Bài toán M2522—M2525; F2529—F2532

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Tác giả bài toán F2529–F2532 – S. Kryukov.

Bài toán M2522–M2525, F2529–F2532

M2522. Tìm tất cả các số tự nhiên n có hoán vị $a_{1}$, … $, a_{n}$ của các số 1, …, n sao cho tất cả các số $a_{1} - 1, a_{2} - 2$, …, $a_{n} - n$ phân biệt theo từng cặp. Văn hóa dân gian

M2523. Trong tam giác cân ABC (AB = AC), điểm M là trung điểm của đường cao CH (Hình 1). Đi thẳng, đi qua

y Œ R đẳng thức f ( xy ) = ( f ( x ) ) ay đúng

$( f ( y ) )^{bx}$.

Y. Aliyev

M2525. Cho các số tự nhiên m, n, k, a, b, c. Hình chữ nhật song song m ¥ n ¥ k được cắt thành nhiều “viên gạch” gồm ba loại: a ¥ 1 ¥ 1, 1 ¥ b ¥ 1 và 1 ¥ 1 ¥ c. (Các kích thước được cho theo một thứ tự nhất định - chiều dài, chiều rộng, chiều cao; ví dụ: 1 ¥ 1 ¥ 2 và 1 ¥ 2 ¥ 1 là các loại gạch khác nhau.) Chứng minh rằng ít nhất một trong các khẳng định sau là đúng: m chia hết cho a; n chia hết cho b; k chia hết cho c. T. Zimanov (Kazakhstan) qua C và vuông góc với đường thẳng AC cắt đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC tại điểm P. Chứng minh rằng các điểm B, M và P cùng nằm trên một đường thẳng. D. Pashutkin

F2529. Một hình nón được “lắp” vào một bể cá hình lập phương có chiều dài cạnh 2R (chiều rộng của bể cá bằng đường kính đáy hình nón, chiều cao của hình nón bằng chiều cao của bể cá). Bể cá có hình nón chứa đầy nước. Xác định khối lượng công việc tối thiểu phải thực hiện để “rút” hình nón (lấy nó ra khỏi nước). Mật độ nước $U_{0}$, mật độ vật liệu hình nón U.

M2524. Với mỗi cặp số thực phân biệt a, b, tìm tất cả các hàm $f : R Æ R_{+}$ (tức là các hàm được xác định trên tập hợp tất cả các số thực và lấy giá trị dương) sao cho với mọi x Œ R,

F2530. Dưới đáy một cái giếng trống có một tải trọng khối lượng m, trên đó gắn một sợi dây đàn hồi không trọng lượng có chiều dài L và đầu thứ hai của dây được buộc vào trống ngang với trục của nó (Hình 2). Có một “dấu” trên dây ở độ cao 9 10 L tính từ đáy giếng.

Hình 1