Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga LII dành cho học sinh vật lý

42

KV A NT 2018/Số 8

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga LII dành cho học sinh vật lý

Năm nay, vòng chung kết Olympic Vật lý toàn Nga diễn ra từ ngày 9 đến ngày 14/4/2018 tại thành phố Tyumen. 286 học sinh (93 học sinh lớp chín, 105 học sinh lớp mười và 88 học sinh lớp mười một) đã tham gia Olympic. Olympic bao gồm hai vòng: vòng thứ nhất là thử nghiệm, vòng thứ hai là lý thuyết. Thời gian của mỗi chuyến tham quan là 5 giờ thiên văn. Olympic được tổ chức cho từng lứa tuổi lớp 9, lớp 10 và lớp 11. Ở vòng thực nghiệm, mỗi lớp được yêu cầu hoàn thành 2 nhiệm vụ, đến vòng lý thuyết, các em được yêu cầu giải 5 bài toán. Nhiệm vụ của vòng thực nghiệm Olympic bao gồm các phần chính của chương trình giảng dạy vật lý ở trường: cơ học, nhiệt động lực học và vật lý phân tử, điện động lực học, dao động và sóng. Vòng lý thuyết bài toán của Olympic được hình thành theo trình tự tương tự. Thử nghiệm bài toán dành cho lớp 10 và 11 theo truyền thống hóa ra là khó. Nhưng nhìn chung, những người tham gia Olympic đã hoàn thành xuất sắc mọi nhiệm vụ. Trước khi kháng cáo, các bài tập của những người tham gia Olympic đã được phân tích và các tiêu chí đánh giá bài tập đã được làm rõ. Do đó, Ban giám khảo đã quyết định lời giải trao bằng Đạt giải Olympic cho 22 học sinh và bằng Giải thưởng cho 104 học sinh (lớp 9 - 8 học sinh đạt giải và 34 học sinh đạt giải, lớp 10 - 6 học sinh đạt giải và 39 học sinh đạt giải, lớp 11 - 8 học sinh đạt giải và 31 học sinh đạt giải). Căn cứ kết quả Olympic, một nhóm thí sinh Liên bang Nga được thành lập để tham dự Olympic Vật lý quốc tế năm 2019 và một nhóm thí sinh Liên bang Nga tham dự Olympic Khoa học quốc tế thiếu niên năm 2018. Dưới đây là các vòng lý thuyết bài toán vòng chung kết và danh sách các thí sinh đoạt giải Olympic Vật lý toàn Nga LII.

Chuyến tham quan lý thuyết

lớp 9

Bài toán 1. Đầu máy hơi nước Khi thực hiện chụp ảnh từ trên không khu vực này, một đám khói từ đầu máy hơi nước bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên với gia tốc không đổi 0,05 m $с^{2}$ dọc theo một đoạn thẳng của đường sắt, đi vào khung. Bức ảnh (Hình 1) hiển thị toàn bộ đoàn tàu từ

Hình 1

ngay từ đầu phong trào. Một ô tương ứng với khoảng cách 200 m. Giả sử tốc độ gió không đổi, hãy xác định: 1) Đầu máy chuyển động theo hướng nào? 2) Gió thổi vào đường sắt ở góc D nào? 3) Tốc độ gió $v_{0}$. 4) Tốc độ gió tối thiểu $v_{min}$ so với đầu máy. 5) Thời gian chuyển động của đầu máy W từ khi bắt đầu chuyển động đến thời điểm quay phim. 6) Quãng đường mà đầu máy đã đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm quay phim. M. Zamyatin

Bài toán 2. Khối và hình trụ Trong hai bình thông nhau có tiết diện $S_{1}$ và $S_{2}$ chứa chất lỏng

43

Thế Vận Hội

xương có mật độ U (Hình 2). Các bình được làm kín bằng các pít-tông có thể di chuyển dưới tác động của hệ thống các khối và các sợi không giãn được nối với đòn bẩy.

