Olympic thể chất học sinh Moscow 2018

41

Thế Vận Hội

leniya), mọi người sẽ đội mũ đen hoặc trắng. Mọi người sẽ nhìn thấy mũ của mọi người ở phía trước. Các nhà hiền triết lần lượt (từ cuối đến đầu) gọi tên màu (trắng hoặc đen) và số tự nhiên mà mình chọn. Cuối cùng, số nhà thông thái gọi tên màu phù hợp với màu mũ của mình được tính: đúng số ngày đó cả nhóm sẽ được tăng lương. Các nhà hiền triết được phép thỏa thuận trước về cách trả lời. Hơn nữa, các nhà hiền triết biết rằng chính xác k trong số họ bị điên (họ không biết chính xác là ai). Thánh nhân điên gọi màu và số màu trắng hoặc đen, bất chấp sự đồng ý. Số ngày được thưởng tối đa mà các nhà thông thái có thể đảm bảo cho nhóm là bao nhiêu, bất kể vị trí của những người điên trong hàng đợi là bao nhiêu? I. Mitrofanov

Vòng miệng lớp 11

1. Bà nội trợ nướng một chiếc bánh hình vuông và cắt ra nhiều miếng. Vết cắt đầu tiên được thực hiện song song với cạnh của hình vuông ban đầu từ mép này sang mép kia. Vết cắt tiếp theo được thực hiện ở phần còn lại từ mép này sang mép kia vuông góc với vết cắt trước đó, sau đó - tương tự (vài lần). Tất cả các mảnh cắt có diện tích bằng nhau. Phần còn lại của chiếc bánh có thể là hình vuông không? B.Frenkin

2. Cho X là một điểm cố định trên cạnh AC của tam giác ABC (X khác A và C). Tùy ý vây quanh

Đường thẳng đi qua X và B cắt đoạn AC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm P và Q khác X và B. Chứng minh rằng mọi đường thẳng PQ đều có thể đi qua một điểm. M.Panov

3. 16 thẻ có số nguyên từ 1 đến 16 được xếp úp xuống dưới dạng bàn 4 u 4 sao cho các thẻ ghi số liền kề nằm cạnh nhau (chạm vào một bên). Số lượng thẻ nhỏ nhất phải được lật cùng lúc để xác định chính xác vị trí của tất cả các số (bất kể thẻ được xếp như thế nào) là bao nhiêu? M. Evdokimov

4. Có một số tự nhiên A có 1001 chữ số và số Z có 1001 chữ số cũng chính là số A, viết từ đầu đến cuối (ví dụ: đối với số có 4 chữ số thì có thể là 7432 và 2347). Biết rằng A > Z. Tại A nào thì thương A/Z sẽ nhỏ nhất (nhưng lớn hơn 1)? A.Tolpygo

5. Có thể sắp xếp năm hình cầu trong không gian sao cho mỗi hình cầu có thể vẽ một mặt phẳng tiếp tuyến qua tâm của nó với bốn hình cầu còn lại không? Các quả cầu có thể giao nhau và không nhất thiết phải có cùng bán kính. M. Murashkin

6. Xem bài toán M2512 “Bài toán Kvant”. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Dorichenko, L. Mednikov

Olympic thể chất học sinh Moscow 2018

Vòng lý thuyết thứ hai

lớp 7

1. Người hưu trí đang hoạt động Nikolai Vasilyevich đã mua một cuộn băng dính (băng dính) không có nhãn xuất xưởng trong một cửa hàng. Ông quan tâm đến các câu hỏi: chiều dài L của băng này là bao nhiêu và độ dày d của màng mà băng được tạo ra là bao nhiêu? Nikolai Vasilyevich đã chụp ảnh một cuộn băng dính cùng với một cây thước được gắn ở điểm rộng nhất của cuộn dây (Hình 1). Sau đó, anh ấy đưa bức ảnh cho bạn bè xem, hỏi họ những câu hỏi của mình và sau một thời gian, anh ấy nhận được đáp số - chúng được hiển thị trong bảng. Đồng thời, một người bạn cũng thành thật thừa nhận rằng anh ta đã tìm ra độ dài của đoạn băng.

