Xác suất và chữ số cuối cùng của sản phẩm

17

CHÚNG TA

Hãy xem xét một trong những ứng dụng đơn giản nhất của công thức động học. Cho $C_{1}$ và $C_{2}$ là các tập giới hạn lồi. Chúng ta hãy biểu thị (như đã được thực hiện trong bài viết đã được đề cập [5]) bằng $C_{1} C_{2}$ tập hợp trung điểm của các đoạn thẳng, một đầu thuộc về $C_{1}$ và đầu kia thuộc về $C_{2}$. Tập $C_{1} C_{2}$ tất nhiên là lồi. Bài toán 5. Chứng minh rằng độ dài biên của tập hợp $C_{1} C_{2}$ bằng một nửa tổng độ dài biên của các tập hợp $C_{1}$ và $C_{2}$. Ý tưởng chứa trong công thức động học hóa ra lại rất hiệu quả trong các không gian có chiều cao hơn. Ví dụ: trong trường hợp ba chiều, diện tích trung bình của hình chiếu của một tập lồi lên các mặt phẳng (hai chiều) là (tối đa một hệ số không đổi) diện tích bề mặt của nó và độ dài trung bình của hình chiếu của nó lên các đường thẳng (một chiều) là (một lần nữa, lên đến một hệ số nhất định) hệ số c của $r^{2}$ trong công thức Steiner ba chiều, ý nghĩa “vật lý” mà chúng tôi đã hỏi trước đó. Trong không gian n chiều, con này

P TÔI TẮT T

Động thái này cho phép chúng ta xây dựng một loạt các khối hỗn hợp của một vật thể lồi, mỗi khối đó là một đặc tính “vật lý” bổ sung mới của vật thể cùng với thể tích và diện tích bề mặt của nó.

Các tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới M.V. Kozlov vì những lời khuyên và nhận xét có giá trị.

Văn học 1. Các yếu tố của Euclid. Sách I–VI. – M.-L.: GITTL, 1948 (“Kinh điển về khoa học tự nhiên”). 2. T. Bonesen, W. Fenchel. Theorie der Konvexen Körper. – Teubner, Leipzig, 1934. 3. G.G. Magaril-Ilyaev, V.M. Tikhomirov. Giải tích lồi và ứng dụng của nó – M.: Librokom, 2016. 4. L.W.Szczerba và W.Szmielew. Về hình học Euclide không có tiên đề Pasch. – Bò. Học viện. Polon. Khoa học. Ser. Khoa học. Toán học. Vật lý thiên văn học. 18 (1970), 659–666. 5. N. Vasiliev. Bổ sung các số liệu. – «Kvant», 1976, số 4. 6. V. Tikhomirov. Định lý Fermat–Euler về hai hình vuông. – «Kvant», 1991, số 10.

NA M P I SHUT

Xác suất và chữ số cuối cùng của sản phẩm

Độc giả E. Znak của chúng tôi đã nhận thấy và chứng minh rằng số “1” có tính chất thú vị sau: nó không có xác suất lớn hơn bất kỳ số nào khác, là chữ số cuối cùng của tích hai số tự nhiên ngẫu nhiên, và nó cũng có xác suất không kém bất kỳ số nào khác, là chữ số cuối cùng của lũy thừa của một số tự nhiên ngẫu nhiên với số mũ tự nhiên ngẫu nhiên. Trước hết, chúng ta cần quyết định xem chúng ta đang nói về các số tự nhiên ngẫu nhiên theo nghĩa nào. Chúng ta sẽ giả sử rằng xác suất chọn được một số có chữ số cuối cùng cho trước là như nhau đối với tất cả các chữ số và bằng 1/10. Tương tự, xác suất chọn được một số có số dư cho trước khi chia cho 4 là 1/4, v.v. Cách sắp xếp này hoàn toàn phù hợp với mô hình chọn số tự nhiên sau: từ một số lớn N số tự nhiên liên tiếp cho trước, chọn một số có xác suất bằng nhau sao cho xác suất chọn được một số cụ thể là 1/N. Bảng nhân số dư khi chia cho 10 (Bảng 1) giúp bạn dễ dàng tính trực tiếp

Bảng 1 cho thấy xác suất để tích của hai số tự nhiên ngẫu nhiên có tận cùng bằng một chữ số cho trước. Trong bảng này, các số ít nhất là “1”, “3”, “7”, “9” - mỗi số có bốn,

(Tiếp theo trang 29)

