Bài toán

“QUANT” CHO TRƯỜNG THCS LENNIK O V

Bài toán

1. Trong ký hiệu –2 –3 –4 –4, đặt các dấu cộng, nhân và dấu ngoặc đơn giữa các số liền kề theo hai cách sao cho ý nghĩa của các biểu thức thu được giống nhau. (Chỉ những dấu ngoặc đơn được đặt làm thay đổi ý nghĩa của biểu thức.) A. Sgibnev, D. Shnol

Yossi có ba thiết bị xác định xem có bị kẹt trong chiếc bánh rán hay không. Một trong các thiết bị luôn đưa ra kết quả đúng đáp số, thiết bị thứ hai luôn đưa ra kết quả sai và thiết bị thứ ba luôn đưa ra kết quả ngẫu nhiên đáp số. Một ngày Yosya mua ba chiếc bánh rán. Anh ấy biết chính xác một trong số đó là mứt. Làm thế nào anh ta có thể chắc chắn xác định đó là cái nào mà không làm vỡ bánh rán? Thế vận hội “Zuta” (Israel)

2. Nằm trên tờ giấy ca rô

Minh họa của D. Grishukova khung dây có hình chữ thập, như trong hình. Số mảnh nhỏ nhất mà khung cần được cắt thành bao nhiêu để (sử dụng tất cả các mảnh đó) bạn có thể tạo thành đường viền của một hình vuông? E. Bakaev, S. Tokarev

Những bài toán này được cung cấp tại Giải đấu Trận chiến Toán học XXV A.P. Savin.

4. Sonya ngủ khi và chỉ khi kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc không quá 60 độ. Sonya ngủ bao lâu trong ngày? Văn hóa dân gian

27

“Lượng tử”

VÌ

M TRẺ HƠN

Ví dụ này gợi ý rằng theo cách tương tự, có thể xây dựng bất kỳ đường gãy nào thỏa mãn điều kiện có số lượng liên kết lẻ lớn hơn ba. Thật vậy, chỉ cần đặt số đỉnh cần thiết trên đường tròn và nối chúng tuần tự qua một là đủ. Ví dụ, Hình 4, b thể hiện một đường gãy có chín mắt xích. Vì vậy, vẫn phải xử lý các đường đứt nét với số lượng liên kết chẵn, bắt đầu bằng sáu. Đường gãy sáu liên kết bắt buộc không tồn tại, nhưng điều này chỉ có thể được chứng minh bằng cách tìm kiếm qua tất cả các trường hợp, điều này không thú vị lắm. Có một ví dụ hay về tám liên kết (Hình 5, a). Tương tự, bạn có thể xây dựng một đường gãy thỏa mãn

SHK O LNIK O V

hai đỉnh nữa nằm bên trong đường tròn. Tuy nhiên, có một cách dễ dàng hơn. Chúng ta hãy lợi dụng thực tế là bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 8 đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số lẻ, mỗi số ít nhất là năm. Ví dụ, chúng ta hãy chỉ ra cách xây dựng một đường đa tuyến 12 mắt thỏa mãn điều kiện. Chúng ta hãy vẽ hai đường tròn tiếp xúc bên ngoài tại một điểm nào đó. Ở một trong các vòng tròn, chúng ta sẽ xây dựng một đường gãy năm mắt xích bằng phương pháp đã được chỉ ra và ở mặt còn lại, một đường đứt nét bảy mắt xích và điểm tiếp xúc phải là đỉnh chung của chúng. Và bây giờ chúng ta hãy “phân chia” điểm này (Hình 6; kết quả của sự phân nhánh là các đỉnh có số 1 và 6).

Hình 6

Hình 5

điều kiện, với bất kỳ số lượng liên kết chẵn nào lớn hơn tám. Cách thức thực hiện điều này được thể hiện rõ ràng trong các ví dụ về 10 và 12 liên kết được hiển thị trong Hình 5b và 5c. Đầu tiên, chúng ta đánh dấu các điểm trên vòng tròn có ít hơn hai điểm cần thiết và nối chúng thông qua một điểm. Vì có số điểm chẵn nên chúng ta có hai đường gãy khép kín, tất cả các đường thẳng này đều giao nhau với một đường gãy khác tại hai điểm. Sau đó, loại bỏ một liên kết trong mỗi dòng bị hỏng và nối các dòng bị hỏng thành một liên kết bằng cách sử dụng

Tất cả các đường gãy cần thiết đều được xây dựng theo cách tương tự nếu số lượng liên kết chẵn và lớn hơn tám. Câu hỏi đặt ra: tại sao chúng ta bắt đầu với hai điểm giao nhau của các liên kết mà không phải với một, điều này có vẻ tự nhiên hơn? Thực tế là thứ tự này hợp lý hơn, vì lời giải của bài toán tiếp theo sẽ chủ yếu dựa vào lời giải được xem xét. Bài toán 2. Một đường gãy khép kín có thể cắt mỗi mắt xích của nó đúng một lần? Lời giải. Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng trong trường hợp này, các liên kết của đường đứt nét phải được chia thành các cặp rời nhau, do đó các đường đứt gãy bắt buộc có số lượng liên kết chẵn. Dễ dàng kiểm tra được rằng một đường đứt đoạn khép kín gồm bốn mắt xích không thỏa mãn điều kiện. Một ví dụ về đường đa tuyến cần thiết của sáu liên kết có thể được xây dựng dựa trên những điều sau: