Đường đi ngắn nhất và giả thuyết Poincaré

Đường đi ngắn nhất và giả thuyết Poincaré

V.PROTASOV

Kiểm soát từng bước, Họ dẫn tôi, đưa tôi theo một đường ngoằn ngoèo tuyệt vời dọc theo một vòng xoắn ốc không xác định. M. Shcherbkov. Hallelujah

Đường trắc địa

Tại sao máy bay từ Moscow tới Montréal lại bay qua Greenland? Mátxcơva nằm ở vĩ độ 56, Montréal ở vĩ độ 45 và toàn bộ Greenland nằm ở phía bắc vĩ độ 60. Tại sao máy bay lại bay đến đó? Nhưng bởi vì họ cố gắng bố trí lộ trình dọc theo con đường ngắn nhất trên bề mặt Trái đất. Và thật kỳ lạ, nó đi qua Greenland. Điều này thường đi ngược lại với trực giác địa lý của chúng ta. Con đường ngắn nhất từ ​​Yekaterinburg đến Los Angeles đi qua Bắc Cực. Con đường ngắn nhất dọc theo một bề mặt nhất định là đi dọc theo đường trắc địa. Bản thân từ “trắc địa” xuất phát từ khoa học trắc địa, theo nghĩa đen trong tiếng Hy Lạp JHZGDLVLc D - “sự phân chia trái đất”. Và nếu đường trắc địa trên một mặt phẳng là những đường thẳng thì việc tìm đường trắc địa trên các bề mặt khác đôi khi rất khó khăn. Nhà toán học vĩ đại nhất Leonhard Euler (1707–1783) đã suy ra phương trình tổng quát của đường trắc địa vào năm 1732. Sau đó, chúng được chuyển thành phương trình Euler–Lagrange và trở thành công cụ chính không chỉ để xây dựng đường trắc địa trên các bề mặt mà còn trong các bài toán cực trị khác. Ứng dụng chính của các nhà khảo sát vào thời điểm đó là bản đồ (do đó có tên như vậy). Khoảng cách giữa hai điểm trên bản đồ phải luôn được đo bằng trắc địa và điều này phải được thực hiện có tính đến

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201102

địa hình. Sau đó, trắc địa bắt đầu được sử dụng để xây dựng hình học bên trong của một bề mặt tùy ý, trong đó khoảng cách ngắn nhất dọc theo bề mặt là khoảng cách giữa các điểm. Tuy nhiên, cần phân biệt đường trắc địa với đường ngắn nhất! “trắc địa” là gì? Đường trắc địa trên một bề mặt là đường ngắn nhất cục bộ tại mỗi điểm của nó. Điều này có nghĩa là với bất kỳ điểm M nào nằm trên một đường thẳng, điều sau đây đúng: bất kỳ điểm A và B nào nằm trên đường thẳng đó đủ gần với M, thì cung trắc địa AB là đường đi ngắn nhất dọc theo bề mặt giữa A và B. Một nhà toán học sẽ xây dựng tính chất ngắn nhất cục bộ như sau: đối với hai điểm bất kỳ nằm trong lân cận nào đó của điểm M, cung trắc địa là đường đi ngắn nhất dọc theo bề mặt giữa chúng. Lưu ý rằng đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ là đường trắc địa, nhưng điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. Đường màu đỏ trong Hình 1 là đường trắc địa, mặc dù đường đi ngắn nhất từ ​​điểm A đến điểm C không đi dọc theo đường này - có một đường ngắn hơn. Nếu không có