42

KV A NT 2018/№5

thời gian giữa các khung liền kề W = 16 ms. Tính vận tốc đầu nòng của quả bóng gôn. Quả bóng di chuyển vuông góc với hướng bạn đang nhìn. Chiều cao của người chơi golf là 1,8 m. A. Bychkov

Hình 1

từ nhân viên cửa hàng, sau đó tính toán độ dày bằng cách sử dụng một bức ảnh. Người bạn nào của Nikolai Vasilyevich đã trả lời đúng câu hỏi? Chiều dài của băng và độ dày của màng là bao nhiêu? Lưu ý: µm là micron, tức là một phần triệu mét. P. Kryukov

2. Chụp ảnh thời gian là một loại nhiếp ảnh cho phép bạn ghi lại chuyển động của một vật thể bằng cách chụp từng giai đoạn chuyển động riêng lẻ. Trong trường hợp này, các khung hình được lấy tuần tự ở những khoảng thời gian ngắn bằng nhau. Trước mặt bạn (Hình 2) là một bức ảnh chụp đồng hồ của một người chơi gôn đang đánh bóng. Khoảng thời gian

3. Hai chiếc hộp giống hệt nhau được chất đầy các khối lập phương màu đỏ và trắng có cùng kích thước ở trên cùng. Hộp đầu tiên chứa nhiều hơn 26 khối màu đỏ so với khối màu trắng và mật độ trung bình của chất bên trong hộp là 6,6 g $см^{3}$. Mật độ trung bình của nội dung trong hộp thứ hai là 7,5 g $см^{3}$. Thể tích của hộp là 1 lít, khối lượng khối lập phương màu đỏ là 52 g, khối lượng khối màu trắng là 127 g. Trong hộp thứ hai có nhiều hình khối màu gì hơn và bao nhiêu? A. Bychkov

4. Bến B nằm ở phía hạ lưu Bến A. Giữa A và B có một chiếc thuyền và một chiếc tàu cao tốc. Thuyền xuất phát từ A cùng lúc với thuyền xuất phát từ B. Khi đến gần bến B, thuyền quay đầu, thời gian rẽ không đáng kể rồi quay trở lại, đến bến A, quay đầu lại, v.v. Con thuyền di chuyển theo cách tương tự. Cuộc gặp gỡ đầu tiên của thuyền và thuyền xảy ra 1 giờ sau khi bắt đầu di chuyển. Khi thuyền đến gần bến A sau lần gặp đầu tiên, thuyền đi được 3 5 quãng đường giữa A và B. Lần gặp nhau thứ hai của thuyền và thuyền diễn ra tại bến B, họ đến cùng một lúc. 1) Sau bao lâu kể từ khi thuyền bắt đầu di chuyển thì nó đến được bến A? 2) Sau lần gặp thứ nhất bao lâu thì lần gặp thứ hai diễn ra? 3) Sau lần gặp thứ hai bao lâu thì gặp lần thứ ba? P. Kryukov

lớp 8

Hình 2

1. Trong phòng thí nghiệm của một nhà hóa học trẻ, hai chất lỏng có thể tích khác nhau được đựng trong hai ly: một màu xanh lam và một màu đỏ. Một ngày nọ, một nhà hóa học trộn nửa chất lỏng màu xanh lam và nửa chất lỏng màu đỏ vào bình, thu được hỗn hợp có mật độ $U_{1}$. Anh ta trộn phần chất lỏng còn lại từ cốc vào bình thứ hai và bình thứ ba, trong khi mật độ của hỗn hợp trong bình thứ hai hóa ra bằng $U_{2}$, và trong

43

Thế Vận Hội

thứ ba – $U_{3}$. Tìm tỉ số thể tích của ba hỗn hợp thu được và viết điều kiện để mật độ của các hỗn hợp này phải thỏa mãn. Hãy xem xét rằng khi chất lỏng được trộn lẫn, thể tích của chúng tăng lên. A. Bychkov