Hình 2

gom R. Lúc đầu, các sợi ren không bị căng hoặc võng, piston tiếp xúc với chất lỏng. Cần được di chuyển từ từ lên trên một khoảng h nhỏ sao cho nó nằm ngang và các sợi dây vẫn thẳng đứng. 1) Giả sử rằng $S_{1}$! $S_{2}$, xác định hướng và khoảng cách mà piston sẽ di chuyển. Phải tác dụng lực nào $F_{1}$ lên đòn bẩy để giữ nó sau khi dịch chuyển một đoạn h? 2) Cần phải có lực $F_{2}$ nào để di chuyển cần gạt lên trên một khoảng h ở $S_{2} 2 S_{1}$? Khối lượng của đòn bẩy, khối, ren và piston có thể bỏ qua. Không có ma sát. Các tàu không rời khỏi giá đỡ. Áp suất hơi của chất lỏng nhỏ hơn nhiều so với áp suất khí quyển $p_{0}$. Gia tốc trọng trường là g. A. Apolonsky Bài toán 3. Đến với chất dẻo Một mảnh nhựa có khối lượng m, rơi không có vận tốc ban đầu từ một độ cao nhất định, dính vào một khối có cùng khối lượng đang chuyển động dọc theo một mặt phẳng nằm ngang với tốc độ không đổi $v_{0} 4$ m s dưới tác dụng của một lực ngang không đổi. Hệ số ma sát giữa khối và bề mặt

cỡ P 0,2. Xác định tốc độ $v_{1}$ của khối sau một thời gian $t_{1} = 1$ s sau khi nhựa bắt đầu rơi. Vẽ đồ thị vận tốc của khối v theo thời gian t sau khi nhựa bắt đầu rơi: a) từ độ cao $h_{1} = 10$ m; b) từ độ cao $h_{2} = 25$ m, cho biết tọa độ các điểm đặc trưng trên đó. Gia tốc trọng trường g 10 m $с^{2}$. Bỏ qua sức cản của không khí. M. Zamyatnin

Bài toán 4. Làm nóng bằng phản lực Nước được đổ vào một bình cách nhiệt rỗng ở nhiệt độ $t_{0} 20 q C$ trong dòng có tốc độ dòng khối là P 2,0 g s. Khi có m = 100 g nước trong bình, người ta bật lò sưởi có công suất N = 200 W. Nhiệt độ của chất chứa trong bình được đo bằng nhiệt kế thủy ngân đặt trong bình. Sau bao lâu $W_{1}$ kể từ lúc bật máy sưởi thì nhiệt độ của nước trong bình sẽ tăng lên $t_{1} 30 q C$? Nhiệt độ tối đa $t_{max}$ có thể làm nóng lượng chứa trong bình là bao nhiêu? Tìm sự phụ thuộc của tốc độ v của độ dâng của cột thủy ngân của nhiệt kế vào thời gian W kể từ thời điểm bật lò sưởi, nếu trên thang đo của nó, khoảng cách giữa các vạch $t_{0}$ và $t_{1}$ bằng l = 2,0 cm. Xác định tốc độ tăng của cột ở nhiệt độ $t_{1}$. Nhiệt dung riêng của nước là c 4200 J kg q C. Quá trình trao đổi nhiệt diễn ra nhanh, nhiệt dung của nhiệt kế và bình nhỏ. G. Zikratsky

Bài toán 5. Ôm kế sẽ hiển thị những gì? Khi một ohm kế được nối với phần tử phi tuyến Z, đặc tính dòng điện-điện áp của nó được trình bày trong Hình 3, nó có điện trở $R_{Z} = 0,8$ kOhm. Nếu một điện trở có điện trở R = = 1 kOhm được mắc song song với phần tử phi tuyến Z thì số chỉ của ohmmeter sẽ là $R_{1} = = 0,4$ kOhm. Xác định emf $U_{0}$ của nguồn ôm kế và điện trở trong r của nó. Số đọc của ôm kế $R_{2}$ sẽ như thế nào khi nối nối tiếp phần tử phi tuyến Z và điện trở có điện trở R với nó? Ghi chú. Hãy xem xét rằng một ôm kế bao gồm một nguồn điện áp không đổi lý tưởng $U_{0}$, một điện trở có điện trở r và một ampe kế lý tưởng được mắc nối tiếp (Hình 4). Khi kết nối với

