Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 25—28

Квант 2018, №3с. 30Тег JPPW

К О НК УР С ИМЕНИ А .П. САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

  1. а) Петя пишет в каждой клетке доски 100 ¥ 100 буквы А или Б так, чтобы букв А и Б было поровну. Затем Вася передвигает по этой доске фишку, сдвигая ее все время только в соседнюю по стороне клетку и каждый раз записывая, на какой букве она стоит. Всегда ли Вася может так поставить фишку и так обойти ею все клетки ровно по одному разу, чтобы полученная последовательность букв одинаково читалась слева направо и справа налево? б) То же самое, но доска 101 ¥ 101 и букв А на одну больше, чем букв Б. Г.Никитин

  2. Каждую вершину прямоугольника (не квадрата) отразили симметрично относительно диагонали, не проходящей через эту вершину. Получили четыре точки. а) Докажите, что эти четыре точки образуют прямоугольник. б) Могут ли они быть вершинами прямоугольника, равного исходному? в) Могут ли они быть вершинами прямоугольника, подобного, но не равного исходному? С.Дворянинов

  1. – Поделил я как-то одно натуральное число на другое с остатком, – рассказывал Петя Коле. – Когда же я поделил квадрат первого числа на второе, остаток оказался вдвое больше, чем был при первом делении. А когда я поделил куб первого числа на второе, остаток стал уже втрое больше. – Ну, это ты заливаешь, такого не может быть! – воскликнул Коля. – Вот со мной действительно была похожая история. Я тоже поделил одно натуральное число на другое с остатком. И когда я поделил куб первого числа на второе, остаток оказался вдвое больше первоначального, а когда поделил квадрат первого числа на второе, остаток стал втрое больше. – Теперь уже ты сочиняешь! – заявил Петя. Кто прав в каждом случае? И.Акулич

  2. Каких натуральных чисел больше: 10-значных с суммой цифр 9 или 9-значных с суммой цифр 10? На сколько? С.Костин

ВНИМАНИЮ НАШИХ ЧИТАТЕЛЕЙ!

Открылась регистрация на XXIV Турнир математических боев имени А.П.Савина для школьников, закончивших 6–9 классы. Турнир пройдет с 26 июня по 2 июля 2018 года на базе отдыха «Берендеевы поляны» (Костромская область). Это лично-командное соревнование, основу мероприятия составляет турнир математических боев. В программу входят также различные математические состязания, интеллектуальные игры, культурные мероприятия. О порядке проведения турнира и регистрации можно прочитать по ссылке http://tursavin.ru/info.html