Bài toán

“QUANT” CHO TRƯỜNG THCS LENNIK O V

Bài toán

Ba cây gậy có thể được sử dụng để tạo thành một hình tam giác. Họ bẻ một mảnh từ mỗi chiếc que và gấp chúng thành một hình tam giác khác. Có phải luôn luôn có thể tạo thành một hình tam giác từ các phần còn lại? L. Emelyanov số a, trong đó số a ◊ 1001 ◊ 1003 ◊ 1005 + 4 sẽ là một hình vuông chính xác. N. Agakhanov

3. Bản đồ phác thảo hiển thị 10 thành phố (không có tên) và đường đi giữa một số thành phố. Dunno được giao nhiệm vụ ghi tên lên bản đồ

Những bài toán này đã được đưa ra tại Giải đấu Toán học Miền Nam lần thứ XIV.

4. Chúng ta gọi một hình chữ nhật bao gồm các ô bàn cờ là quan trọng nếu tất cả các ô ở góc của nó đều có màu đen. Trên mỗi ô vuông của bàn cờ có ghi số hình chữ nhật quan trọng chứa ô vuông đó. Gọi B là tổng các số ghi trên ô đen và W là tổng các số ghi trên ô trắng. Tìm B – W. Thế vận hội Nam Phi

Minh họa của D. Grishukova

2. Cho một ví dụ về các thành phố tự nhiên, nhưng bạn chỉ nhận được danh sách các cặp thành phố được kết nối trực tiếp bằng một con đường. Điều này là đủ để thiết lập rõ ràng tên của mỗi thành phố. Làm thế nào điều này có thể được? S.Volchenkov

20

KVAN T 2019/№12

hãy gọi đây là tập hợp số bên ngoài của hình. Một ví dụ được thể hiện trong Hình 3, a.

Bài tập 2. Có hình nào chứa tập số ngoài sau đây không:

a) 0,3,3,3,3; b) 0,2,3,3; c) 0,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3; d) 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1?

Bài toán 2. Làm thế nào để tìm chu vi của một hình bằng cách sử dụng bộ số bên ngoài? Ở tập bên ngoài, mỗi đoạn đơn vị của chu vi được tính một lần (Hình 3, b). Điều này có nghĩa là tổng các số ở tập hợp bên ngoài bằng chu vi: $¦_{внешн} p$. Bây giờ chúng ta sử dụng các thuộc tính tìm được của tập hợp bên trong và bên ngoài để rút ra một công thức hữu ích. Bài toán 3. Gọi s là diện tích của hình, p là chu vi của nó và i là số phân vùng bên trong. Tìm và chứng minh công thức nối ba đại lượng này. Hãy cho chúng tôi hiểu cách các bộ bên ngoài và bên trong được kết nối. Trong một trường hợp, đối với mỗi ô, chúng tôi đếm xem có bao nhiêu cạnh của nó nằm bên trong và trong trường hợp còn lại, có bao nhiêu cạnh ở đường viền. Như vậy, trong hai bộ gộp lại chúng ta đã đếm được cả 4 cạnh của mỗi ô s. Vì vậy, ¦ nội bộ ¦ 4s bên ngoài. Sử dụng kết quả của bài toán trước đó, chúng ta nhận được: 2 i p 4 s.

Bài tập 4. Một hình vuông 5 u 5 được cắt thành nhiều đa giác sao cho tổng chiều dài các vết cắt là 12. Tổng chu vi của tất cả các đa giác có thể bằng bao nhiêu? 5. Một tấm ván 6 u 6 được cắt thành hình chữ nhật 1 u 2. Tổng chiều dài của các vết cắt là bao nhiêu? 6. Hình vuông 8 x 8 được cắt thành các hình tứ giác (hình bốn ô). Tổng chiều dài của các vết cắt là 60. Có thể có bao nhiêu hình vuông trong số những hình này?

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về bài toán tiếp theo. Bài toán 5 (N. Strelkova). Căn hộ 3 u 3 gồm 9 phòng vuông 1 u 1. Cứ hai phòng liền kề nhau thông nhau bằng một cửa. Hỏi số cửa tối thiểu phải mở để con mèo ở một trong các phòng có thể tự do đi lại trong căn hộ là bao nhiêu? Chúng tôi sẽ gọi một lãnh thổ là một tập hợp các phòng mà bạn có thể di chuyển tự do. Nếu không thể đi bộ từ phòng này sang phòng khác thì họ sẽ được phân vào các lãnh thổ khác nhau. (Trong ví dụ ở Hình 4, lãnh thổ của con mèo bao gồm

Bài tập 3. Tìm tất cả các hình có chu vi lớn hơn diện tích a) 5 lần; b) 4 lần; c) 3 lần.

Tính chất sau đây rút ra từ công thức đã được chứng minh. Bài toán 4. Chứng minh rằng chu vi của hình ca rô luôn là số chẵn. Từ công thức, rõ ràng p là hiệu của các số chẵn 4s và 2i, nên nó cũng là số chẵn. Trong các bài tập sau đây, ý tưởng rằng các vết cắt được tính hai lần khi cộng chu vi của các bộ phận lại hữu ích.

