Bài toán M2514—M2517; F2521—F2524

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2514–M2517 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLIV dành cho học sinh môn toán.

Bài toán M2514–M2517, F2521–F2524

M2514. Cho các số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng có vô số số nguyên dương n sao cho số $a^{n} 1$ không chia hết cho $n^{b} 1$. A. Golovanov

M2515. Trong trò chơi bài, mỗi quân bài được gán một giá trị số từ 1 đến 100, mỗi quân bài đánh quân nhỏ hơn, ngoại trừ một ngoại lệ: 1 nhịp 100. Người chơi biết rằng có 100 quân bài với các giá trị khác nhau nằm úp trước mặt mình. Người chia bài, người biết thứ tự của các quân bài này, có thể cho người chơi biết về bất kỳ cặp bài nào, cái nào đánh bại cái nào. Chứng minh rằng người chia bài có thể tạo ra một trăm tin nhắn như vậy để người chơi có thể biết chính xác giá trị của từng lá bài. I. Bogdanov, K. Knop, Y. Kuzmenko

$M2516^{*}$. Ban đầu viết một số tự nhiên lên bảng. Sau đó, cứ mỗi giây, tích của tất cả các chữ số khác 0 của nó sẽ được cộng vào số hiện tại. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a sao cho số a được cộng vô số lần. D. Krachun

$M2517^{*}$. Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC, lần lượt chọn các điểm P và Q sao cho PQ P BC (Hình 1). Các đoạn BQ và CP cắt nhau tại điểm O. Điểm A c đối xứng với điểm A đối với

Hình 1

BC trực tiếp. Đoạn thẳng A c O cắt đường tròn Z ngoại tiếp tam giác APQ tại điểm S. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BSC tiếp xúc với đường tròn Z. A. Kuznetsov F2521. Do sự va chạm của các tiểu hành tinh, hai mảnh được hình thành, phân tán với tốc độ bằng nhau, hướng một góc M với nhau. Tìm tỉ số giữa các bán trục của quỹ đạo của mảnh thứ nhất nếu quỹ đạo của mảnh thứ hai là hình tròn. Quỹ đạo của các mảnh nằm trong cùng một mặt phẳng. D.Alexandrov

F2522. Một cột tích tụ trên đường nằm ngang trước đèn giao thông màu đỏ.