Sự kết hợp của hình vuông

22

KVAN T 2018/№7

Sự kết hợp của hình vuông

E.BAKAEV

ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CỦA BÀI NÀY, chỉ cần biết giáo trình hình học lớp 7: dấu bằng của các tam giác, tổng các góc của một tam giác và hình vuông là gì. Với “bộ công cụ hình học trẻ” này, chúng tôi đưa ra một con đường dẫn đến một số thử thách và chúng tôi hy vọng là bài toán đẹp đẽ. Những bài toán này, thường xảy ra trong hình học, có thể được giải theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, nhiều bài toán có thể được giải nhanh chóng bằng cách sử dụng vectơ hoặc tọa độ phức tạp. Nhưng mục tiêu của chúng tôi không phải là hiển thị lời giải ngắn nhất mà là để người đọc (và người giải) nhìn thấy mối liên hệ trong chuỗi bài toán, cấu trúc hình học phổ biến đối với họ. Lời giải bài toán được viết ngắn gọn. Ý của chúng tôi là một số chuyển đổi logic không rõ ràng và đòi hỏi người đọc phải suy nghĩ độc lập. Chúng tôi cũng đề nghị rằng trong các nhiệm vụ này, bạn không nên chú ý đến các trường hợp có thể xảy ra khác về cách sắp xếp tương đối của các đồ vật mà hãy dựa vào bản vẽ đặt ra điều kiện. Nhưng sẽ rất hữu ích nếu người đọc chăm chú tự suy nghĩ xem những điều này khác

Hình 1

những trường hợp này và cách chứng minh nên được xây dựng sao cho bao quát được chúng. Tác giả xin cảm ơn V.N. Dubrovsky vì đề xuất bổ sung bài viết bằng các giải pháp sử dụng phép quay và mang lại giá trị gợi ý cho bài viết của họ. Bài toán 1. Trong Hình 1, a có hai hình vuông có cùng một đỉnh. Chứng minh rằng các đoạn chấm bằng nhau và vuông góc. Gợi ý. Tìm hai hình tam giác bằng nhau hoặc sử dụng phép quay. Lời giải. Cách đầu tiên. Trong Hình 1, b, hai tam giác bằng nhau được tô màu. Chúng bằng nhau theo cách thứ nhất: có hai cặp cạnh bằng nhau và các góc giữa chúng trong tam giác bằng nhau, vì chúng được tạo thành bằng cách cộng một góc vuông vào cùng một góc. Điều này có nghĩa là các đoạn chấm chấm bằng nhau như các phần tử tương ứng của các tam giác đồng dạng. Bây giờ hãy chứng minh rằng chúng vuông góc. Hãy xem xét các hình tam giác được tô bóng trong Hình 1c. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chúng có cùng các góc (nói cách khác, các hình tam giác giống nhau). Hai góc bằng nhau theo phương thẳng đứng. Hai góc nữa bằng nhau là

23

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

các phần tử hiện có của tam giác, sự đẳng thức mà chúng ta đã chứng minh ở trên. Tổng các góc của một tam giác là 180q, nghĩa là các góc thứ ba của các tam giác đó bằng nhau. Vậy góc giữa các đoạn có chấm là thẳng.

Bài tập 1. Chứng minh tương tự cho các hình vuông nằm ở Hình 1, d. Gợi ý. Kéo dài các đường chấm chấm cho đến khi chúng giao nhau. Hơn nữa - tương tự như lời giải trong Hình 1, a.

Cách thứ hai. lời giải này sử dụng tính năng xoay. Hãy giải thích nó là gì. Chúng ta hãy tạo một bản sao của bản vẽ trên một tấm phim trong suốt và đặt nó lên bản vẽ sao cho bản gốc và bản sao khớp nhau. Hãy đâm một cây kim vào bàn, xuyên qua bản vẽ và sao chép. Nếu bây giờ bạn di chuyển phim, bản sao của hình vẽ trên đó sẽ xoay quanh điểm O, nơi kim bị kẹt (Hình 1e). Hãy liệt kê các tính chất chính của phép quay. Cho phép quay quanh điểm O, điểm A đi đến điểm A c, điểm B đi đến B c. Khi đó: 1) Góc AOA c và BOB c bằng nhau, nói cách khác mọi điểm đều quay cùng một góc. Nó được gọi là góc quay (Hình 1, e). 2) Các số biến thành các số bằng nhau. Cụ thể là OA OA c, AB A c B c, ‘OAB’ OA c B c. 3) Góc giữa các đường thẳng (chính xác hơn là tia) AB và A c B c bằng góc quay.

Bài tập 2. Chứng minh tính chất 3. Gợi ý. Chúng ta hãy ký hiệu các đường thẳng AB và A c B c lần lượt là a và a c (Hình 1, g). Qua điểm O vẽ đường thẳng b song song với đường thẳng a. Gọi b biến thành b c khi rẽ. Sau đó a c P b c. Ta được hai góc có cạnh song song.