20

KV AN T 2018/№6

cơ học lượng tử). Trên thực tế, vào giữa những năm 20, sau khi cơ học lượng tử ra đời, ở Nga (và không chỉ ở Nga), con đường của toán học và vật lý đã chuyển hướng nghiêm trọng. Những nhà toán học giỏi nhất - những người cùng thời với Kolmogorov - với rất ít ngoại lệ, thậm chí còn không biết ngôn ngữ toán học của vật lý lý thuyết. Một ngôn ngữ mới của vật lý lý thuyết bắt đầu được tạo ra vào khoảng năm 1925. Đánh giá theo những gì các nhà vật lý thời đó đã viết, thời điểm quyết định trong sự khác biệt giữa toán học và vật lý không phải là sự xuất hiện của thuyết tương đối, vai trò của nó sau này đã được nhận ra mà là của lý thuyết lượng tử. Ở Moscow, Gelfand có lẽ là người duy nhất học được vật lý mới. Đôi khi các nhà vật lý cũng tham gia vào buổi hội thảo của ông; Tuy nhiên, vào cuối những năm 50, Gelfand đã dừng hoàn toàn hoạt động này và các nhà vật lý đã biến mất khỏi buổi hội thảo của ông trong suốt 20 năm. […]

học vật lý

[…] Đồng thời và độc lập với nhau, chúng tôi [với Yu.I. Manin] quyết định nghiên cứu vật lý lượng tử ($брат^{6}$ của tôi nói với tôi rằng các nhà toán học phải biết lý thuyết lượng tử). Lúc đầu, tôi cố gắng học lý thuyết trường lượng tử giống như cách các nhà toán học thường học những điều mới, và nhận thấy điều này bài toán hoàn toàn không thể thực hiện được; Có lẽ một nỗ lực như vậy là hoàn toàn ngu ngốc. Phong cách mà tôi rất thích là phong cách giảng dạy của Einstein hay những bài giảng hay nhất của Landau. Tôi nhận ra rằng nền tảng của khoa học này là tính tự nhiên, và đây chính xác là những gì tôi đã hiểu trước đây khi đọc sách về cấu trúc liên kết. Các nhà tôpô thời đó, như Jean-Pierre Serres, René Thom hay John Milnor, đôi khi bỏ qua các định nghĩa trong bài giảng của mình, họ chỉ nói đơn giản: “nó được định nghĩa một cách tự nhiên”. Và vì vậy tôi nhận ra phong cách “tự nhiên” này trong các bài giảng của Einstein và trong những cuốn sách hay nhất của Landau. (Không phải tất cả sách của Landau đều hay như nhau, nhưng bộ sưu tập chúng đều rất có giá trị. Những sinh viên của chúng tôi muốn nghiên cứu lý thuyết

vật lý, phải nghiên cứu tất cả những cuốn sách này trước 22 tuổi. Đây là cơ sở để bắt đầu công việc độc lập.) Manin và tôi đã thảo luận về nhiều nghịch lý và sự mơ hồ của lý thuyết lượng tử, mà chúng tôi có cùng quan điểm. Tôi nhớ Manin đã nói với tôi rằng mọi nhà toán học sẽ phát hiện ra những sự mơ hồ này, nhưng sẽ là sai lầm nếu dừng lại và chỉ trích những sự mơ hồ này. Nhiều nhà toán học, trong đó có sinh viên của tôi, gặp khó khăn nghiêm trọng khi nghiên cứu vật lý lý thuyết. Họ cố gắng dạy nó giống như cách họ dạy toán: nếu họ gặp điều gì đó không hiểu, họ sẽ dừng lại. Tôi có thể tự tin nói rằng các nhà vật lý cũng tình cờ phát hiện ra rất nhiều điều kỳ lạ; tuy nhiên, chúng ta phải tiếp tục tiến về phía trước, và chúng ta chỉ cần suy nghĩ thấu đáo những điều khó hiểu này sau khi đạt đến một trình độ nhất định và đã luyện tập đủ. Rất khó để thực hiện chương trình của Hilbert và viết lại vật lý lý thuyết theo phong cách tiên đề. Hilbert đã làm được một công việc quan trọng sau khi Einstein khám phá ra thuyết tương đối rộng: ông nhận ra rằng phương trình Einstein chính là phương trình Euler–Lagrange cho một hàm số nào đó. Do đó, ông đã tìm thấy sự xác nhận (đối với trường hợp phương trình Einstein) của nguyên lý tổng quát rằng các tiên đề của bất kỳ lý thuyết vật lý cơ bản nào cũng phải bắt đầu bằng nguyên lý $Лагранжа^{7}$. Vì vậy, chương trình của Hilbert hóa ra lại hữu ích cho bản thân anh ấy vì anh ấy đã áp dụng nó theo cách này. Tuy nhiên, tôi không thích nỗ lực của một số người bạn của tôi - những chuyên gia rất giỏi về toán vật lý, đang làm việc trong chương trình Hilbert - nhằm làm cho vật lý trở nên khắt khe. Tôi nghĩ điều này là không thể. Bạn có thể chứng minh một định lý hay ở đây, một định lý hay ở kia về một tình huống vật lý nào đó. Tuy nhiên, tôi chắc chắn rằng Richard Feynman đã đúng khi nói rằng điều này không thể đạt được trên toàn cầu (đôi khi nó có thể đạt được ở địa phương). Phát triển vật lý protein