con lắc Kapitza

37

LA B O R A T O R I A

Có những ý tưởng khác để chứng minh định lý chính. Ví dụ, trong báo cáo của A. Kulikova tại MMKS [1], mối quan hệ kép giữa điểm và tính chất của phép chiếu tâm đã được sử dụng, điều này giúp giảm đáng kể việc chứng minh. I. Frolov cho chúng ta biết rằng sau phép biến đổi cực với tâm O, định lý về các đường đẳng giác trở thành khẳng định sau: Giả sử trong tứ giác KLMN, các đường phân giác của các góc giữa các cặp đường thẳng KL và MN, KM và LN song song (điều kiện này tương đương với tính nội tiếp của tứ giác). Khi đó phân giác của góc giữa hai đường thẳng KN và ML song song với chúng. Chúng ta đã học được từ P. Kozhevnikov rằng với phép chiếu tâm phù hợp trong không gian, điểm O sẽ tiến đến vô cùng và các cặp đường thẳng OA và OD, OB và OC, OP và OQ (Hình 19) sẽ trở thành các đường thẳng song song, đối xứng với một đường thẳng cố định (đường thẳng Gaussian), đi qua trung điểm của các đoạn AD, BC, PQ.

“QUANTA”

Hình 19

Tài liệu tham khảo

1. Hội nghị Toán học dành cho học sinh Moscow (MMKSH). (https://www.mccme.ru /circles/oim/mmks/notes.htm) 2. P. Kozhevnikov. Điểm liên hợp đẳng giác. – «Kvant», 2016, số 1. 3. D. Prokopenko. Chia động từ đẳng giác và tam giác đạp. – «Kvant», 2017, Số 9. 4. Trang web của I.F. Olympic hình học Sharygin: hình học.ru. 5. A.V. Akopyan. Hình học trong hình ảnh. – M., 2017. 6. A.V. Akopyan, A.A. Zaslavsky. Tính chất hình học của đường cong bậc hai. – M.: MTsNMO, 2007.

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

con lắc Kapitza

S. DVORYANINOV

Sự ngạc nhiên là mẹ của tri thức. Thuộc về Aristotle

BÂY GIỜ CHÚNG TÔI SẼ NÓI VỀ MỘT hiện tượng vật lý THÚ VỊ. Hơn nữa, nó thật đáng kinh ngạc, và trên cơ sở đó nó đã được đưa vào V.I. Cuốn sách của Arnold “Hiểu biết toán học về tự nhiên. Các bài tiểu luận về các hiện tượng vật lý đáng kinh ngạc và sự hiểu biết của các nhà toán học về chúng (có hình vẽ của tác giả).” Chúng ta sẽ nói về một con lắc. Thông thường người ta vẽ một con lắc như trên Hình 1. Một vật nhỏ được treo bằng một sợi dây dài và dao động. Một con lắc như vậy được gọi là toán học. Vị trí cân bằng dưới của con lắc ổn định. Thay vì một sợi chỉ, bạn có thể lấy một cây gậy - chúng ta sẽ có một con lắc như vậy. Bây giờ chúng ta hãy lật ngược con lắc - Biệt danh của Hình 1, hãy để anh ta đứng, như Arnold viết, “lộn ngược” (Hình 2). Trong một con lắc như vậy, điểm treo trước đó biến thành điểm tựa, nhưng theo truyền thống chúng ta sẽ gọi đó là điểm treo. Người ta biết rằng không thể đặt một con lắc như vậy theo phương thẳng đứng - sang trái hoặc sang phải - Hình 2 chắc chắn nó sẽ rơi. Nếu bạn vẫn cố gắng cố định nó ở vị trí thẳng đứng thì một cú sốc nhỏ nhất sẽ

