một vài nhận xét về tính tối ưu. Trước hết, điều quan trọng cần nhớ là định nghĩa này phụ thuộc vào việc lựa chọn r và s; cùng một đường cắt có thể tối ưu cho một người nhưng không tối ưu cho

26

KVAN T 2018/№3

khác (chúng tôi sẽ đưa ra những ví dụ như vậy bên dưới). Mặt khác, khái niệm về mức tối ưu không phụ thuộc vào R là gì: xét cho cùng, số R không liên quan đến định nghĩa về mức tối ưu. Vậy thì sự tối ưu được thể hiện ở điều gì? Đây là điều Dễ dàng nhận thấy rằng dù chúng ta cắt phô mai như thế nào thì cách cắt này sẽ luôn đúng đối với R nhỏ và không chính xác đối với R lớn. Người ta có thể nói chính xác hơn. Cắt một miếng pho mát thành một số lượng hữu hạn một cách tùy ý nhưng tuân theo quy tắc (i); Hãy tính tất cả các tỷ lệ có thể có của trọng lượng của các mảnh sau lần cắt đầu tiên, thứ hai,……, lần cắt cuối cùng - đây là một số hữu hạn các số dương. Đặt $R_{0}$ là số nhỏ nhất trong số này. Khi đó, rõ ràng là cách cắt của chúng tôi đúng với mọi $R R_{0}$ và không đúng với tất cả những phần còn lại. (Điều tương tự cũng áp dụng nếu lúc đầu không phải một mảnh mà là nhiều mảnh.) Ưu điểm của việc cắt tối ưu so với các mảnh khác (mức tối ưu của nó) là để cắt tối ưu, số $R_{0}$ là lớn nhất có thể. Vì vậy, nếu chúng ta cần giải nghịch đảo bài toán (không có số R, nhưng phương pháp cắt được chỉ định và chúng ta cần tìm ra R nào đúng), thì phương pháp tối ưu sẽ thích hợp hơn: nếu một số R phù hợp với phương pháp khác thì nó cũng phù hợp với phương pháp tối ưu (nhưng không phải ngược lại). Và một lưu ý quan trọng hơn: định nghĩa về tính tối ưu không đảm bảo sự tồn tại hay tính duy nhất: phương pháp cắt tối ưu có thể không tồn tại hoặc có thể có nhiều phương pháp cắt tối ưu. Ví dụ, giả sử lúc đầu chỉ có một miếng pho mát. Sau đó có thể cắt thành hai mảnh một cách tối ưu: cắt chính xác làm đôi sẽ là tối ưu (tỷ lệ giữa mảnh nhỏ nhất và mảnh lớn nhất là 1, và chắc chắn không thể lớn hơn). Nhưng nếu chúng ta cắt phô mai thành ba phần, thì việc cắt như vậy không những không tối ưu - nó còn khá tệ, vì lần cắt thứ hai

Trong trường hợp này, một mảnh chắc chắn sẽ có kích thước bằng một nửa kích thước của mảnh kia. Hơn nữa, điều này có nghĩa là việc cắt tối ưu trong trường hợp này hoàn toàn không tồn tại: xét cho cùng, tính tối ưu phải được thỏa mãn ở cả bước đầu tiên (cắt thành 2 phần) và ở bước thứ hai, và trong trường hợp này các yêu cầu về tính tối ưu mâu thuẫn với nhau. Đối với một ví dụ có nhiều cách cắt tối ưu khác nhau, hãy thử tự mình nghĩ ra. Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán của chúng tôi. Chúng ta xem xét tình huống sau: pho mát đã được cắt thành r miếng một cách chính xác và chúng ta sẽ cắt thêm nhiều miếng nữa. Chúng tôi khẳng định rằng nếu s d r, thì có một cách tối ưu cho việc này, đó là như sau: bạn cần chia tuần tự từng phần hiện có một nửa, bắt đầu từ phần lớn nhất và sau đó theo thứ tự giảm dần - phần đầu tiên là a, sau đó là b, sau đó là c, v.v. Thật vậy, với phương pháp này, chẳng hạn, sau hai lần cắt, phần lớn nhất là c, và phần nhỏ nhất là b 2. Rõ ràng, dù chúng ta chia như thế nào, phần lớn nhất còn lại sau hai lần cắt sẽ bằng c (nếu chúng ta chia các phần a, b), hoặc lớn hơn nó nên phương pháp là maximin. Tương tự như vậy, hiển nhiên là dù chúng ta cắt miếng nào đi nữa thì mảnh nhỏ nhất luôn không lớn hơn b 2. Phần còn lại rất dễ dàng. Giả sử rằng pho mát có thể được cắt thành (2 n - 1) miếng; thì tại một thời điểm nào đó có n phần và đây là những phần $a t b t c t^{…} t f t g$. Sau đó chúng tôi chia đúng; do đó, chúng ta cũng có thể áp dụng (từ bây giờ) phương pháp tối ưu và chia chính xác từng phần làm đôi. Sau khi chia 2 n 2 ta được các phần: g, a 2 (hai mảnh), b 2 (hai mảnh), ……, f 2 (hai mảnh). Bây giờ chúng ta hãy chia phần g làm đôi; chúng tôi đã nhận được các phần giống như n bước trước, chỉ có điều mỗi phần có kích thước bằng một nửa và có sẵn bản sao. Rõ ràng sự phân chia là đúng. Lưu ý quan trọng: phương pháp chia đúng này theo một nghĩa nào đó là cách “tốt nhất” nếu chúng ta không có ý định làm như vậy.