44

KV A NT 2018/Số 8

những bức tường. Hỏi quả cầu lớn sẽ đạt vận tốc bao nhiêu sau tất cả các va chạm nếu khối lượng của các quả cầu bằng nhau? Không có ma sát trong hệ thống, sự va chạm của các vòng đệm với nhau và với tường là hoàn toàn đàn hồi. I.Vorobiev

Hình 3

Hình 4

sử dụng ôm kế của điện trở có điện trở $R_{x}$, số đọc của ampe kế tích hợp trong ôm kế sẽ tự động được tính toán lại để màn hình kỹ thuật số của thiết bị phản ánh giá trị điện trở của điện trở được kết nối. A.Kireev

lớp 10

Bài toán 1. Vòng đệm và tường Hai vòng đệm nằm trên một bề mặt nằm ngang nhẵn (Hình 5). Một vòng đệm nhỏ có bán kính r chuyển động với tốc độ v dọc theo một bức tường thẳng đứng có một khe hở nhỏ với nó. Một vòng giặt lớn có bán kính R = 7r chạm

Hình 5

Bài toán 2. Ô tô trên băng tải Một ô tô chuyển động dọc theo băng tải đứng yên nằm ngang với tốc độ $v_{0} 20$ m s khi thời tiết lặng gió. Trong trường hợp này, một nửa công suất động cơ được dùng để vượt qua lực cản không khí, nửa còn lại để vượt qua ma sát lăn. 1) Gió thổi về phía ô tô với tốc độ $v_{0} 20$ ms (so với mặt đất). Ở tốc độ ổn định $v_{1}$ so với mặt đất, ô tô sẽ chuyển động như thế nào nếu công suất do động cơ tạo ra không thay đổi và băng tải đứng yên? 2) Tại một thời điểm nào đó, gió lặng dần và băng tải bắt đầu chuyển động với tốc độ không đổi $v_{0} 20$ ms theo hướng ngược lại với chuyển động của ô tô. Ở tốc độ ổn định $v_{2}$ so với mặt đất, ô tô sẽ chuyển động như thế nào nếu công suất do động cơ tạo ra không thay đổi? Lưu ý 1. Lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương vận tốc tương đối, lực ma sát lăn không đổi. Lưu ý 2: Trong mọi trường hợp bánh xe không bị trượt. Lưu ý 3: Phương trình bậc ba có thể được giải bằng cách khớp. V.Petrov

Bài toán 3. Ống trên máy ly tâm Trên máy ly tâm chỉ có thể quay quanh trục thẳng đứng, một trụ đèn kín được cố định ở vị trí nằm ngang (Hình 6). trục khí

Hình 6

46

KV A NT 2018/Số 8

Lord Kelvin đã cùng anh ấy thực hiện hai quá trình và mô tả chúng trên sơ đồ pV. Tất nhiên, mực đã phai. Từ quy trình đầu tiên, một phần của biểu đồ vẫn tồn tại - một đoạn thẳng và từ biểu đồ của quy trình thứ hai, như thường lệ, chỉ có điểm A được giữ nguyên (Hình 10). Từ những ghi chú giải thích sau đây

Hình 11

Hình 10

Hóa ra là trong các quá trình này ở nhiệt độ bằng nhau, nhiệt dung là trùng nhau. Khôi phục đồ thị áp suất p theo thể tích V cho quá trình thứ hai. I.Vorobiev