Hình 4

trong số 5 phòng và tổng số lãnh thổ là 3.) Đầu tiên là lời giải (kích thước lãnh thổ của mèo). Đầu tiên, chúng ta sẽ đóng tất cả các cửa và mở chúng theo thứ tự. Hãy để con mèo tự chọn thứ tự này. Anh ấy có thể đi đến bất kỳ cánh cửa đóng nào và kêu meo meo, sau đó chúng tôi sẽ mở cánh cửa đó cho anh ấy. Nếu nó dẫn đến một căn phòng mới thì đó là lãnh thổ của mèo.

21

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

sẽ tăng thêm một phòng. Nếu cánh cửa này dẫn đến một căn phòng mà con mèo có thể đến bằng cách khác thì lãnh thổ sẽ không thay đổi. Hóa ra với mỗi cánh cửa mở, lãnh thổ của mèo tăng không quá 1. Lúc đầu, nó bằng 1, và cuối cùng là 9. Điều này có nghĩa là sẽ cần phải mở ít nhất 8 cánh cửa. Bài toán đã giải quyết. Hãy suy nghĩ xem chính xác nơi nào chúng ta yêu cầu con mèo chọn cửa và không tự mở nó. Thứ hai lời giải (số lãnh thổ). Hãy đóng tất cả các cánh cửa lại và mở từng cái một. Bây giờ chúng ta sẽ đếm tổng số lãnh thổ. Lúc đầu, mỗi phòng tạo thành một lãnh thổ, tức là có tổng cộng 9 lãnh thổ. Cuối cùng, tất cả các phòng tạo thành một lãnh thổ. Cánh cửa có thể kết nối hai lãnh thổ khác nhau - sau đó khi nó mở ra, số lượng lãnh thổ sẽ giảm đi 1 hoặc kết nối lãnh thổ với chính nó - khi đó số lượng lãnh thổ sẽ không giảm. Một lần nữa hóa ra phải mở ít nhất 8 cửa. Kỹ thuật tương tự sẽ giúp ích trong bài tập tiếp theo.

Bài tập 7. Trong một mê cung hình vuông có kích thước 6 x 6, bạn có thể đi bộ từ ô này sang ô khác. Số lượng phân vùng bên trong lớn nhất mà nó có thể có là bao nhiêu?

Bây giờ hãy áp dụng phương pháp này cho các quân cờ ca-rô. Bài toán 6. Hình có diện tích s có thể có số lượng đoạn lưới bên trong nhỏ nhất là bao nhiêu? Hãy xem xét một hình vẽ tùy ý có diện tích s và sơn nó toàn màu trắng. Hãy chọn một trong các ô của bức tượng nhỏ và sơn nó màu đen. Tiếp theo, chúng ta sẽ sơn lần lượt từng ô màu trắng sao cho ô màu đen mới tiếp giáp với phần đã sơn. (Luôn luôn có thể tìm thấy một ô như vậy: nếu có cả ô trắng và ô đen, thì trên đường từ ô này sang ô kia sẽ có một cặp hai ô nhiều màu liền kề.) Mỗi ​​lần, số lượng các đoạn bên trong của lưới trong hình màu đen sẽ tăng lên, mặc dù

SHK O LNIK O V

sẽ là một. Kết quả là tất cả các ô sẽ chuyển sang màu đen. Điều này có nghĩa là các phân đoạn bên trong của hình ban đầu ít nhất là s – 1. Lưu ý rằng thuật toán cộng các ô ở đây hoàn toàn giống như trong bài toán về một con mèo. Thật dễ dàng để đưa ra một ví dụ trong đó thực sự có rất nhiều phân đoạn bên trong: ví dụ, đây là hình chữ nhật 1 u s. Bài toán 7. Một hình có diện tích s có thể có chu vi lớn nhất là bao nhiêu? Ta đã chứng minh được công thức 2 i p 4 s. Nó cho thấy rằng với một s cố định, p càng lớn thì i càng nhỏ. Điều này có nghĩa là chu vi lớn nhất khi số đoạn bên trong nhỏ nhất. Như chúng ta đã tìm ra, điều này đạt được trong trường hợp i s 1. Thay thế giá trị này vào công thức 2 i p 4 s, chúng ta thu được p 2 s 2. Vì vậy, chu vi của một hình có diện tích s không lớn hơn 2 s 2. Áp dụng ví dụ tương tự. Hãy thử ý tưởng cộng ô tuần tự tương tự trong các bài tập sau.

Bài tập 8. Từ một hình gồm 20 ô, có thể cắt một hình vuông 3 u 3. Chứng minh rằng chu vi của nó không lớn hơn 34. 9. Biết rằng một số ô có thể cắt thành 5 ô vuông 2 u 2. Chu vi lớn nhất của nó là bao nhiêu? 10. Vẽ 10 hình khác nhau, mỗi hình có chu vi là 14 và diện tích là a) 6; b) 7. c) Tại sao các hình ở điểm b) chứa hình vuông 2 u 2, nhưng các hình ở điểm a) thì không?

Bây giờ chúng ta hãy phân tích bài toán, nơi chúng ta có thể áp dụng ước tính chu vi đã được chứng minh ở bài toán 7. Bài toán 8. Có thể cắt một hình vuông 5 u 5 thành hai đa giác ca rô, mỗi đa giác có chu vi là 28 không? Giả sử rằng nó có thể được cắt như thế này. Sau đó, bạn có thể tiến hành theo những cách khác nhau. Đầu tiên là lời giải. Vì tổng diện tích của các hình là 25 nên một trong các hình thu được có diện tích không quá 12. Theo bài toán trước đó, chu vi của nó không quá 2 12 2 26. Một mâu thuẫn.