Решения задач М2490—М2492; Ф2497—Ф2500

20

КВАН T 2018/№3

Рис. 2

ном расходе воды $Q_{0}$ (в л/с) вся вода будет попадать в бутылку? Ускорение свободного падения g = 9,8 м $с^{2}$. Считать течение воды спокойным (ламинарным). Влиянием воздуха, вытесняемого из бутылки в процессе ее заполнения водой, пренебречь.$^{1}$ Д.Медведев

Ф2511. Имеются 10 одинаковых флаконов с жидкостью. Они хранятся внутри ящика, из которого тепло наружу не выходит. Для лучшего хранения каждый флакон надо на некоторое время нагреть до температуры $+ 90 \infty C$. Для этого взяли первый флакон и нагрели его до нужной температуры, затратив на это количество теплоты Q = 30 кДж. Затем поставили его внутрь ящика и подождали, пока температуры всех флаконов не выровнялись за счет теплообмена. Затем взяли второй флакон и проделали с ним ту же самую процедуру, включая последующее выравнивание температур, и так далее. Какое количество теплоты потребуется для прогрева десятого флакона? В.Боровков

Ф2512. Деревянный сосуд цилиндрической формы (рис.3) плавает в воде, погрузившись на 0,2 своей высоты, когда он пустой, и на 0,95 высоты, когда он заполнен водой. Во сколько раз плотность дерева, из которого изготовлен сосуд, меньше плотности воды? В.Баткин

Рис. 3

Решения задач М2490–М2492, Ф2497–Ф2500

M2490. Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь).

1 Например, потому, что в боковой стенке

бутылки имеется отверстие для выпуска воздуха. (Прим. ред.)

Двери пронумерованы числами 1, 2, ……, 100, ключи тоже пронумерованы, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более: а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток?

Ответ. а), б) Можно; в) нельзя. а) Попробуем, подходит ли первый ключ к первой двери. Если да, то первый ключ опознан. Если нет, то он подходит ко второй двери, а к первой двери подходит второй ключ. В этом случае опознаны два ключа. Берем очередной слева неопознанный ключ, проверяем его на соответствующей ему двери, распознаем хотя бы один ключ. Если после 99 таких попыток останется нераспознанное, то это последний ключ и для него осталась только одна дверь. б) Попробуем, подходит ли третий ключ к третьей двери. Если он подходит, то с первыми двумя ключами мы сможем разобраться за одну попытку. Итого за две попытки опознаны первые три ключа. Если он не подошел, то попробуем, подходит ли он ко второй двери. Если да, то первый ключ может подойти только к первой двери, а второй – к третьей. Опять за две попытки опознаны три первых ключа. Если снова не подошел, то он подходит к четвертой двери. Первые два ключа могут обслужить только две двери, следовательно, третью дверь открывает четвертый ключ. С первыми двумя ключами и дверьми разберемся за одну попытку. В этом случае за три попытки опознаны четыре ключа. Повторяем процесс: пробуем третий слева неопознанный ключ к соответствующей двери. Распознаем за две попытки три ключа или за три попытки четыре ключа. Если мы уже не можем выполнить этот шаг, то осталось менее трех нераспознанных ключей. С двумя ключами разберемся за одну попытку, с одним – за ноль попыток.

22

КВАН T 2018/№3

прямой (тогда помимо точки O эти окружности действительно имеют еще одну общую точку – симметричную точке O относительно линии центров). Центр описанной окружности треугольника $B_{0} OB$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам OB и $OB_{0}$ (рис.2).

Рис. 2

Гомотетия с центром O и коэффициентом 2 переведет центр окружности $B_{0} OB$ в точку B c пересечения AC и касательной к окружности, описанной около треугольника ABC, проведенной через точку B. Аналогично определяются точки A c и C c. Нам остается доказать, что точки A c, B c и C c лежат на одной прямой. Это можно сделать разными способами. Например, это следует из вырожденного случая теоремы Паскаля (для шестерки точек A, A, B, B, C, C). Другой способ – рассмотреть треугольник, образованный касательными AA c, BB c, CC c, и применить теорему Дезарга к этому треугольнику и треугольнику ABC. Задача решена. В заключение заметим, что задача может быть решена и вычислительно (например, с помощью теоремы Чевы в форме синусов), правда, совсем простого решения нам не известно. В качестве упражнения предлагаем доказать, что для равнобедренного (но не равностороннего треугольника) прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в точке, симметричной точке пересечения медиан относительно основания. Т.Ковалев, А.Львов

Ф2497. В журнале «Физика в школе» было опубликовано такое условие задачи: «Свободно падающее с ускорением g = 10 м $с^{2}$ тело спустя некоторое вре-

мя после начала движения оказывается на высоте $h_{1} = 300$ м над землей, а еще через время ’ t = 10 с – на высоте $h_{2} = = 120$ м над землей. С какой высоты падало тело?» И был дан такой ответ: «H = 1531 м». Найдите две опечатки (по одному символу в каждой) в опубликованном материале.