2. Trong những năm gần đây, các cuộc triển lãm đã trở nên phổ biến khi trưng bày các cơ chế đơn giản được cho là được chế tạo theo bản vẽ của Leonardo da Vinci. Các bức ảnh (Hình 3) cho thấy một cuộc triển lãm của một trong những

Hình 3

những cuộc triển lãm như vậy: nó được gọi là bánh răng sâu. Thiết bị này mang lại lực tăng bao nhiêu (không bao gồm ma sát)? Giả sử chiều dài của vòng đai (từ tay cầm đến trục nằm ngang) gấp đôi đường kính của tang trống nơi quấn dây. P. Kryukov

3. Trong một cái khay rộng có thành thẳng đứng, chứa một phần nước, có một chiếc cốc chứa đầy nước ở trên cùng. Hai vật nặng hình trụ được giữ cân bằng nhờ hệ ròng rọc và dây như hình 4.

Hình 4

tải phù hợp có giá trị bằng một tải trọng nhỏ có khối lượng ’m. Trong trường hợp này, trọng lượng bên trái chạm vào mặt nước với cạnh dưới và trọng lượng bên phải chạm vào cạnh trên. Diện tích mặt cắt ngang của tải bên trái là S, bên phải là 2S. Quá tải được loại bỏ rất chậm khỏi vật nặng bên phải, sau đó vật nặng bên trái chìm một phần trong nước. 1) Chiều cao của mực nước trong chảo sẽ thay đổi bao nhiêu? 2) Khối lượng nước sẽ đổ từ cốc vào chảo là bao nhiêu? 3) Độ sâu ngâm của tải bên trái trong nước phụ thuộc vào khối lượng quá tải như thế nào? Các khối không trọng lượng, sợi chỉ không trọng lượng và không thể giãn ra, không có ma sát. Nước không đổ ra khỏi chảo. A. Bychkov

4. Một lớp băng rất dày có nhiệt độ 0 q C. Nhà thám hiểm vùng cực quyết định tiến hành một thí nghiệm. Để làm được điều này, anh ta tạo một lỗ nhỏ trên băng và phủ nó bằng một lớp chất cách nhiệt rồi nhét một ống mỏng vào đó. Qua ống này, nhà thám hiểm vùng cực đổ rất chậm một chất lỏng nóng không xác định có nhiệt dung riêng c và mật độ U vào lỗ. Chất lỏng làm tan băng và độ sâu của lỗ tăng lên. Nhà thám hiểm vùng cực phát hiện ra rằng có một giá trị tối thiểu nhất định của nhiệt độ ban đầu của chất lỏng $t_{0}$, tại đó một lượng chất lỏng lớn tùy ý có thể được đổ vào lỗ và băng sẽ tiếp tục tan chảy. Trong trường hợp này, bề mặt của nước thu được sẽ không bao giờ dâng lên mép trên của lỗ. Tìm giá trị nhỏ nhất này $t_{0}$. Nhiệt dung riêng của sự nóng chảy của băng O, cũng như mật độ của nước và băng $U_{в}$ và $U_{л}$ đã được biết. M.Romashka lớp 9

5. Điểm vật chất bắt đầu di chuyển thẳng dọc theo trục x. Thiết lập thử nghiệm tự động sẽ đo rất chính xác tọa độ của một điểm trong mỗi mili giây và truyền dữ liệu này đến máy tính để xử lý. Máy tính tính toán tốc độ mặt đất trung bình $v_{cp}$ của điểm mỗi mili giây trong toàn bộ thời gian trôi qua từ khi bắt đầu chuyển động đến hiện tại

44

KV A NT 2018/№5

khoảnh khắc và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của $v_{cp}$ vào thời gian t (Hình 5). Tuy nhiên, tại thời điểm $t_{0} = 10$ giây cài đặt thử nghiệm

