Giải đấu thành phố XL

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XL

MỤC ĐÍCH CỦA TOUR DU LỊCH MÙA THU (2018)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1. (4)^{1}$ Đường tròn đi qua đỉnh B của góc vuông và trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông ABC cắt hai chân của tam giác này tại các điểm M và N. Suy ra AC = 2MN. Chứng minh M và N là trung điểm của tam giác ABC. M. Evdokimov

2. (4) Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: các số 1, 2, 3, …, 2n có thể chia thành các cặp sao cho nếu cộng các số trong mỗi cặp rồi nhân kết quả sẽ được một bình phương của một số tự nhiên. Văn hóa dân gian

3. Một hình chữ nhật ca rô có kích thước 7 x 14 được cắt dọc theo đường lưới thành các hình vuông 2 x 2 và các góc gồm 3 ô. Liệu có thể có: a) (1) số hình vuông bằng số góc; b) (3) nhiều hơn góc? M. Evdokimov

4. (5) Nastya có năm đồng xu trông giống hệt nhau, trong đó có ba đồng xu thật - chúng nặng như nhau - và hai đồng xu giả: một đồng nặng hơn đồng thật và đồng thứ hai nhẹ hơn đồng thật một lượng. Theo yêu cầu của Nastya, chuyên gia sẽ thực hiện ba lần cân trên cân hai cốc không có quả cân mà cô ấy sẽ chỉ rõ, sau đó báo cáo kết quả cho Nastya. Nastya có thể chọn cách cân sao cho dựa trên kết quả của chúng, đảm bảo xác định được cả hai đồng tiền giả và cho biết đồng tiền nào nặng hơn và đồng tiền nào nhẹ hơn không? R.Zhenodarov

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

5. (5) Số có chín chữ số được gọi là đẹp nếu tất cả các chữ số của nó khác nhau. Chứng minh rằng có ít nhất 1000 số đẹp, mỗi số chia hết cho 37. M. Evdokimov

lớp 10–11

1. (3) Có thể đặt một đoạn thẳng bên trong một hình ngũ giác đều sao cho tất cả các đỉnh đều nhìn thấy được ở cùng một góc không? (Góc nhìn thấy đoạn XY từ điểm A được gọi là góc XAY.) E. Bakaev, S. Dvoryaninov

2. (4) Xem bài toán 2 cho lớp 8–9. 3. (5) Trong hình bình hành ABCD, góc A nhọn. Trên cạnh AB có điểm N sao cho CN = AB. Hoá ra đường tròn ngoại tiếp tam giác CBN tiếp xúc với đường thẳng AD. Chứng minh rằng nó tiếp xúc với điểm D. M. Evdokimov

3. (5) Số có chín chữ số được gọi là đẹp nếu tất cả các chữ số của nó khác nhau. Chứng minh rằng có ít nhất 2018 số đẹp, mỗi số chia hết cho 37. M. Evdokimov

4. (5) Xem bài toán M2538 “Bài toán Kvant”.

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. (5) Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm cạnh BC, điểm E là điểm tùy ý bên trong cạnh AC. Được biết, BE t 2 giờ sáng. Chứng minh tam giác ABC tù. N. Sedryakyan 2. (6) Xem bài toán M2534 “Bài toán Kvant.

2. (8) Xem bài toán M2535 “Bài toán Kvant”.

3. (8) Bàn cờ 7 u 7 trống hoặc có một con tàu vô hình “trong các ô vuông” trên đó

51

Thế Vận Hội

2 u 2. Được phép đặt bảng ở một số ô dọc theo máy dò, sau đó bật chúng cùng lúc. Máy dò được bật tín hiệu nếu ô của nó bị tàu chiếm giữ. Số lượng máy dò nhỏ nhất sẽ đủ để xác định một cách đáng tin cậy từ số đọc của chúng xem có con tàu nào trên tàu hay không và nếu có thì nó chiếm ô vuông nào? R.Zhenodarov

5. (8) Hình thang đều ABCD có đáy AD và BC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường thẳng BO cắt đoạn AD tại điểm E. Gọi $O_{1}$ và $O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và DBE. Chứng minh rằng các điểm $O_{1}, O_{2}, O, C$ cùng thuộc một đường tròn. A. Zaslavsky

6. a) (7) Xem bài toán M2539, a “Bài toán Kvant. b) (3) Xem bài toán M2539, b “Bài toán Kvant.

7. Có ít nhất hai thành phố ở trạng thái máy tính ảo. Một số cặp thành phố được kết nối bằng một con đường và từ bất kỳ thành phố nào bạn có thể đi bằng đường bộ đến bất kỳ thành phố nào khác (sau đây, việc di chuyển từ đường này sang đường khác chỉ được phép ở các thành phố). Nếu không thể quay lại thành phố này sau khi xuất phát từ một thành phố mà không đi qua hai lần trên cùng một con đường thì trạng thái đó được gọi là đơn giản, nếu không thì nó được gọi là phức tạp. Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Khi bắt đầu trò chơi, Petya chỉ ra trên mỗi con đường hướng mà bạn có thể di chuyển dọc theo nó và đưa khách du lịch đến một trong các thành phố. Tiếp theo, trong khi rẽ, Petya di chuyển khách du lịch dọc theo con đường theo hướng được phép đến thành phố lân cận, và Vasya ở đáp số thay đổi hướng của một trong những con đường đi vào hoặc rời khỏi thành phố nơi khách du lịch đã dừng chân. Vasya sẽ thắng nếu một lúc nào đó Petya không thể di chuyển. Chứng minh rằng: a) (5) Ở trạng thái đơn giản Petya có thể chơi sao cho không bị thua, bất kể Vasya chơi thế nào; b) (7) Trong tình thế khó khăn, Vasya có thể đảm bảo cho mình một chiến thắng, bất kể Petya chơi thế nào. M. Didin

lớp 10–11

1. (5) Xem bài toán M2534 “Bài toán Kvant”.

2. (7) Trong tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn ngoại tiếp O, vẽ các đường cao $AH_{a}$ và $BH_{b}$. Điểm X và Y đối xứng với các điểm $H_{a}$ và $H_{b}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Chứng minh đường thẳng CO chia đôi đoạn XY. Văn hóa dân gian

3. a) (6) Xem bài toán M2539, a “Bài toán Kvant. b) (2) Xem bài toán M2539, b “Bài toán Kvant.

4. (8) Xem bài toán M2536 “Bài toán Kvant”.

5. (8) Ba đường trung tuyến của một tam giác chia các góc của nó thành sáu góc, trong đó có k lớn hơn 30q. Giá trị lớn nhất có thể có của k là bao nhiêu? N. Sedrakyan 6. (9) Xem bài toán M2537 “Bài toán Kvant.

6. Rockefeller và Marx đang chơi trò chơi này. Có n > 1 thành phố, tất cả đều có cùng số dân. Lúc đầu, mỗi dân làng có đúng một đồng xu (các đồng xu giống nhau). Trong một lượt, Rockefeller chọn một cư dân từ mỗi thành phố và Marx phân phối lại tiền của họ cho họ một cách tùy ý với điều kiện duy nhất là việc phân phối không giữ nguyên như cũ. Rockefeller sẽ thắng nếu tại một thời điểm nào đó ở mỗi thành phố có ít nhất một người không có tiền. Chứng minh rằng Rockefeller có thể hành động sao cho luôn thắng, bất kể Marx chơi thế nào, nếu mỗi thành phố có: a) (10) đúng 2n cư dân; b) (4) có đúng 2n – 1 người. G. Pogudin Ấn phẩm được biên soạn bởi S. Dorichenko, L. Mednikov, A. Semenov