Hình 2

SHK O LNIK O V

Được trang bị các thuộc tính xoay, hãy quay lại bài toán của chúng tôi. Hãy xoay cấu trúc 90° xung quanh đỉnh chung của các hình vuông (Hình 1, h). Khi đó trong mỗi hình vuông, một đỉnh sẽ đi vào một đỉnh khác (vì các cạnh kề của hình vuông đều bằng nhau và vuông góc). Theo đó, một đoạn chấm sẽ đi vào một đoạn khác. Theo tính chất 2, các đoạn này bằng nhau và theo tính chất 3, chúng vuông góc. Bạn có thể đọc thêm về chuyển động quay và các chuyển động khác của mặt phẳng, chẳng hạn như trong bài viết của V. Bugaenko “Chuyển động của mặt phẳng và định lý Chall” ở «Kvant» số 4 năm 2009 hoặc trong bài viết của V. Fishman “Lời giải bài toán sử dụng các phép biến đổi hình học” ở «Kvant» số 7 năm 1975. Bài toán 2. Bây giờ hãy xem xét sự kết hợp của ba hình vuông như trong Hình 2,a. Chứng minh rằng tâm hình vuông màu xanh là trung điểm của đoạn thẳng nối các đỉnh của hai hình vuông màu đỏ. Gợi ý. Tìm ba hình tam giác bằng nhau. Lời giải. Trong bài toán trước, hai hình vuông có một đỉnh chung đã được xem xét và xuất hiện hai hình tam giác bằng nhau có cùng một đỉnh chung. Trong cách xây dựng của chúng ta có những cặp hình vuông giống nhau, nghĩa là cũng có những cặp hình tam giác bằng nhau tương ứng với chúng. Kết hợp hai cặp như vậy, chúng ta thu được ba hình tam giác bằng nhau (Hình 2, b). Bài toán đã được rút gọn như sau: các tam giác bằng nhau được dựng trên các cạnh đối diện của hình vuông (Hình 2, c), cần chứng minh các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường thẳng với tâm của hình vuông. Hãy xét tính đối xứng qua tâm của hình vuông. (Đối xứng trung tâm

24

KVAN T 2018/№7

ria là một góc quay 180q.) Hình vuông đối xứng với chính nó và các hình tam giác đối xứng với nhau. Điều này có nghĩa là các đỉnh của các tam giác không chỉ nằm trên cùng một đường thẳng với tâm hình vuông mà còn cách đều nó. Điều này có thể được chứng minh mà không cần dùng đến tính đối xứng. Các tam giác được tô màu trong Hình 2,d bằng nhau theo tiêu chí thứ nhất: hai cạnh bằng nhau là các cạnh của các tam giác bằng nhau, hai cạnh nữa bằng nhau vì đây là các đoạn nối các đỉnh của hình vuông với tâm của nó, và các góc bằng nhau vì chúng bao gồm các góc bằng 45° và các góc của các tam giác bằng nhau. Từ sự bằng nhau của các tam giác dẫn đến sự bằng nhau của các góc và vì hai cạnh của chúng tạo thành một đường thẳng nên có nghĩa là các góc này thẳng đứng. Bài toán 3. Trong Hình 3a có ba hình vuông. Chứng minh rằng đỉnh của hình vuông màu xanh là trung điểm của đoạn thẳng nối các đỉnh của hình vuông màu đỏ.

Hình 4

Bài toán 4. Cho hai hình vuông và một đoạn nối các đỉnh của chúng (Hình 4). Chứng minh rằng hai đoạn thẳng chấm bằng nhau và vuông góc. Gợi ý. Sử dụng bài toán trước đó. Lời giải. bài toán này là đảo ngược của cái trước. Trong đó ta đã chứng minh rằng đỉnh của hình vuông màu xanh là trung điểm của đoạn nối các đỉnh của hình vuông màu đỏ. Nhưng đoạn thẳng chỉ có một điểm giữa, có nghĩa là các đoạn chấm chấm bằng nhau và vuông góc, vì đây là các cạnh của hình vuông màu xanh lá cây từ bài toán trước đó.

Hình 3

Gợi ý. Sử dụng các vấn đề trước đó. Lời giải. Cách đầu tiên. Hãy thêm một hình vuông màu xanh lam, như trong Hình 3, b. Chúng ta có được cách xây dựng từ bài toán 2, trong đó chúng ta đã chứng minh được điều cần thiết. Cách thứ hai. Hãy sử dụng bài toán 1 cho hình vuông màu xanh lá cây và một trong các hình vuông màu đỏ. Chúng ta thấy rằng hai đoạn được đánh dấu bằng một đường thẳng thì bằng nhau và vuông góc (Hình 3, c). Sau đó, hãy xem xét một hình vuông màu xanh lá cây được ghép nối với một hình vuông màu đỏ khác. Chúng ta có thêm một vài đoạn bằng nhau và vuông góc hơn. Điều này có nghĩa là các đoạn chấm được xét ở điều kiện bài toán bằng nhau và nằm trên cùng một đường thẳng.

