Bài toán 9—12

30

KVAN T 2018/№11

trường hợp d): 6 5 1 2 –

2 ˜ 4 1 ˜ 4 5 ˜ 6 2 2 2

Bài toán dành cho độc lập lời giải

5. Đoạn AB kẻ trên giấy ca rô không dọc theo các cạnh của ô. Xây dựng số lượng lớn nhất các tam giác cân ABC có đáy AC. Giải bài toán cho hai đoạn thẳng như trong Hình 8. 6. Đoạn AB được vẽ trên giấy ca rô không chạy dọc theo các cạnh của ô. Vẽ góc ABC bằng 45q. 7. Trên tờ giấy ca-rô có hai điểm được đánh dấu tại các nút của nó. Xây dựng một hình vuông mà hai điểm đã cho là các đỉnh đối diện.

Hình 8

8. a) Dựa vào cách dựng bài toán trước, dựng đường phân giác vuông góc với đoạn này. b) Làm thế nào để dựng tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác đã cho? 9. Vẽ hình vuông có các đỉnh tại các nút lưới có diện tích: a) 10; b) 17; c) 26 ô.

K O NK URS IM ENI A.P.S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán $задач.^{Они}$ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh lớp 7–9, nhưng chúng tôi sẽ rất vui khi thấy sự tham gia của học sinh ở mọi lứa tuổi. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: [email protected] hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

9. Đồng hồ điện tử hiển thị giờ và phút. Vasya đến gần đồng hồ và nhận thấy rằng bây giờ nó là một bảng màu - thời gian trông giống như AB:BA. Anh quyết định đợi điều đó xảy ra lần nữa, nhưng sau khi ngồi suốt 4 tiếng đồng hồ, anh vẫn không thấy bảng màu thứ hai. Anh ấy còn phải đợi bao lâu nữa? Yu. Markelov

10. Chứng minh rằng bất kỳ số nguyên nào ít nhất 12 đều có thể viết được dưới dạng tổng của hai hợp số. I. Mitrofanov

11. Có một hình tam giác bằng bìa cứng ABC trên bàn. Hoạt động sau đây được thực hiện trên anh ta nhiều lần. Chọn đỉnh của nó, ký hiệu là X, lật tam giác lại và đặt nó sao cho điểm X ở cùng vị trí như trước và góc X của tam giác trùng với vị trí trước đó của nó. Chúng ta hãy biểu thị một hoạt động như vậy bằng $P_{X}$. Chứng minh rằng sau dãy thực hiện $P_{A}, P_{B}, P_{C}, P_{A}, P_{B}, P_{C}$ tam giác sẽ giữ nguyên vị trí ban đầu. V. Rastorguev

12. Các số 1, 2, …, 2n được viết vào các ô của hình chữ nhật 2 ¥ n (mỗi ô một số). Đầu tiên, số 1 được viết vào ô góc dưới bên trái, sau đó số 2 được viết vào một trong các ô lân cận, sau đó số 3 được viết vào một trong các ô lân cận đã được chiếm trước đó, v.v.; tất cả các số tiếp theo được viết vào các ô liền kề với các số đã chiếm trước đó. Chứng minh rằng chính xác $2^{n} -^{1} n$ tồn tại! cách điền vào bảng. V. Rastorguev