Bài toán M2586—M2589; F2593—F2596

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2586–M2589 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLI. Tác giả bài toán F2593–F2596 – S. Dmitriev.

Bài toán M2586–M2589, F2593–F2596

M2586. Cho một đa giác trong đó hai cạnh liền kề đều vuông góc. Chúng ta gọi hai đỉnh của nó là không thân nhau nếu các đường phân giác của đa giác xuất hiện từ các đỉnh này vuông góc. Chứng minh rằng với một đỉnh bất kỳ thì số đỉnh không thân với nó là số chẵn. M. Skopenkov, A. Zaslavsky

M2587. Trong mỗi ô của dải có chiều dài 100 có một con chip. Với 1 rúp, bạn có thể hoán đổi vị trí của hai chip liền kề bất kỳ và bạn cũng có thể hoán đổi miễn phí bất kỳ hai chip nào giữa đó có a) chính xác ba chip; b) có đúng bốn chip. Với số tiền ít nhất bạn có thể sắp xếp lại các con chip theo thứ tự ngược lại là bao nhiêu? E. Bakaev

$M2588^{*}$. Điểm M nằm trong tứ giác lồi ABCD, cách các đường thẳng AB và CD một khoảng cách bằng nhau và cách các đường thẳng BC và AD một khoảng cách bằng nhau. Hoá ra diện tích tứ giác ABCD bằng

MA ◊ MC + MB ◊ MD.

Chứng minh tứ giác ABCD là a) nội tiếp; b) được mô tả. N. Sedrakyan

$M2589^{*}$. Cho một dãy số dương tăng dần … $< a_{-} 2 < a_{-} 1 < a_{0} < a_{1} < a_{2} <$ …, vô hạn theo cả hai hướng. Đặt $b_{k}$ là số nguyên nhỏ nhất có thuộc tính: tỷ lệ của tổng của k số hạng liên tiếp bất kỳ của một dãy đã cho với số hạng lớn nhất trong số k số hạng này không vượt quá $b_{k}$. Chứng minh rằng dãy $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, … hoặc trùng với dãy tự nhiên 1, 2, 3,…, hoặc không đổi từ một điểm nào đó trở đi. I. Mitrofanov

F2593. Hai con đường có chiều dài bằng nhau trong công viên được bao phủ bởi tuyết. Hai người gác cổng, Vasya và Petya, phải dọn tuyết trên đường đi. Họ bắt đầu dọn dẹp con đường đầu tiên từ cả hai đầu, và khi nó được dọn sạch, hóa ra Vasya đã dọn sạch chiều dài 20 mét. Họ cũng bắt đầu dọn sạch đường đua thứ hai từ cả hai đầu, nhưng lúc này Vasya đã tăng tốc độ lên gấp 3 lần và Petya vẫn giữ nguyên tốc độ. Khi cả hai đường ray đã được dọn sạch, hóa ra phần của Vasya chỉ còn 50 mét. Petya đã dọn được bao nhiêu mét đường?

F2594. Để vận chuyển các thùng chứa sản phẩm dầu mỏ qua Biển Caspian từ Baku đến Astrakhan trong Chiến tranh thế giới thứ hai, chúng chưa được đổ đầy hoàn toàn, và trong trường hợp này là thùng thép cùng với

15

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Các bảng phải có số cạnh ngắn liền kề với chúng. (i) Ta có 2 k = 10 cạnh ngắn liền kề với các cạnh của tấm ván, nghĩa là trên một mặt của tấm ván có ít nhất 3 cạnh, và do đó có ít nhất 4 cạnh ngắn và nhiều nhất là 2 cạnh dài. Rõ ràng là trong số các cạnh ngắn trên chu vi sẽ có hai cạnh liền kề - mâu thuẫn. (ii) Ta có 2 k = 12 cạnh ngắn liền kề với các cạnh của tấm bảng ABCD (Hình 1).

“QUANTA”

sự hình thành các quân domino bao phủ các ô được đánh số từ 1–14. Nhưng sau đó, không thể đóng ô được đánh dấu bằng dấu chấm màu xanh mà không vi phạm quy tắc. Sự mâu thuẫn. Một ví dụ có độ dài biên là 50 được hiển thị trong Hình 2. Như vậy, đã được chứng minh trong đoạn

Hình 2

Hình 1

Vì không được có các cặp cạnh dài liền kề dọc theo chu vi của bảng nên ít nhất hai cạnh ngắn liền kề với mỗi cạnh của bảng. Điều này có nghĩa là ở một cạnh nào đó của bảng, để xác định đoạn ngang AB, có đúng hai cạnh ngắn liền kề nhau, trong trường hợp đó các cạnh kề với AB được xác định như sau: dài-ngắn-dài-ngắn-dài. Khi đó mỗi đoạn AD và BC liền kề với ít nhất 4 cạnh ngắn, nghĩa là có đúng 4; Khi đó CD có đúng hai cạnh ngắn liền kề với nó. Hơn nữa, cả hai ô được đánh dấu chấm đỏ đều không thể bị quân domino ngang che phủ, nếu không sẽ có hai đoạn dài liền kề nhau trên AD. Cụ thể, hãy để ô trên cùng có chấm màu đỏ được phủ một quân domino thẳng đứng, sao cho trong Hình 1, các quân domino hiện đang cố định được tô bóng. Bây giờ, vì không có quân domino nào có thể liền kề nhau với các cạnh ngắn nên chúng tôi luôn xác định duy nhất vị trí của ete b) ước tính là chính xác và bài toán hoàn toàn được giải quyết. Tóm lại, xin có vài lời về lịch sử của bài toán. Điểm a) (tác giả - B. Frenkin) đã được đề xuất vào mùa hè năm 2019 tại Giải đấu A.P. Savin Matfight, và lúc đó ban giám khảo không biết chính xác giá trị tối đa. Bài toán không đội nào giải được, nhưng người tham gia giải đấu E. Arzhantseva đã xây dựng một ví dụ với độ dài ranh giới là 50, sau đó tác giả đã cố gắng cải thiện ước tính thành một ước tính chính xác. A. Zaslavsky

$M2577^{*}$. Trong tam giác nhọn ABC, chọn các điểm P và Q sao cho – ABP = – CBQ và – ACP =

Hình 1