Bài toán 3. Trong bong bóng Trong không gian sâu thẳm có một hành tinh bao gồm toàn bộ là nước. Được biết, cư dân vùng biển sâu từ bên trong có thể nhìn thấy toàn bộ không gian xung quanh họ khi và chỉ khi họ ở khoảng cách không quá x = 3000 km tính từ tâm hành tinh. Người dân địa phương quyết định phóng vệ tinh. Nó nên di chuyển với tốc độ bao nhiêu trong quỹ đạo thấp nhất có thể? Chiết suất của nước là n 4 3, khối lượng riêng của nước là U 1000 kg $м^{3}$, lực hấp dẫn là do các bức tường thẳng đứng $W_{1}$ và $W_{2}$ đặt cách nhau một khoảng D. Một tụ điện có điện dung C và một điện trở có điện trở R được tích điện đến hiệu điện thế $U_{0}$ và một điện trở có điện trở R được mắc nối tiếp với các thanh ray thông qua một công tắc K. Một từ trường đều thẳng đứng có cảm ứng B được đóng vuông góc với mặt phẳng của các thanh ray có cảm ứng B sao cho m! $B^{2} l^{2} C$ và DBl ≫ $RCU_{0}$. Vào thời điểm chìa khóa được đóng lại, chiếc cầu nhảy nằm ở giữa các bức tường. Xác định: 1) va chạm đầu tiên của người nhảy sẽ xảy ra với bức tường nào; 2) tốc độ $v_{1}$ trước lần va chạm đầu tiên; 3) tốc độ $v_{n}$ trước lần va chạm thứ n. Mọi va chạm giữa cầu và tường đều tuyệt đối đàn hồi. A. Apollonsky

Bài toán 5. Họ thả một quả bóng xuống sông Từ điểm O trên mặt nước, những quả bóng kim loại nhỏ giống hệt nhau được ném xuống sông (Hình 12). Quả bóng được thả ra không có vận tốc ban đầu rơi xuống đáy tại điểm G 6,67 $10^{11}$ Н $м^{2} кг^{2}$. Hành tinh này không quay quanh trục của nó, không có sóng trên bề mặt, nước có thể coi là không thể nén được. K. Kutelev

Bài toán 4. Va chạm trong từ trường Một dây nhảy kim loại có khối lượng m có thể trượt dọc theo hai đường ray dẫn nằm ngang mà không ma sát (Hình 11). Khoảng cách giữa các đường ray l. Chuyển động của cầu nhảy bị giới hạn bởi hai vật liệu cứng không dẫn điện

Hình 12

B, và một quả bóng được ném thẳng đứng xuống dưới với vận tốc v đã biết, rơi xuống điểm C. Khoảng cách BC = L. Tìm thành phần nằm ngang của vận tốc của quả bóng thứ hai $u_{x}$ khi nó chạm đáy. Hãy xem xét điều đó khi

50

KV A NT 2018/Số 8

Nhiệm vụ của vòng loại bao gồm phần kiểm tra (chỉ đáp số được kiểm tra) và phần sáng tạo (lời giải được kiểm tra và đánh giá).

tức là nhỏ hơn điện trở của điện trở đó mấy lần. Tìm tỉ số giữa công suất do diode cung cấp và công suất do điện trở cung cấp. Viết Đáp số dưới dạng số.

Phần I (bài kiểm tra)

Phần II (nhiệm vụ sáng tạo)

1 (8 điểm). Một cậu bé ngồi trên đu quay, ngồi gần như bất động trên một chiếc ghế quay quanh trục thẳng đứng của đu quay với tốc độ góc 2 rad/s theo một đường tròn có bán kính 2 m. Cha anh ấy đi xe đạp với tốc độ 10 m/s dọc theo con đường đi ngang qua băng chuyền. Tại thời điểm anh ta đi qua điểm của đường đi gần băng chuyền nhất, con trai anh ta cũng đi qua điểm quỹ đạo của anh ta gần đường đi nhất, trong khi khoảng cách giữa chúng là 3 m và tốc độ của chúng so với mặt đất là cùng hướng. Tìm vận tốc của người cha trong hệ quy chiếu gắn với con tại thời điểm này. Đáp số viết bằng m/s. 2 (8 điểm). Một mol heli được nung nóng sao cho áp suất của nó tăng tỷ lệ thuận với thể tích của nó, tăng theo hệ số 1,3. Tìm lượng nhiệt cung cấp cho helium trong quá trình này nếu biết nhiệt độ ban đầu của nó là 200 K. Hằng số khí phổ biến là R = 8,31 J/(mol K). Viết Đáp số bằng joules, làm tròn đến số nguyên gần nhất. 3 (9 điểm). Trong mạch hiển thị ở Hình 1, a, diode không lý tưởng - đặc tính dòng điện-điện áp của nó (sự phụ thuộc của dòng điện vào điện áp đặt vào) được thể hiện trong Hình 1, b. Như bạn có thể thấy, diode có một điện áp ngưỡng nhất định, dưới ngưỡng này, nó bị khóa ngay cả khi được kết nối trực tiếp và khi vượt quá, nó sẽ vượt qua bất kỳ dòng điện nào (chúng tôi tin rằng điều này đúng với đặc tính dòng điện của mạch này). Được biết, giá trị của EMF của nguồn lớn hơn 6 lần so với điện áp ngưỡng của diode và điện trở trong của nguồn

