Задачи М2522—М2525; Ф2529—Ф2532

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Автор задач Ф2529–Ф2532 – С.Крюков.

Задачи М2522–М2525, Ф2529–Ф2532

M2522. Найдите все натуральные числа n, для которых существует перестановка $a_{1}$, … $, a_{n}$ чисел 1, …, n такая, что все числа $a_{1} - 1, a_{2} - 2$, …, $a_{n} - n$ попарно различны. Фольклор

M2523. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) точка M – середина высоты CH (рис.1). Прямая, проходящая

y Œ R выполнено равенство f ( xy ) = ( f ( x ) ) ay

$( f ( y ) )^{bx}$.

Я.Алиев

M2525. Даны натуральные числа m, n, k, a, b, c. Прямоугольный параллелепипед m ¥ n ¥ k удалось разрезать на несколько «кирпичей» трех видов: a ¥ 1 ¥ 1, 1 ¥ b ¥ 1 и 1 ¥ 1 ¥ c. (Размеры указаны в заданном порядке – длина, ширина, высота; например, 1 ¥ 1 ¥ 2 и 1 ¥ 2 ¥ 1 – кирпичи разного вида.) Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: m делится на a; n делится на b; k делится на c. Т.Зиманов (Казахстан) через C и перпендикулярная прямой AC, пересекает прямую, проходящую через A и параллельную прямой BC, в точке P. Докажите, что точки B, M и P лежат на одной прямой. Д.Пашуткин

Ф2529. В аквариум в форме куба с длиной ребра 2R «вписан» конус (ширина аквариума равна диаметру основания конуса, высота конуса равна высоте аквариума). Аквариум с находящимся в нем конусом полностью залит водой. Определите минимальную работу, которую следует совершить, чтобы «осушить» конус (вынуть его из воды). Плотность воды $U_{0}$, плотность материала конуса U.

M2524. Для каждой пары различных действительных чисел a, b найдите все функции $f : R Æ R_{+}$ (т.е. функции, определенные на множестве всех действительных чисел и принимающие положительные значения) такие, что при всех x Œ R,

Ф2530. На дне пустого колодца лежит груз массой m, к которому привязан невесомый упругий шнур длиной L, а второй конец шнура привязан к барабану на уровне его оси (рис.2). На шнуре на высоте 9 10 L от дна колодца находится «метка».

Рис. 1