Vyacheslav Viktorovich Proizvolov

Kvant 2020, số 9 tr. 19, 23, 26, 27 Thẻ 965R

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

Đã một năm kể từ khi nhà toán học xuất sắc Vyacheslav Viktorovich Proizvolov qua đời. Độc giả «Kvant» chủ yếu biết đến anh ấy như một nhà soạn nhạc đầy thử thách với sự tinh tế và gu thẩm mỹ độc đáo. Từ cuối những năm 1990 đến giữa những năm 2000, Vyacheslav Viktorovich phụ trách “Bài toán Kvant. Nét chữ thanh lịch, khó quên của một tác giả luôn hiện rõ trong những nhiệm vụ sáng giá của ông. Trong số này và những số sắp tới, chúng ta sẽ nhớ đến một số bài toán tuyệt vời của ông. Tại một buổi hội thảo dành cho các giáo viên toán tưởng nhớ Vyacheslav Viktorovich, con gái ông, giáo viên toán Alexandra Vyacheslavovna Drobotova, đã phát biểu. Đây là nội dung câu chuyện của cô ấy.

VYACHESLAV VIKTOROVICH được sinh ra không lâu trước chiến tranh, vào năm 1939. Một trong những kỷ niệm và ấn tượng đầu tiên của anh là sự ngạc nhiên: anh đang ngồi trên đùi ông nội, và ông nội đưa cho anh một miếng ván ép và nói: “Ăn đi, cháu trai!” Hóa ra đó là một chiếc bánh quế! Những bước đi đầu tiên trong lĩnh vực khoa học khó có thể gọi là thành công. Bố kể bố vào lớp một như thế nào: bố ra khỏi nhà, giấu chiếc cặp ở sân bên cạnh và đi công tác. Đến giờ ăn trưa tôi sẽ xách cặp và trở về nhà. Khi bí mật trở nên rõ ràng, quả báo lớn theo sau. Và sau đó quá trình học tập cũng phát triển theo tinh thần tương tự. Bố bắt đầu quan tâm đến toán học trong trại tiên phong, sau năm lớp 8. Một người bạn đề nghị giải một số câu bài toán logic, Slava quyết định và thích thú hỏi: “Đây là cái gì?” Hóa ra đó là toán học. Kết quả là, trong lớp tốt nghiệp, Andrei Nikolaevich Kolmogorov đã chú ý đến bài làm của bố tôi tại Olympic Toán học Moscow. Những người tham gia được tặng một số bài toán. Khi bắt đầu một trong số đó, bố đã không để ý hoặc không nhìn thấy một trong các điều kiện, hóa ra bài toán với dữ liệu ban đầu không đầy đủ. Bố đã dành toàn bộ thời gian dành cho Thế vận hội cho bài toán này và thực hiện cả một nghiên cứu. Nhìn thấy-

à, thật may mắn, vì với lời giải lần này bài toán anh ấy đã nhận được tiền thưởng khuyến khích. Năm 1956, Vyacheslav Viktorovich vào Khoa Cơ học và Toán học tại Đại học quốc gia Moscow. Trong những năm đầu tiên ông làm việc với Andrei Nikolaevich Kolmogorov và Pavel Sergeevich Alexandrov. Hay đúng hơn, tất nhiên, các học giả đã làm việc với anh ta. Đâu đó trong khoảng thời gian này, cái gọi là định lý Proizvolov đã xuất hiện - một cái gì đó liên quan đến cấu trúc liên kết. Khi tôi nài nỉ Vyacheslav Viktorovich giải thích bản chất của định lý cho tôi, anh ấy cau mày và xua tay. Năm thứ ba, đã đến lúc chọn người giám sát. Sau những trải nghiệm chung đầy sóng gió, Pavel Sergeevich Alexandrov trở thành người lãnh đạo. Vùng đất

Ở trung tâm - Pavel Sergeevich Alexandrov, bên phải - Vyacheslav Viktorovich Proizvolov (buổi tối tốt nghiệp tại Đại học quốc gia Moscow, 1961; ảnh của E. Ermkova)