Понятно, что приведенные числовые значения никоим образом друг другу не подходят. Предположим, что высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ указаны правильные, тогда время ’ t никак не может быть равным 10 с. А вот если предположить, что в числе для ’ t между символами «1» и «0» пропущена запятая, т.е. время равно точно 1,0 с, тогда ответ должен получиться 1831 м. Ну вот, и вторая опечатка найдена: начальная высота приблизительно равна не 1531 м, а 1831 м! Иными словами, вместо символа «8» был ошибочно поставлен символ «5». У.Страшнов

Ф2498. Стенки пластиковой бутылки от сильно газированного напитка могут выдержать давление (изнутри) p = = 10 атм. В такую бутылку емкостью V = 1 л налили V/2 жидкого азота, закрыли бутылку пробкой и положили на асфальт, накрыв бутылку сверху пустым жестяным ведром емкостью 10 л и массой 1 кг. Через некоторое время произошел взрыв. Ведру достался 1% внутренней энергии газа внутри бутылки до взрыва. Оцените высоту подъема ведра над местом старта. Температура кипения жидкого азота при давлении p = 10 атм равна примерно T = 100 К. Плотность U жидкого азота примерно равна плотности воды U в = 1 г $см^{3}$.

Будем считать, что весь кислород, который входил в состав воздуха в бутылке, сконденсировался и в газообразном состоянии в бутылке в объеме 0,5 литра перед взрывом находился только азот. Этот азот после заливки в бутылку жидкого азота, естественно, охладился, и его вклад в суммарное давление перед взрывом был меньше атмосферного, поэтому этим вкладом можно пренебречь. Сжимаемостью

25

ЗАДАЧНИК

из частей, мы получим кусок не более половинки другой части, а это уже запрещено. Тем не менее, выход из положения есть. Утверждение 1. Если R 1 2, то сыр можно резать неограниченно, т.е. так, чтобы после любого числа разрезаний можно было сделать еще одно. Для доказательства, как часто бывает, нужно немного усилить утверждение. Утверждение 1 c. Если R 1 2, то сыр можно правильно разрезать на n частей, притом так, чтобы никакие две части не были равны по весу. Доказательство (по индукции). Разрезать на 2 неравные части можно. Пусть сыр уже правильно разрезан на k 1 частей: a > b > c > … > f. Разрежем наибольшую часть a пополам; имеем части b, c, …, f, a 2, a 2. Поскольку f! a 2! b 2,

( ) сыр разрезан правильно, причем получившиеся части – наименьшие. Правда, не выполнено индуктивное предположение: имеется две равные части. Однако поскольку в соотношении ( ) оба неравенства строгие, можно немного увеличить одну из двух последних частей, соответственно уменьшив другую так, чтобы неравенства сохранялись. Тем самым, индуктивный переход завершен. Рассмотрим теперь произвольное R, 1 2 R 1. Для начала докажем одно полезное утверждение. Утверждение 2. При правильном разрезании необходимо всегда резать самый большой кусок. Доказательство. Пусть a – наибольший кусок. Если мы режем какой-то кусок b, b d a, то один из получившихся кусков не больше b 2 d a 2, т.е. по крайней мере вдвое меньше куска a, который пока что остался целым. Противоречие. Заметим дополнительно, что отсюда видно: если имеется два одинаковых наибольших куска, то дальше резать сыр уже невозможно. На какое максимальное число кусков можно разрезать сыр при данном R? Оказывается, прежде всего, что справедлив

«КВАНТА»