38

KVAN T 2018/Số 5

Mất sự hỗ trợ hoặc thổi không khí sẽ làm cho con lắc bị lật. Đây là hệ quả và biểu hiện của sự mất ổn định vị trí cân bằng trên của con lắc ngược. Viện sĩ và người đoạt giải Nobel tương lai Pyotr Leonidovich Kapitsa (năm 2019 sẽ đánh dấu sinh nhật lần thứ 125 của ông) đã tiến hành một thí nghiệm như vậy. Anh buộc điểm treo dao động nhanh theo phương thẳng đứng. Điều gì có thể là nguồn gốc của những biến động như vậy? Thời đó là thời hậu chiến, chưa giàu có nhưng gia đình Kapitsa có một chiếc máy may chạy điện, tức là có động cơ điện. Điểm treo phải thực hiện chuyển động tịnh tiến lên xuống và động cơ điện tạo ra chuyển động quay. Làm thế nào để biến thứ này thành thứ khác đã được nhiều người biết đến từ lâu. Ví dụ, ở đầu máy hơi nước, chuyển động tịnh tiến của piston trong xi lanh được cơ cấu tay quay chuyển thành chuyển động quay của các bánh xe. Sơ đồ thiết kế của con lắc Kapitsa được thể hiện trên hình 3. Trên trục của động cơ điện

Hình 3

1, ổ bi 2 được lắp lệch tâm, thanh 3 được gắn vào lồng của nó làm cho đòn bẩy 4 dao động. Một đầu của đòn bẩy quay tương đối với một trục cố định, còn đầu kia của con lắc 5 được treo để nó có thể dao động tự do. Con lắc có điểm treo dao động đứng lộn ngược ổn định. Nỗ lực nghiêng nó sang một bên khiến nó bắt đầu xoay quanh hướng thẳng đứng sang trái và phải, nhưng không rơi xuống. Bài toán Việc xem xét một con lắc như vậy nảy sinh liên quan đến lý thuyết về máy gia tốc. Khi phát triển một dự án mới, cần phải xác định xem liệu chuyển động của một hạt được gia tốc dọc theo một vòng có đường kính lớn có ổn định hay không. Hóa ra chuyển động tròn của một hạt trong máy gia tốc được mô tả bằng cùng một phương trình vi phân, đó là

Bầy tương ứng với chuyển động của một con lắc ngược. P.L. Kapitsa đề xuất thử nghiệm thực nghiệm độ ổn định bằng cách xem xét một thiết kế có con lắc ngược. Rõ ràng là một thí nghiệm với một con lắc có chi phí thấp hơn rất nhiều lần so với việc chế tạo một máy gia tốc. Bạn có thể xem bản ghi âm của V.I. Câu chuyện của Arnold về con lắc này trên trang web “Toán học Etudes” (http:// etudes.ru). Anh ta không có máy may điện, và do đó Vladimir Igorevich đã sử dụng dao cạo điện rung “Neva” làm nguồn dao động thẳng đứng của con lắc. Con lắc được gắn vào lưỡi dao cạo điện bằng kẹp kẹp bút chì. Người ta biết rằng thà nhìn một lần còn hơn nghe hàng trăm lần. Tốt hơn hết, hãy cầm nó trong tay. Đáng ngạc nhiên là, bằng kinh nghiệm, bạn có thể xác minh khả năng ổn định cơ bản của một con lắc ngược với dao động tương ứng của điểm treo gần như ngay lập tức mà không cần đứng dậy khỏi bàn làm việc. Bạn có mọi thứ bạn cần để thực hiện thí nghiệm trong tầm tay. Lấy một chiếc thước gỗ (hoặc nhựa) có lỗ ở đầu và đặt nó lên một chiếc bàn nhẵn, bóng. Đặt một cây bút chì chưa gọt vào lỗ và nhanh chóng, giống như một nghệ sĩ vĩ cầm cầm cung, di chuyển cây bút chì qua lại theo hướng không trùng với hướng của thước (Hình 4). Bạn sẽ thấy ngay người cai trị như thế nào

Hình 4

sẽ bắt đầu quay và định vị trên một đường thẳng mà điểm treo của con lắc của chúng ta dao động. Bạn có thể thử nghiệm bằng cách thay đổi khối lượng và chiều dài của một con lắc như vậy, cũng như biên độ và tần số dao động của điểm treo của nó.