Lưu trữ Giáo sư Challenger

Giai đoạn vòng loại

Hình 1

1. Quang học dưới nước Ngày xửa ngày xưa, Giáo sư Challenger đã quan sát cư dân của một cái ao có nước sạch. Để làm như vậy, ông đã sử dụng một thấu kính mỏng phẳng-lồi, tiêu cự của nó trong không khí là F = 30 cm. Thấu kính được đặt trên mặt nước (Hình 2). Giáo sư kiểm tra nhỏ

Hình 2

một vật nằm ngay dưới tâm thấu kính ở độ sâu h = 63 cm. Ở độ phóng đại ngang nào thì vật thể có thể nhìn thấy được? Người ta biết rằng chiết suất của thủy tinh làm thấu kính là $n_{л} = 2$, chiết suất của nước là n = 2 = 1,414.

2. Rơle cơ nhiệt Trong một trong những thí nghiệm của Giáo sư Challenger, cần phải có tín hiệu được đưa ra khi hệ thống lắp đặt đạt đến nhiệt độ nhất định. Có thể chế tạo cảm biến cần thiết dựa trên một tấm lưỡng kim, tức là hai tấm mỏng dài có cùng kích thước: chiều dài L, chiều rộng D, độ dày d, với L ≫ D ≫ d, được làm bằng các kim loại khác nhau và được hàn chắc chắn với nhau trên toàn bộ bề mặt tiếp xúc (Hình 3, a). Kim loại có

Hình 3

55

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Hình 4

có dạng 3k – 1, sau đó có màu đỏ. Xét một hình vuông có kích thước 2 ¥ 2. Trong đó, hai màu xuất hiện hai lần, nhưng thiếu một màu. Trên thực tế, nếu có cả ba màu thì có một góc nhiều màu, nhưng không nên có một góc. Nếu một màu xuất hiện ba lần thì nó cũng tạo thành một góc cấm. Dễ dàng nhận thấy rằng nếu dọc theo cạnh dọc $квадрата^{2} ¥^{2}$ có các ô có màu khác nhau thì trong toàn bộ dải ngang chứa hình vuông này không có màu thứ ba. Điều tương tự cũng có thể nói về hai màu ngang khác nhau và một sọc dọc tương ứng. Vì ít nhất một trong các sọc này phải giao sọc với các ô có màu thứ ba, tức là phải chứa các ô có màu thứ ba, nên không thể tô màu $квадрат^{2} ¥^{2}$ theo mẫu bàn cờ. Ví dụ, hãy để hình vuông phía dưới bên trái 2 ¥ 2 có màu ngang. Sau đó, mỗi hàng trong số hai hàng dưới cùng được tô cùng một màu. Chuyển sang các dòng tiếp theo, dễ hiểu là chúng đều có cùng một màu. Do đó, số ô của mỗi màu bằng nhau (và khi đó số hàng là bội số của ba) hoặc có hai màu sao cho số ô của một trong số chúng lớn hơn số ô của màu kia ít nhất n. Trong thực tế, số lượng ô có màu khác nhau khác nhau không quá 1. Cách sắp xếp các ví dụ về n cho trong đáp số có ​​thể dễ dàng hiểu được từ chứng minh ước tính. 5. Bạn có thể. Vì $16 = 2^{4}$, các đồng xu có thể được mã hóa bằng các chuỗi số 0 và số một có độ dài 4. Đối với bốn lần cân đầu tiên, chúng tôi sẽ