Hình 5

Thiết bị mới bị hỏng và ngừng truyền dữ liệu về máy tính nhưng điểm vật chất vẫn tiếp tục di chuyển. Xác định giá trị lớn nhất có thể có của thời gian t, cho đến khi phần giảm dần của đồ thị sau 8 s (đường đứt nét trong hình) có thể thẳng. M.Romashka

2. Ông, bà, cháu gái, Bug, Murka và con chuột nhỏ muốn nhổ một củ cải. Củ cải là một quả bóng đồng nhất có bán kính R, trên đỉnh có nhiều lá dài chắc chắn, không trọng lượng để có thể kéo củ cải. Củ cải được ngâm một nửa trong đất. Được biết, ông nội có thể kéo với lực tối đa F, bà có thể kéo yếu gấp đôi, cháu gái có thể kéo yếu gấp đôi bà, Zhuchka có thể kéo yếu gấp đôi cháu gái, Murka có thể kéo yếu gấp đôi Zhuchka, và con chuột nhỏ có thể kéo yếu gấp đôi Murka. Khối lượng tối đa có thể có của một củ cải là bao nhiêu nếu biết rằng nó đã được nhổ ra? Làm thế nào mà các anh hùng trong truyện cổ tích lại phải nhổ một củ cải như vậy để cuối cùng nhổ được nó? Hãy xem xét rằng củ cải đã chín, rễ của nó đã khô và nó chỉ được giữ trong đất được nén chặt do trọng lượng của chính nó. Khi kéo, củ cải không thể quay quanh trục đối xứng của nó. N.Trushnikov

3. Điện trở của từng điện trở trong mạch, có sơ đồ như trong Hình 6, bằng nhau và bằng 3 Ohm. Hiệu điện thế giữa các cực của một nguồn lý tưởng là 6 V. Tất cả các ampe kế đều lý tưởng, ở tâm hình lục giác tiếp xúc giữa các dây dẫn

Không. Tìm số đọc của tất cả các ampe kế. A. Bychkov

4. Đang đi dọc phố vào một ngày nắng đẹp, một cậu học sinh nhìn thấy một cái bục phẳng nằm ngang, trên đó có nhiều cột trụ thẳng đứng $ци-_{Рис.} 6$ có cùng chiều cao nhưng có đường kính khác nhau. Học sinh này nhận thấy rằng các cột có đường kính khác nhau tạo ra bóng “đầy đủ” có độ dài khác nhau, mặc dù thực tế là chúng đều có cùng chiều cao. Ông nhận ra: điều này là do mặt trời không phải là nguồn sáng điểm mà có kích thước góc D | 0,5q | 0,01 rad. Trở nên thích thú, học sinh bắt đầu đo đường kính của các cột d và độ dài L của bóng của chúng, sau đó xây dựng đồ thị phụ thuộc L d - đây là

Hình 7

đồ thị được thể hiện trong Hình 7. Sử dụng đồ thị này, hãy xác định chiều cao của các cột. M.Romashka lớp 10

1. Bức ảnh (Hình 8), chụp bằng camera của điện thoại di động, cho thấy một cánh quạt máy bay đang quay. Hiệu ứng “làm mờ” quan sát được của hình ảnh là do cách ma trận camera xử lý luồng ánh sáng. Khi máy ảnh được kích hoạt, ma trận không “chụp” toàn bộ cảnh đang được quay cùng lúc mà việc quét khung hình từng bước rất nhanh diễn ra từ trái sang phải (theo quan điểm của nhiếp ảnh gia). Kết quả là, các “dải” hình ảnh dọc hẹp tuần tự đi vào bộ nhớ của máy ảnh và “li-

45

Thế Vận Hội

Người ta phỏng đoán rằng những hạt này xuất hiện từ sự phân rã của một hạt duy nhất và đầu tiên nó phân rã thành ba hạt, sau đó một trong ba hạt tạo thành phân rã thành hai hạt. Hãy xác định xem giả thuyết này có đúng hay không và nếu đúng thì xác định xem bao lâu sau lần phân rã thứ nhất thì lần phân rã thứ hai xảy ra. Giả sử các hạt chuyển động tự do. I.Vorobiev