40

KV A NT 2018/№5

LỰA CHỌN PHỨC HỢP

lớp 8–9

1. (4) Dòng chứa 39 số không bằng 0. Tổng của hai số liền kề bất kỳ là dương và tổng của tất cả các số là âm. Dấu hiệu của tích của tất cả các số là gì? B.Frenkin

2. (5) Aladdin có một số thỏi vàng giống hệt nhau, và đôi khi anh ấy yêu cầu thần đèn tăng số lượng của chúng lên. Thần đèn thêm vào một nghìn thanh giống nhau, nhưng sau đó ông ta lấy đúng một nửa tổng khối lượng vàng thu được cho dịch vụ. Liệu Aladdin có thể giành chiến thắng sau mười yêu cầu như vậy nếu không phải cưa một thỏi nào? A.Perepechko

3. (6) Xem bài toán M2511 “Bài toán Kvant”.

4. (6) Xem bài toán M2510 “Bài toán Kvant”.

5. (8) Trên đường phố có những ngôi nhà nằm đối diện nhau, tổng cộng có 50 cặp. Bên phải đường có những ngôi nhà có số tự nhiên chẵn, bên trái có số tự nhiên lẻ, các số tăng dần từ đầu phố đến cuối mỗi bên nhưng không nhất thiết phải xếp thành một hàng (có thể có khoảng trống). Đối với mỗi ngôi nhà ở bên phải đường, họ tìm thấy sự khác biệt giữa số nhà của nó và số nhà đối diện, và hóa ra tất cả các con số tìm thấy đều khác nhau. Số nhà lớn nhất trên phố là n. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của n. M. Didin

6. (10) Ở đất nước của những hiệp sĩ (họ luôn nói sự thật) và những kẻ nói dối (họ luôn nói dối), 10 người, trong số đó có những kẻ nói dối, ngồi vào một chiếc bàn tròn ở các đỉnh của một hình thập giác đều. Một du khách có thể đứng ở đâu đó và hỏi những người đang ngồi: “Khoảng cách từ tôi đến người nói dối gần nhất trong số các bạn là bao nhiêu?” Sau đó mọi người đều trả lời anh ấy. Số lượng câu hỏi tối thiểu mà một khách du lịch phải hỏi để đảm bảo biết ai là người nói dối tại bàn ăn? (Không có người lạ ở gần, bạn không thể đứng trên bàn.

Hãy coi mọi người như những dấu chấm. Mọi người, kể cả khách du lịch, đều có thể đo chính xác mọi khoảng cách.) M. Didin

7. (12) Xem bài toán M2513 “Bài toán Kvant”.

lớp 10–11

1. (4) Xem bài toán 2 phương án khó dành cho lớp 8–9.

2. (5) Xem bài toán M2511 “Bài toán Kvant”.

3. (6) Bảng 10 u 10 chứa 100 số khác nhau. Trong khi di chuyển, bạn có thể chọn bất kỳ hình chữ nhật nào được tạo thành từ các ô và sắp xếp lại tất cả các số trong đó một cách đối xứng so với tâm của nó (“xoay hình chữ nhật một góc 180q”). Có phải sau 99 lần di chuyển các số sẽ tăng dần theo từng hàng từ trái qua phải và theo từng cột từ dưới lên trên không? A. Shapovalov

4. Một tam giác đều nằm trong mặt phẳng D được chiếu trực giao lên một mặt phẳng không song song E, tam giác thu được được chiếu trực giao lên mặt phẳng J và thu được một tam giác đều. Chứng minh rằng: a) (4) góc giữa hai mặt phẳng D và E bằng góc giữa hai mặt phẳng E và J; b) (4) Mặt phẳng E cắt các mặt phẳng D và J dọc theo các đường thẳng vuông góc với nhau. L. Emelyanov

5. (10) Xem bài toán M2513 “Bài toán Kvant.

6. (10) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tia BA và CD cắt nhau tại điểm P. Một đường thẳng đi qua P và song song với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm D cắt nhau tại các điểm U và V các tiếp tuyến với đường tròn tại các điểm A và B. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác CUV và tứ giác ABCD là tiếp tuyến. A. Zaslavsky

7. (12) Nhà vua quyết định ban thưởng cho một nhóm n nhà thông thái. Chúng sẽ lần lượt được xếp thành hàng (để mọi người cùng nhìn về một hướng).