Vòng tròn mười đỉnh của một tứ giác nội tiếp

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Vòng tròn mười đỉnh của một tứ giác nội tiếp

Người ta biết rằng trong mọi tam giác, trung điểm các cạnh, đáy các đường cao và trung điểm các đoạn nối các đỉnh của tam giác với trực tâm của tam giác đều nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Euler hay đường tròn chín điểm của tam giác. Một dạng tương tự của đường tròn chín điểm của một tứ giác nội tiếp có thể được gọi là đường tròn được mô tả trong bài toán sau đây, được đề xuất vào năm 2011 tại Olympic Zhautykov quốc tế lần thứ VII (Kazakhstan):

Các đường chéo của tứ giác nội tiếp ABCD cắt nhau tại điểm K, M và N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM và BCM cắt nhau tại các điểm M và L. Chứng minh rằng các điểm K, L, M và N cùng nằm trên một đường tròn (các điểm này được coi là phân biệt). Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trên đường tròn này, chúng tôi sẽ ký hiệu thêm là P, ngoài các điểm K, L, M và N, còn có sáu điểm nữa. Điều này cho phép chúng ta gọi nó là đường tròn mười điểm của một tứ giác nội tiếp. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau: Z ABC – đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; S X – độ $точки^{X}$ (xem [2]) so với $Z^{ABC}$. Định lý chính. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (xem hình), M và N là trung điểm hai đường chéo của nó, K là giao điểm của hai đường chéo, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABCD. Gọi các điểm F, G, H là giao điểm thứ hai

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181104

(Tiếp theo trang 34)

M.NSANBAEV

36

KVA NT 2018/Số 11

Hình 1

âm thanh của một tần số. Độ cao của âm này có thể được thay đổi theo nhiều cách khác nhau - bằng cách chọn khoảng cách từ nắp đến micrô, mức âm lượng trên loa, kích thước và hình dạng của bình thay thế nắp. Trong một bức ảnh khác (Hình 2), một chiếc cốc rỗng đóng vai trò là bộ cộng hưởng. Các lựa chọn đa dạng khác cũng có thể thực hiện được. Vì lý do nào đó, bộ cộng hưởng độc đáo làm bằng ống sắt này lại gây ấn tượng lớn đến mức phần nhựa trang nhã của nút chai hiện đại - có ba lỗ nhỏ - rất vừa vặn (Hình 3). Sau khi lắp chắc chắn phần nhựa vào ống, chúng ta đưa ống rất gần theo chiều dọc hoặc gần như thẳng đứng với lỗ micro ở mặt trước của máy tính xách tay và thu được âm thanh chói tai. Và chiều cao của nó có thể được thay đổi,

Hình 2

Hình 3

che các lỗ trên miếng nhựa ở các mức độ khác nhau. Có thể nói, một âm thanh yếu ngẫu nhiên lọt vào micro được hệ thống điện của máy tính và loa khuếch đại, quay trở lại micro, vẫn đi qua đường khuếch đại và một trong các tần số trong âm thanh này được khuếch đại đặc biệt đáng kể, trùng với tần số tự nhiên nào đó của hệ thống. Khi cộng hưởng, tín hiệu trở nên rất lớn. Đây là phản hồi tích cực. Nhưng để có âm thanh chất lượng cao của bất kỳ nhạc cụ nào, thiết kế cũng phải có phản hồi tiêu cực - để ngăn chặn những cộng hưởng không cần thiết, nếu không âm thanh sẽ chỉ gây khó chịu cho tai. Về bản chất, đây là một mô hình cực kỳ đơn giản về phát minh tuyệt vời của Lev Sergeevich Theremin (1896–1993), được gọi là “theremin”, chỉ có điều ở thiết bị này phản hồi được thực hiện bằng điện. Cách tiếp cận của bàn tay người biểu diễn đã làm thay đổi điện dung của mạch dao động trong máy phát và tần số của nó tăng hoặc giảm. Điều này sau đó được chuyển thành âm thanh và nhạc cụ (không cần chạm vào nó!) có thể tái tạo các giai điệu với âm thanh độc đáo. Nói tóm lại, trải nghiệm được cung cấp mang lại nhiều khả năng cho học sinh - ví dụ: chọn chủ đề cho một dự án và thuyết trình tại hội nghị sinh viên.