Hình 8

Quá trình quét" di chuyển với tốc độ không đổi. 1) Cánh quạt quay theo hướng nào so với góc nhìn của nhiếp ảnh gia? 2) Cánh quạt có bao nhiêu cánh? 3) Ước tính cánh quạt quay bao nhiêu vòng mỗi giây nếu quá trình thu được toàn bộ hình ảnh mất 1/8 giây. A. Bychkov

2. Thiết bị ghi đã xác lập vị trí của các hạt cơ bản A, B, C và D tại một thời điểm nào đó, cũng như chuyển động của chúng trong thời gian W, tính từ thời điểm này (các chuyển động được thể hiện trên Hình 9 theo từng đoạn). Khối lượng của hạt C và D bằng nhau.

Hình 9

3. Một cái nêm có khối lượng M = 250 g có góc D 30 q ở đáy đặt trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Một khối có khối lượng m = 100 g được đặt trên nêm và truyền cho nó một vận tốc nhất định bằng một va chạm hướng lên dọc theo bề mặt nghiêng của nêm. Tìm nhiệt lượng Q tỏa ra do ma sát của khối trên nêm, biết rằng độ cao tối đa mà khối nâng lên được từ vị trí ban đầu là h = 20 cm. Hệ số ma sát của vật trên mặt nghiêng của nêm là P = 0,6. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}$. S. Chesnokov

4. Trên một phần sân nằm ngang, Vasya đã dọn sạch một khu vực có kích thước 1 m x 1 m khỏi tuyết trắng tinh. Dưới tia nắng mùa xuân, trái đất đen nóng lên và đốt nóng không khí phía trên nó. Nhiệt năng mà không khí nhận được từ địa điểm này là W = 0,3 kW, vì mặt trời ở khá thấp so với đường chân trời vào mùa đông. Trong thời tiết khô ráo và lặng gió, ở nhiệt độ không khí $T_{0} = 273$ K và áp suất gần bề mặt trái đất $p 10^{5}$ Pa, một cột không khí ấm bốc lên phía trên địa điểm có nhiệt độ $T_{1} = 275$ K và tiết diện $S 2 м^{2}$ ở độ cao h = 10 m. Nhiệt độ môi trường không phụ thuộc vào độ cao và bằng $T_{0}$. Khối lượng mol của không khí là M = 29 g/mol, nhiệt dung mol của nó ở áp suất không đổi là $C_{p} 7 R 2$. 1) Ước tính tốc độ dòng khí tăng lên ở độ cao h nếu quá trình đã tự thiết lập. 2) Ước tính độ cao mà không khí ấm sẽ tăng lên nếu không có sự trao đổi nhiệt giữa không khí ấm và không khí lạnh xung quanh nó.

53

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

GIẢI PHÁP

2. Trong ví dụ của chúng tôi, hình không phải là đa giác; nó có một cái lỗ. Chúng tôi không biết liệu có tồn tại những số liệu có tính chất cần thiết mà không có lỗ hay không.

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

(xem «Kvant» số 3)

25. a, b) Không phải lúc nào cũng vậy. a) Petya có thể tô màu bảng theo kiểu bàn cờ và viết A vào ô đen và viết B vào ô trắng. Các ô liền kề có các chữ cái khác nhau nên dù Vasya có đi quanh bảng như thế nào thì các chữ cái sẽ luân phiên nhau: ABAB…ABAB. Có số ô chẵn nên chữ cái cuối và chữ cái đầu khác nhau. Điều này có nghĩa là trình tự từ phải sang trái được đọc khác nhau. b) Đầu tiên, chúng ta sắp xếp các chữ cái theo thứ tự bàn cờ sao cho có nhiều hơn một chữ cái A so với chữ cái B. Các chữ cái thay thế nhau trong bất kỳ lần duyệt nào và thu được chuỗi ABA…ABA. Hãy chọn bất kỳ cặp ô nào có các chữ cái khác nhau và hoán đổi các chữ cái. Sau đó, với bất kỳ lần duyệt nào, kết quả là một đường thẳng khác với ABA…ABA ở hai vị trí: ở một vị trí A được thay thế bằng B, vị trí kia - B bằng A. Những vị trí này sẽ không đối xứng với nhau, do đó, đường thẳng được đọc khác nhau từ trái sang phải và từ phải sang trái. 26. a) Cho hình chữ nhật ABCD, giao điểm của các đường chéo của nó sẽ được ký hiệu là O. Các điểm mà các đỉnh đi tới sẽ lần lượt được ký hiệu là A¢ $,^{B¢},^{C¢},^{D¢}$. Đối xứng với BD, điểm A đi $в^{A¢}, C$ – vào C¢, O – vào chính nó (Hình 2).