Bài toán 5. Ba hình vuông có vị trí như Hình 5,a. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng chấm bằng nhau và vuông góc. Gợi ý. Sử dụng các vấn đề trước đó. Lời giải. Lưu ý rằng sự kết hợp của các hình vuông ở đây giống như trong bài toán 3. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng nó trong

Hình 5

25

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

Suy ra đỉnh của hình vuông màu xanh lá cây nằm ở giữa đoạn nối hai đỉnh của hình vuông màu đỏ (Hình 5, b). Bây giờ biết đây là điểm giữa của đoạn thẳng nên chúng ta sẽ sử dụng bài toán 4. Bài toán 6. Các đỉnh đối diện của hình vuông màu xanh nằm ở tâm của các hình vuông màu đỏ (Hình 6, a). Chứng minh

Hình 6

rằng hai đỉnh còn lại của hình vuông màu xanh là trung điểm của các đoạn nối các đỉnh của hình vuông màu đỏ. Gợi ý. Hãy suy nghĩ xem câu bài toán 3. Lời giải nên áp dụng cho hai ô vuông nào. Hãy xem xét hai hình vuông màu xanh lá cây (Hình 6b). Chúng ta hãy áp dụng câu bài toán 3 cho chúng và cho hình vuông màu xanh. Đối với đỉnh còn lại của hình vuông màu xanh,

Hình 7

Hình 8

SHK O LNIK O V

Chứng minh được chứng minh theo cách tương tự; chúng ta cần xem xét những hình vuông màu xanh lá cây tương tự, nhưng được xây dựng “ở phía bên kia”. Bài toán 7. Trên các cạnh của hình tứ giác, các hình vuông được dựng hướng ra ngoài (Hình 7, a). Chứng minh rằng các đoạn thẳng chấm nối tâm của các hình vuông đối diện thì bằng nhau và vuông góc. Gợi ý. Cần nhiều hình vuông hơn! Lời giải. Hãy xem xét các hình vuông màu đỏ, các đỉnh đối diện của chúng nằm ở tâm của các hình vuông màu xanh lam (Hình 7, b). Đến bài toán 6 các đỉnh của mỗi hình rơi vào giữa đường chéo của tứ giác nên các hình vuông màu đỏ có một đỉnh chung. Áp dụng bài toán 1 cho chúng, chúng ta thấy rằng các đoạn chấm chấm bằng nhau và vuông góc. Bài toán 8. Trên các cạnh của hình tứ giác xây dựng các hình vuông hướng ra ngoài (Hình 8, a). Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của một tứ giác và trung điểm các đoạn thẳng nối tâm các hình vuông đối diện tạo thành một hình vuông.

26

KVAN T 2018/№7

Gợi ý. Sử dụng những gì bạn có trong lời giải của bài toán trước đó. Lời giải. Hãy xem xét các hình vuông màu đỏ giống như trong chứng minh của bài toán trước đó (Hình 8, b). Trong lời giải bài toán 1, chúng tôi đã chỉ ra rằng các đoạn biến đổi lẫn nhau khi quay quanh đỉnh chung của các hình vuông màu đỏ một góc 90q. Với vòng quay này, phần giữa của một đoạn sẽ chuyển sang giữa đoạn khác. Điều này có nghĩa là các đoạn nối các trung điểm này với tâm quay đều bằng nhau và vuông góc (theo tính chất của phép quay 2 và 3). Do đó, ba điểm là điểm cuối của các đoạn màu xanh lá cây tạo thành một tam giác vuông cân. Đã xem xét một cặp hình vuông màu đỏ khác

Hình 9

Bài toán dành cho độc lập lời giải

Gợi ý đối với những vấn đề này nằm ở phần cuối của vấn đề. Điều kiện bài toán được cho trong Hình 9–16. Đối với mỗi tổ hợp các hình vuông, bạn phải chứng minh rằng các đoạn chấm chấm vuông góc hoặc chứng minh rằng ba điểm nằm trên cùng một đường (nét đứt).

Hình 10

Hình 11

Hình 14

chuột (có đỉnh chung nằm ở giữa một đường chéo khác của tứ giác ban đầu), chúng ta cũng thu được tương tự rằng ba điểm còn lại cũng tạo thành một tam giác vuông cân và chúng có một cạnh huyền chung. Điều này có nghĩa là bốn điểm tạo thành một hình vuông.