GIẢI PHÁP

đặt vào đĩa bên trái của cân tất cả các đồng xu có số 0 ở những vị trí tương ứng và trên đĩa bên phải - tất cả những đồng xu có số 1 ở những vị trí tương ứng. Nếu sau mỗi lần cân như vậy mà cân vẫn cân bằng thì các đồng tiền giả có số khác nhau ở cả bốn vị trí. Hãy chia các đồng xu thành 8 cặp sao cho trong mỗi cặp các mã đồng xu khác nhau ở tất cả các chữ số. Sau đó, trong một cặp nào đó cả hai đồng xu đều là giả. Mỗi cặp có thể được coi là một đồng xu mới, sau đó bài toán giảm xuống thành đồng xu đã biết: bằng hai lần cân, xác định đồng xu giả nhẹ hơn từ không quá chín đồng xu. Nếu trong bốn lần cân đầu tiên, một trong hai chiếc cốc nặng hơn thì chúng ta sẽ tìm ra con số tương ứng cho cả hai đồng tiền giả. Do đó, một hoặc nhiều cấp bậc tiền giả sẽ được biết đến. Hãy chia những đồng xu khả nghi (sẽ có ít hơn 8 đồng) thành từng cặp sao cho các chữ số chưa biết ở mỗi cặp là khác nhau. Tiếp theo chúng ta tiến hành theo cách tương tự. 6. Đối với tất cả N lẻ, cũng như N = 2, 4, 10, Petya sẽ thắng, và trong các trường hợp khác Vasya sẽ thắng. Chúng ta sẽ đánh số các ô có số từ 1 đến N từ trái sang phải. Rõ ràng với N £ 5 Petya sẽ thắng. Xét N = 6. Khi đó tất cả các ô có thể được chia thành các cặp: (1; 4), (2; 5) và (3; 6). Với bất kỳ động thái nào của Petya, Vasya có thể đặt một con chip vào số thứ hai của cặp. Vì vậy, Vasya sẽ luôn có nước đi và sẽ không thua. Chiến lược giành chiến thắng tương tự của Vasya cũng có hiệu quả với N = 8, nếu chúng ta xem xét các cặp (1; 5), (2; 6), (3; 7) và (4; 8). Đối với $N \ge 12$ chẵn, một chiến lược tương tự cũng có hiệu quả, vì dải có thể được chia thành các nhóm 6 và 8 ô và suy luận bằng quy nạp. Chuyển từ N sang N + 2: nếu có nhóm 6 ô thì thay thế bằng nhóm 8 ô, nếu không có nhóm 8 ô thì thay 2 nhóm 8 ô bằng 3 nhóm 6 ô. Với N = 7, N = 9 và với N lẻ > 12, Petya thắng, vì bằng cách đặt một con chip vào ô cuối cùng trong nước đi đầu tiên của mình, anh ta đảm bảo việc chuyển nước đi và sử dụng chiến lược của Vasya được mô tả ở trên. Khi N = 10, Petya thắng, đặt chip của mình lên 3. Vasya có hai khả năng thực hiện nước đi phản ứng, nhưng sau nước đi tiếp theo của Petya, các nước đi của Vasya được xác định duy nhất, tức là xuất hiện hai chuỗi nước đi: P3 – B7 – P10 – B6 – P9 – B5 – P2 và