Hình 3

ABA ¢ D ¢ CDC ¢ B ¢ (Hình 3). Khi đó ABCD và A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ là những hình chữ nhật bằng nhau. Một hình bát giác đều đối xứng qua các đường chéo của nó, nối các đỉnh đối diện, có nghĩa là đỉnh A, đối xứng với BD, sẽ đi vào A¢, C - vào C¢, và các đỉnh B và D, đối xứng với AC, sẽ lần lượt đi vào $в^{B¢} и^{D¢}$. c) Họ không thể. Trong lời giải của phần a) chúng ta đã chứng minh rằng các đường chéo A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ bằng các đường chéo ABCD. Và đối với các hình tương tự nhưng không bằng nhau, các đoạn tương ứng phải có độ dài khác nhau. 27. Câu chuyện của Petya không thể là sự thật. Hãy cho rằng Petya đúng. Hãy để anh ta chia số k cho m. Nếu khi chia cho m, số k cho số dư x thì theo điều kiện bài toán $k^{2}$ cho số dư 2x. Khi đó số $k^{2} - 2 k$ cho số dư 2x – 2x = 0, tức là chia hết cho m. Tương tự, $k^{3} - 3 k$ chia hết cho m:

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} k^{3} -_{3} k$ ⋮ m.

Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt giảm bậc k trong các biểu thức này. Đầu tiên, chúng ta hãy loại bỏ $k^{3}$: số $k^{3} - 3 k - k k^{2} - 2 k = 2 k^{2} - 3 k$ chia hết cho m là hiệu của bội số của m. Vì vậy, chúng tôi chuyển sang một cặp biểu thức mới:

(

) (

)

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} 2 k^{2} -_{3} k$ ⋮ m.

Sau đó, hãy loại bỏ $k^{2}$ trong một trong các biểu thức.

Hình 2

Vậy AC = A ¢ C ¢. Điểm O là trung điểm của AC nên cũng là trung điểm của A ¢ C ¢. Lý luận tương tự có thể được thực hiện đối với đường chéo BD. Như vậy, trong tứ giác A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ các đường chéo bằng nhau (chúng bằng các đường chéo của hình chữ nhật ABCD) và trung điểm của chúng trùng nhau (đây là điểm O). Suy ra A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ là hình chữ nhật. b) Họ có thể. Hãy xem xét một hình bát giác đều

(

) (

)

Xét hiệu $2 k^{2} - 3 k - 2 k^{2} - 2 k = k$, nó được chia cho m là hiệu của các số là bội số của m. Điều này có nghĩa là k chia hết cho m và theo điều kiện k cho phần dư khác 0. Sự mâu thuẫn. Hóa ra Petya đã sai. Câu chuyện của Colin có thể là sự thật. Ví dụ: nếu anh ta chia cho 21 lũy thừa của 3: 3 được chia cho 21 với số dư $3, 3^{3} = 27$, cho số dư 6 và $3^{2} = 9$. Ví dụ này có thể được khái quát hóa: thay vì 3, bạn có thể lấy bất kỳ số nào có dạng 3 + 21n, trong đó n là số nguyên. 28. Số có 10 chữ số có tổng bằng 9 chữ số nhiều hơn số có 9 chữ số có tổng bằng 10 chữ số.