Задачи М2502—М2505; Ф2509—Ф2512

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2502–М2505 предлагались на региональном этапе XLIV Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2509–Ф2512 предлагались на Всесибирской открытой олимпиаде школьников по физике 2018 года.

Задачи М2502–М2505, Ф2509–Ф2512

M2502. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 2018 (выписывать уже имеющееся число запрещено); начинает Петя. Если после хода игрока на доске оказываются три числа, образующих арифметическую прогрессию, этот игрок выигрывает. У кого из игроков есть стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть? М.Дидин, П.Кожевников

M2503. Дан треугольник ABC, в котором ‘ A ‘ C 30 q (рис.1). На его сторонах AB, BC и AC выбраны точки D, E и F соответственно так, что ‘ BFD ‘ BFE 60 q. Периметр треугольника ABC равен

Рис. 1

p, а периметр треугольника DEF равен $p_{1}$. Докажите, что $p d 2 p_{1}$. А.Кузнецов

M2504. Докажите, что найдется такое натуральное число n! $10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших n, взаимно проста с n. Р.Салимов

M2505. В компании 100 детей, некоторые дети дружат (дружба всегда взаимна). Известно, что при выделении любого ребенка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей. С.Берлов, Н.Власова, Д.Храмцов

Ф2509. Открытый без крыши вагон (железнодорожники их называют полувагонами) высотой Н = 4,5 м движется с постоянной скоростью u = 6 м/с. Как только вагон проехал мимо грузчика, тот сразу попытался закинуть через заднюю стенку вагона небольшой мешок. Какую минимальную скорость v (в м/с) при этом необходимо сообщить мешку? Известно, что при забрасывании мешка грузчик «отпускает» его на высоте h = 1 м от уровня земли. Ускорение свободного падения g = 9,8 м $с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь. А.Киприянов

Ф2510. Горлышко бутылки с внутренним диаметром D = 1 см находится на расстоянии Н = 10 см ниже водопроводного крана, внутренний диаметр носика которого $D_{0} = 2$ см (рис.2). Центры горлышка бутылки и носика крана находятся на одной вертикали. При каком максималь-