57

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Hình 6

Có, tôi không thể ghi nhiều hơn sáu điểm. Thật vậy, nếu cô ấy ghi ít nhất 7 điểm và năm người còn lại ghi ít nhất 8 điểm, thì 7 + 5 ◊ 8 = 47 > 45. Lưu ý rằng các thao tác sau bảo toàn số điểm mà đội ghi được, nhưng cải thiện sự khác biệt giữa trận thắng và trận thua: 1) thay hai trận thua có tỷ số 2: 3 bằng chiến thắng 3: 2 và trận thua 1: 3; 2) thay thế thắng 3:2 và thua 2:3 bằng thắng 3:0 và thua 1:3; 3) thay ba chiến thắng với tỷ số 3: 2 bằng hai chiến thắng với tỷ số 3: 0 và thất bại 1: 3. Với sáu điểm ghi được, áp dụng các thao tác này càng lâu càng tốt, chúng ta sẽ có hai chiến thắng với tỷ số 3: 0 và ba trận thua với tỷ số 1: 3. Vì vậy, chênh lệch giữa các trận đấu không thể trở nên tích cực. Điều này có nghĩa là có nhiều hơn sáu đội. 10. Lưu ý rằng hình bảy góc hình chữ nhật có ít nhất hai góc vuông kề nhau. Do đó, một hình chữ nhật có thể được cắt ra khỏi nó và phần còn lại sẽ lại là hình bảy góc hình chữ nhật. Một hình chữ nhật có thể được cắt thành ba hình chữ nhật và mỗi hình chữ nhật có thể được cắt thành hai hình bảy cạnh hình chữ nhật, chẳng hạn như trong Hình 7.

Hình 7

11. a) 45q. Cho các đường thẳng AK và DC cắt nhau tại điểm E (Hình 8). Từ điểm L ta hạ đường vuông góc LG xuống AE. Vì L nằm trên phân giác của góc

GIẢI PHÁP

Hình 8 KAD thì LG = LD = KC. Khi đó trong tam giác KEL có hai đường cao bằng nhau nên tam giác này cân với đáy KL. a) Đặt KAL DAL D, rồi KEL $90 q^{2} D$, EKL 45 q D. Vì góc EKL nằm ngoài tam giác KAL nên KLA 45 q. b) Vì tam giác KEL cân nên KG = LC. Khi đó AD + KC = AG + KC = AK + + KG + KC = AK + LC + DL = AK + CD, tức là một đường tròn có thể nội tiếp trong tứ giác ADCK. Tâm của nó là giao điểm của các đường phân giác của các góc A, C và D của tứ giác ADCK, tương đương với câu bài toán. 12. Anh ấy không thể. Trước tiên, hãy để Oleg ghép một “con nhím” gồm bảy khối: chọn khối trung tâm có tọa độ (0; 0; 0) và dán một khối vào mỗi mặt của nó. Tiếp theo, anh ta sẽ dán từng khối lập phương vào khối đa diện lớn này. Nếu một trong các hình khối riêng lẻ (không được dán ở bất kỳ đâu) được sơn hoàn toàn, thì anh ta sẽ dán nó vào vị trí của dạng (0; 0; k). Nếu không có các khối màu riêng lẻ thì động tác cuối cùng của Misha là vẽ một khối đa diện lớn. Trong trường hợp này, Oleg sẽ dán một khối lập phương mới vào khối đa diện lớn ở vị trí trống đầu tiên trong danh sách sau: (1; 1; 0), (1; –1; 0), (–1; 1; 0), (–1; –1; 0), (1; 0; 1), (–1; 0; 1), (1; 0; –1), (–1; 0; –1), (1; 1; 1), (–1; 1; 1), (1; –1; 1), (–1; –1; 1), (1; 1; –1), (–1; 1; –1), (1; –1; –1), (–1; –1; –1), (0; 1; 1), (0; –1; 1), (0; 1; –1), (0; –1; –1). Trong danh sách này, mỗi khối lập phương mới, được dán sau tất cả các khối trước đó, sẽ có một số chẵn mặt mở sẽ được sơn, vì sớm hay muộn Misha sẽ vẽ một khối đa diện lớn. Cho đến khi điều này xảy ra, Oleg sẽ dán các hình khối đã sơn vào các vị trí có dạng (0; 0; k); các vị trí kiểu này không có cạnh chung với các vị trí trong danh sách.