$МАТЕМАТИ_{Ч}$ ESK

Mối quan tâm khoa học của sinh viên Proizvolov là cấu trúc liên kết. Sau đó học cao học, giảng dạy tại Khoa Cơ và Toán, tham gia các hội thảo, hội nghị khoa học, bảo vệ luận văn, khoảng 15 bài báo khoa học. Trong một thời gian dài, ông đã giảng dạy tại VZMI (Viện Kỹ thuật Thư tín Toàn Liên minh). Tôi cũng đọc lý thuyết xác suất và thống kê. Vyacheslav Viktorovich đã có một bài giảng nổi tiếng về xúc xích. Vấn đề là một sự kiện xảy ra không phải vì một lý do mà là sự kết hợp của nhiều lý do, mỗi lý do đều có trọng lượng riêng. Thế là bố bắt đầu bài giảng bằng câu hỏi: “Tại sao xúc xích lại cắt chéo?” Dần dần khán giả hâm mộ và nhiều phiên bản đáp số khác nhau được thể hiện, từ hài hước đến khoa học chặt chẽ. Ví dụ, tay sẽ di chuyển thuận tiện hơn, miếng xúc xích lớn hơn: bánh sandwich ngon hơn, và thậm chí, theo khoa học, xác suất để góc đó chính xác bằng 90 độ là 0. Vyacheslav Viktorovich viết ra mười lý do lên bảng, rồi hỏi lại: “Vậy tại sao xúc xích lại cắt theo đường chéo?” Sau khi làm việc tại VZMI, Vyacheslav Viktorovich làm việc tại Viện nghiên cứu trung tâm Gosstroy. Ví dụ: đây là một trong những bài toán đã được giải quyết ở đó. Cần phải chọn kích thước mắt lưới của lưới kim loại được căng tại công trường dọc theo các tầng để dụng cụ không lọt qua lưới. Tế bào càng lớn thì càng rẻ, càng nhỏ, càng đáng tin cậy. Kể từ lúc này, Vyacheslav Viktorovich bắt đầu trang điểm bài toán. Như anh ấy giải thích, cần có một sân chơi để tâm trí vui chơi. Sự hợp tác lâu dài với «Kvant» đã bắt đầu. Sau đó làm việc tại MIROS (Viện Phát triển Hệ thống Giáo dục Moscow), tổ chức và tham gia các chuyến đi toán học mùa hè gần Kostroma, tuyển chọn bài toán cho Olympic Toán học Moscow. Cuốn sách “Bài toán cho sự tăng trưởng” xuất hiện. Tình cờ là bản thân tôi cũng chưa bao giờ giải được bài toán của bố tôi từ một tờ giấy, từ một tạp chí hay một cuốn sách. Một số bài toán hoặc các phần tử của chúng đã được bố tôi đưa cho tôi trong chuyến đi dạo.

THẾ GIỚI

Vyacheslav Viktorovich Proizvolov (đầu thập niên 90) địa phương. Bố và tôi nói đùa rằng ông ấy là một tín đồ của Peripatetics: ông ấy thích dạy khi đang di chuyển, trong khi đi bộ. Ví dụ, khi nghe đến từ “định lý Pythagore”, tôi vẫn nhớ đến chiếc quần Pythagore được vẽ bằng một cành cây trên tuyết. Vyacheslav Viktorovich là một người rất đa năng và là một nhà giao tiếp xuất sắc. Ông quan tâm đến khoáng vật học, âm nhạc cổ điển, lịch sử, triết học và thơ ca. Có thể lắng nghe anh ấy. Đối với những vấn đề của giáo dục toán học, Vyacheslav Viktorovich luôn cảm thấy khó chịu trước sự xuất hiện của một cuốn sách giáo khoa khác có tựa đề “Toán học dễ và thú vị”. Anh ấy rất tức giận, nói rằng không cần thiết, bạn không thể giả vờ rằng học toán là dễ dàng. Đây là công việc nghiêm túc. Điều quan trọng là nó có thể thú vị. Xác nhận điều này là bài toán của anh ấy.