Hình 12

Hình 15

Hình 13

Hình 16

30

KVAN T 2018/№7

Trường hợp hai cọc

Nếu m = 1 thì chỉ có một cọc và người mới bắt đầu sẽ thắng bằng cách lấy hết quân trong nước đi đầu tiên. Nếu có hai cọc (m = 2), thì có thể đạt được chiến lược bằng cách sắp xếp các dấu “+” và “-”. Trạng thái của trò chơi được xác định bởi hai con số - số lượng viên đá ở cọc thứ nhất và thứ hai, do đó, mỗi trạng thái có thể được gán cho một ô của bảng hai chiều. Tọa độ ngang của ô tương ứng với số lượng đá trong đống đầu tiên và tọa độ dọc - trong đống thứ hai. Sau khi người chơi di chuyển, tọa độ thứ nhất hoặc thứ hai của ô sẽ giảm xuống, tức là ô tương ứng với trạng thái mới nằm ở vị trí thấp hơn hoặc ở bên trái của ô ban đầu. Bằng cách sắp xếp các dấu “+” và “-” theo quy tắc đã nêu ở trên, chúng ta thu được bảng như Hình 1.

Hình 1. Xây dựng chiến lược trong game Nim với hai đống đá

Có thể thấy rằng các điểm trừ nằm dọc theo đường chéo chính, tức là trong các ô có tọa độ đầu tiên trùng với tọa độ thứ hai. Vì vậy, quy tắc “Đặt cược vào điểm trừ!” dẫn đến chiến lược sau. Nếu các cọc khác nhau thì người chơi đầu tiên có thể đảm bảo chiến thắng cho mình. Với nước đi đầu tiên của mình, anh ta phải cân bằng số lượng quân cờ ở cả hai cọc, sau đó anh ta phải lặp lại nước đi của đối thủ, nhưng ở cọc bên kia, sau khi di chuyển, anh ta để lại các cọc có số lượng đá bằng nhau. Nếu ban đầu các cọc giống nhau thì anh ta thắng

thứ hai. Chiến lược này được gọi là đối xứng và chúng tôi đạt được nó bằng cách đặt dấu “+” và “–” trong bảng.

Neem với ba cọc

Bây giờ hãy xem xét trường hợp m = 3. Khi đó trạng thái của trò chơi được xác định bởi ba số và để phát triển chiến lược, bạn nên điền vào các ô của bảng ba chiều bằng các dấu “+” và “-”. Ô trong bảng có tọa độ (a, b, c), trong đó a, b, c là các số nguyên không âm, tương ứng với trạng thái của trò chơi Nim, trong đó cọc đầu tiên chứa a, cọc thứ hai chứa b và cột thứ ba chứa đá c. Tất nhiên, sau một thời gian, bạn có thể, theo các quy tắc đã nêu ở trên, sắp xếp các dấu hiệu theo các lớp của bảng và từ đó phát triển chiến lược chơi Nim với ba cọc (cho a, b, c cố định ở vị trí ban đầu). Hãy làm điều đó khác đi. Giả sử rằng các dấu “+” và “–” trong các ô của bảng ba chiều đã được đặt theo các quy tắc trên. Hãy chứng minh điều sau $лемму.^{Лемма} 1.$ Trong bất kỳ cột nào trong bảng có hai tọa độ cố định và tọa độ thứ ba lấy tất cả các giá trị không âm, sẽ có chính xác một ô có dấu “–”. Bằng chứng. Giả sử hai tọa độ đầu tiên a và b cố định. Đầu tiên, chúng ta hãy chứng minh một cách mâu thuẫn rằng một cột không thể chứa hai hoặc nhiều ô có dấu “-”. Đặt mỗi ô trong số hai ô có tọa độ $a, b, c_{1}$ và $a, b, c_{2}$ chứa dấu “–” và $c_{1} c_{2}$. Sau đó, bằng cách lấy $c_{2} c_{1}$ viên đá từ cọc thứ ba, chỉ trong một nước đi, trò chơi có thể được chuyển từ trạng thái tương ứng với ô $a, b, c_{2}$ sang trạng thái được chỉ định bởi ô $a, b, c_{1}$, tức là từ âm sang âm. Ta có mâu thuẫn: mọi di chuyển từ ô có dấu “-” đều phải dẫn đến ô có dấu “+”. Vì vậy, một cột không thể có nhiều hơn một dấu trừ. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng phải có một dấu “-” ở bất kỳ cột nào. Giả sử ngược lại và xét các ô trong cùng một cột có tọa độ a, b, 0, a, b, 1, ……, a, b, a b. Số của chúng là a + b + + 1. Theo giả định của chúng tôi, chúng đều chứa dấu “+”. Sau đó, với mỗi người trong số họ sẽ có một bước di chuyển đến một hình vuông có điểm trừ. Tuy nhiên, giảm