любопытный факт: каково бы ни было R, максимальное число – четное. Точнее, справедливо такое утверждение. Утверждение 3. Если сыр можно правильно разрезать на (2n – 1) частей, то его можно правильно разрезать также и на 2n частей. Для доказательства введем понятие оптимального разрезания. Заметим для начала, что условие «отношение весов любых двух кусков должно быть больше R» достаточно проверить для наименьшего и наибольшего из имеющихся кусков; если для них оно верно, то для всех других оно выполнено автоматически. Пусть заданы какие-то натуральные s, r; допустим при этом, что сыр уже каким-то образом правильно разрезан на r кусков, и мы хотим сделать дополнительно еще s разрезаний, т.е. получить r s кусков. Разумеется, это можно сделать разными способами. Назовем способ разрезания оптимальным, если после каждого из s разрезаний одновременно выполнены два условия, а именно условие минимакса: наименьший из получившихся к этому моменту кусков не меньше, чем получающийся при любом другом способе правильного разрезания («минимальный кусок максимален», отсюда и понятие «минимакс»), условие максимина: наибольший из получившихся к этому моменту кусков не больше, чем получающийся при любом другом способе правильного разрезания. Очевидно, если эти условия выполнены одновременно, то на каждом шаге отношение веса наименьшего куска к весу наибольшего будет больше (или равно), чем при любом другом. Отсюда немедленно следует, что если правильный способ разрезания вообще существует, то оптимальный способ – тоже правильный. Прежде чем двигаться дальше, сделаем несколько замечаний об оптимальности как таковой. Прежде всего, важно помнить, что это определение зависит от выбора r и s; одно и то же разрезание может быть оптимальным для одного s и не быть таким для

26

КВАН T 2018/№3

другого (ниже мы приведем такие примеры). С другой стороны, понятие оптимальности не зависит от того, каково R: ведь в определении оптимальности число R не участвует. В чем же тогда выражается оптимальность? А вот в чем. Легко видеть, что как бы мы ни резали сыр, данное разрезание всегда будет правильным для маленьких R и неправильным – для больших. Можно сказать и точнее. Пусть кусок сыра произвольным образом, но с соблюдением правила (i) был разрезан на конечное число частей; вычислим всевозможные отношения весов кусков после первого, второго,……, последнего разрезания – это конечное число положительных чисел. Пусть $R_{0}$ – наименьшее из этих чисел. Тогда очевидно, что наше разрезание было правильным для любого $R R_{0}$ и неправильным – для всех остальных. (То же самое – если поначалу был не один кусок, а несколько.) Преимущество оптимального разрезания перед другими (его оптимальность) состоит в том, что для оптимального разрезания число $R_{0}$ – самое большое, какое только возможно. Таким образом, если нам требуется решить обратную задачу (число R не задано, но указан способ разрезания и требуется узнать, при каких R он правильный), то предпочтителен именно оптимальный способ: если какое-то R годится для другого способа, то оно годится и для оптимального (но не наоборот). И еще одно немаловажное замечание: определение оптимальности отнюдь не гарантирует ни существования, ни единственности: оптимальный способ разрезания может не существовать вообще или их может быть много. Пусть, например, имеется поначалу только один кусок сыра. Тогда его можно оптимально разрезать на два куска: оптимальным будет разрезание ровно пополам (отношение наименьшего куска к наибольшему равно 1, и больше оно уж никак не может быть). Но если мы собираемся резать сыр на три части, то такое разрезание не только не оптимально – оно довольно плохое, поскольку при втором разреза-

нии непременно один кусок окажется вдвое меньше другого. Более того, это означает, что оптимального разрезания в данном случае вообще не существует: ведь оптимальность должна выполняться как на первом шаге (разрезание на 2 части), так и на втором, а в данном случае требования оптимальности противоречат одно другому. Пример, когда существует много разных оптимальных разрезаний, постарайтесь придумать сами. Теперь вернемся к нашей задаче. Мы рассматриваем такую ситуацию: сыр уже удалось правильно разрезать на r кусков, и мы собираемся сделать еще s разрезов. Мы утверждаем, что если s d r, то для этого имеется оптимальный способ, который состоит в следующем: нужно последовательно делить каждый имеющийся кусок ровно пополам, начиная с наибольшего и далее в порядке убывания – сначала кусок a, потом b, потом с и так далее. Действительно, при таком способе, например, после двух разрезаний наибольший кусок есть c, а наименьший – b 2. Очевидно, что как бы мы ни делили, наибольший из оставшихся после двух разрезаний кусок будет либо равен c (если мы поделили куски a, b), либо больше его, так что способ является максиминным. Аналогично, очевидно, что какие бы куски мы ни резали, наименьший кусок всегда будет не больше b 2. Остальное несложно. Допустим, что сыр можно разрезать на ( 2 n - 1 ) частей; тогда в некоторый момент частей было n, и это были части $a t b t c t^{…} t f t g$. После этого мы делили правильно; следовательно, мы могли также применить (с этого момента) оптимальный способ и делить каждую часть ровно пополам. После 2 n 2 -го деления мы получили части: g, a 2 (две штуки), b 2 (две штуки), ……, f 2 (две штуки). Разделим теперь и часть g пополам; мы получили те же части, что n шагов назад, только каждая часть вдвое меньше и имеется в двух экземплярах. Ясно, что деление – правильное. Важное замечание: указанный способ правильного деления – в некотором смысле «наилучший», если мы не собираемся