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại một đường đi đa dạng có độ dài ít nhất là n. Hãy giả sử điều ngược lại. Đối với mỗi cặp ô cùng màu liền kề a và b, chúng ta đặt một bức tường (đoạn đơn vị) ở phía chung của chúng. Sau khi “xây tường”, con đường lốm đốm sẽ trở thành một con đường (dọc theo các ô lân cận) không đi xuyên qua bức tường. Vì không có hình vuông 2 u 2 bao gồm bốn ô cùng màu nên 3 hoặc 4 bức tường không thể hội tụ tại một nút mạng. Điều này có nghĩa là tại mỗi đỉnh không có quá hai bức tường hội tụ, do đó các bức tường tạo thành một số đường đứt đoạn rời rạc theo cặp (không thể mở rộng) (một số trong đó có thể bị đóng). Nếu một đường đi lốm đốm nào đó nối một số ô của hàng dưới với một số ô của hàng trên, thì độ dài của nó ít nhất là n - một điều mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là các bức tường phải ngăn cách các ô của hàng dưới với các ô của hàng trên. Do đó, một số đường đứt P (không đóng), bao gồm các bức tường, phải bắt đầu tại một số nút A ở phía bên trái của bảng này và kết thúc tại một số nút B ở phía bên phải. Đồng thời, chúng ta lưu ý rằng A và B không phải là các góc (nút góc) của bàn (vì không có bức tường nào gặp nhau ở góc). Cũng lưu ý rằng liên kết đầu tiên và cuối cùng của đường gãy P nằm ngang. Tương tự như đường đứt nét P, ta xác định đường đứt nét Q đi từ cạnh trên xuống cuối bảng. Trong trường hợp này, liên kết đầu tiên và cuối cùng của đường gãy Q là thẳng đứng. Rõ ràng hai đường đứt nét P và Q khác nhau. Từ phần trước chúng phải giao nhau tại một nút bên trong nào đó của bảng, điều này mâu thuẫn với kết luận của chúng tôi rằng các đường đứt đoạn khác nhau trên các bức tường không giao nhau. Mâu thuẫn thu được hoàn thành lời giải bài toán. N. Belukhov

“QUANTA”

$Ф2613.^{1}$ Để nghiên cứu cơn bão đang di chuyển về phía bắc với tốc độ trung bình 20 km/h, hai máy bay không người lái (UAV) với các nhiệm vụ bay khác nhau đã được gửi từ cùng một sân bay. Mỗi thiết bị phải ở khoảng cách 20 km theo chiều ngang tính từ tâm lốc xoáy và di chuyển với tốc độ không đổi so với không khí xung quanh là 20 m/s ở một độ cao nhất định (như nhau đối với cả hai thiết bị), bay quanh tâm lốc xoáy. Một thiết bị theo chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ trên xuống) và thiết bị thứ hai ngược chiều kim đồng hồ. Tại thời điểm phóng, khoảng cách từ sân bay đến tâm bão đúng 20 km. Sau 15 giờ bay, cả hai chiếc UAV gần như đồng thời hạ cánh xuống cùng một sân bay, nằm ở phía bắc sân bay nơi chúng cất cánh và trong suốt chuyến bay, mỗi chiếc đều tuân thủ nghiêm ngặt chương trình bay được lưu trong bộ nhớ máy tính. Một trong các UAV đã tạo ra bao nhiêu vòng quanh tâm lốc xoáy nếu chiếc thứ hai luôn chuyển động theo đường thẳng so với mặt đất và không tạo thành một vòng tròn nào?

Nếu một trong các phương tiện chuyển động theo đường thẳng, điều này có nghĩa là tốc độ của nó so với mặt đất bằng tốc độ của tâm bão, tức là 20 km h. Nói cách khác, trong một hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến, trong đó tâm lốc xoáy đứng yên thì bộ máy này cũng đứng yên. Do đó, ở khoảng cách 20 km tính từ tâm bão, tốc độ gió trong hệ quy chiếu này là 20 ms. Và tốc độ của một thiết bị khác trong hệ quy chiếu được liên kết với lốc xoáy bằng tổng tốc độ tương đối và tốc độ truyền, tức là bằng 40 ms. Trong 15 giờ, thiết bị này bay được quãng đường có thể vòng quanh tâm lốc xoáy

40 m/giây 15 3600 giây | 17 vòng. 2 S 20 $10^{3}$ m

Tác giả lời giải bài toán F2613–F2616 – S. Varlamov.

KVAN T 2020/Số 9

Có vẻ như một số vòng tròn bên ngoài giúp ích như thế nào? Nếu tâm của nó được cho trước thì việc dựng đường vuông góc sẽ rõ ràng (ví dụ, xem đường 3 và 4 trong phương pháp 2). Và vì chúng tôi không có trung tâm tùy ý sử dụng nên chúng tôi chỉ có thể bỏ qua vòng tròn này. Phải? Không, không phải như thế! Nghịch lý thay, sự hiện diện của ngay cả một đường tròn “không liên quan” cũng mang lại những lựa chọn mới để dựng một đường thẳng vuông góc.

Cách 4. Tứ giác nội tiếp

Vòng tròn cho trong điều kiện được vẽ bằng màu xanh lam (Hình 4). Chúng ta hãy vẽ đường thẳng AB, cũng như một đường tròn có tâm A qua điểm B. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng này và đường tròn (tức là một điểm đối xứng với B so với A) và D là giao điểm của hai $окружностей.^{Рис.} 4$ Khi đó đường thẳng thứ ba là đường thẳng DE; gọi F là giao điểm của nó với đường tròn đã cho. AF trực tiếp là cái mong muốn. Bằng chứng. Tứ giác ABDF là tứ giác nội tiếp nên tổng các góc đối bằng 180q. Vì BDE nằm trên đường kính BE nên nó thẳng. Vì vậy BAF cũng có tính trực tiếp.

Hình 5

điểm F. Điều này suy ra trực tiếp từ thực tế là góc BDE dựa trên đường kính BE, và do đó là đường thẳng. Do đó, góc BDF cũng là góc vuông và vì góc nội tiếp BAF cùng chung một cung nên góc nội tiếp BAF cũng là góc vuông.

Cách 6. Hai đường tròn và một đường thẳng

Một lần nữa, chúng ta bắt đầu từ tâm tùy ý của đường tròn, nhưng chúng ta vẽ chính đường tròn đó qua điểm A (Hình 6). Gọi D là điểm thứ hai của giao điểm của nó với đường tròn (màu xanh) đã cho. Bây giờ chúng ta dựng (đường thứ hai) một đường tròn có tâm B và bán kính BD. Đường tròn này sẽ cắt hai đường tròn trước tại các điểm E và F. Khi đó đường thẳng EF cắt đường tròn đầu tiên mà chúng ta đã dựng tại điểm G sao cho góc GAB là đường thẳng.

Cách 5. Đường tròn tùy ý cộng hai đường thẳng

Như trong phương pháp trước, chúng ta muốn dựng điểm F đối xứng đường kính B trong đường tròn màu xanh lam đã cho. Nhưng chúng tôi sẽ làm điều đó hoàn toàn khác. Bước đầu tiên là lấy tâm C tùy ý và vẽ một đường tròn có bán kính CB (Hình 5). Nếu D là giao điểm thứ hai của nó với một đường tròn cho trước và E là điểm cuối thứ hai của đường kính BC thì đường thẳng DE sẽ cắt đường tròn màu xanh tại điểm mong muốn.

Hình 6

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

“QUANTA”

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong cách xây dựng này đúng là GAB 90 q. Đây là tuyên bố bài toán M2606. M2606. Ba đường tròn $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ đi qua một điểm D và lại cắt nhau tại các điểm A, E, F như hình 7. Biết rằng $Z_{3}$

Hình 8

Hình 7

đi qua tâm B của đường tròn $Z_{2}$ . Đường thẳng EF cắt $Z_{1}$ lần thứ hai tại điểm G. Chứng minh rằng GAB 90 q.

Bằng chứng. Giả sử GA cắt $Z_{3}$ lần thứ hai tại điểm H (Hình 8). Khi đó HED DAG DFG tức là EFD 180 q HED tức là tiếp tuyến của đường thẳng HE và đường tròn $Z_{2}$ . Vì vậy, HEB 90 q, từ đó HAB 90 q, chính là thứ chúng ta cần.

Hình 9

Lưu ý rằng trong lời giải E–G–H–E đã cho là trường hợp đặc biệt của một quỹ đạo khép kín đi qua các điểm giao nhau theo cặp của các đường tròn đi qua một điểm (Hình 9).

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Kể từ năm 2017, tạp chí «Kvant» đã trở thành tạp chí hàng tháng và 12 số tạp chí được xuất bản mỗi năm. Bạn có thể đăng ký tạp chí của chúng tôi từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»_{–} 90964.$ ”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblio-Globus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http://kvant.ras.ru