Hình 1. Đo đạc – đường ngắn nhất cục bộ

11

NGẮN NHẤT

CÁCH

VÀ

đã được chứng minh. Điều này được thực hiện bởi các nhà toán học Liên Xô Lazar Aronovich Lyusternik (1899–1981) và Lev Genrikhovich Shnirelman (1905–1938), và vì điều này, họ đã phát triển một lý thuyết mới về các phương pháp tôpô trong các bài toán biến phân. Rất lâu sau đó, vào năm 1992, các nhà toán học người Mỹ J. Franks và W. Bangert đã chứng minh rằng trên thực tế, trên bất kỳ bề mặt lồi nhẵn nào cũng không có ba mà là vô số đường trắc địa khép kín. Dừng lại, dừng lại! Có bao nhiêu vô hạn? Chúng ta biết rằng có ba trong số chúng nằm trên hình elip! Không, có gì đó không ổn ở đây. Chúng tôi mở “Hình học trực quan” của Hilbert và Cohn-Vossen, chúng tôi đọc: “Vì vậy, có thể chỉ ra rằng trên một hình elip ba trục, các đường trắc địa khép kín duy nhất không có giao điểm là ba hình elip thu được tại giao điểm của bề mặt này với ba mặt phẳng đối xứng.” Điều này có nghĩa là “nó có thể được hiển thị.” Nhưng các tác giả không viết chính xác như thế nào. Chẳng phải họ đã trở thành nạn nhân của sự tự lừa dối, như P. Fermat, người “không có đủ khoảng trống” bên lề cuốn sách để chứng minh Định lý vĩ đại của mình sao? Rốt cuộc, theo định lý Franks-Bangert, có vô số đường trắc địa trên bất kỳ bề mặt lồi nhẵn nào, nghĩa là trên một hình elip cũng vậy. Hóa ra Hilbert và Cohn-Vossen đã sai? Và Poincaré, người đã không đặt câu hỏi về thực tế rằng có chính xác ba trong số chúng nằm trên một hình elip có trục khác nhau? Và Uryson, Lyusternik và Shnirelman - tất cả họ đều sai phải không? Đúng! Hơn nữa, tất cả họ đều bỏ lỡ ví dụ cơ bản về đường trắc địa “thứ tư” trên một hình elip. Ví dụ này xuất hiện vào năm 1982 trong cuốn sách “Hình học Riemannian” của W. Klingenberg, và sau đó nhiều lần $переоткрывался.^{1}$ Phép trắc địa thứ tư trên một hình elip. Ví dụ này rõ ràng và tuyệt vời đến mức có thể phân tích được

1 Ví dụ, nó được phát minh độc lập vào năm 2004 bởi nhà toán học người Nga S.S. Anisov, người đã báo cáo nó với tác giả. Mãi sau này chúng tôi mới biết rằng ví dụ tương tự cũng có trong cuốn sách của Klingenberg.

GIẢ THUYẾT

POINCARE

trong giờ học ở trường. Mọi người đều đã thấy cách họ buộc các hộp kẹo: họ chạy một phần băng dính xuống, dọc theo đáy hộp, rồi dẫn lên, dọc theo nắp, rồi lại hạ xuống, rồi lại lên. Kết quả là một đường gồm bốn phần - hai phần đối diện ở phía dưới và hai phần ở trên cùng (Hình 5). Bây giờ chúng ta cần làm Hình 5. Phòng thay đồ cũng vậy, nhưng không phải trên hộp quay mà là trên hộp tròn. Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng đường này trên một hình elip. Hãy lấy một hình elip trong đó một trục nhỏ hơn nhiều so với hai trục còn lại. Gần như bằng phẳng. Hãy ký hiệu các đầu của bán trục dài (theo thứ tự) A, B, C, D. Hãy nối A và B bằng đường ngắn nhất chạy dọc theo bề mặt của hình elip. Vì hình elip gần như phẳng nên đường thẳng này sẽ gần với đoạn AB và chắc chắn sẽ không đi dọc theo đường xích đạo, vì độ dài cung xích đạo lớn hơn đoạn AB. Bây giờ hãy vẽ cùng một cung AD dọc theo cạnh kia (phía dưới) của hình elip. Nói cách khác, cung AD biến thành cung AB khi quay $на^{180q}$ so với trục AC. Tiếp theo, chúng ta chạy cung DC tương tự dọc theo mặt trên và kết thúc bằng cung CB ở mặt dưới. Chúng tôi nhận được một đường khép kín gồm bốn cung bằng nhau (Hình 6). Hóa ra nó sẽ là trắc địa.

Hình 6. Đường trắc địa “thứ tư” trên hình elip

Định lý 1. Vẽ đường thẳng khép kín ABCD là đường trắc địa trên mặt elip. Bằng chứng. Tại mỗi điểm trong của cung AB đường thẳng đó nằm cục bộ

12

KVANT 2020/№11–12

ngắn nhất. Nếu không, chỉ cần thay đoạn nhỏ của nó bằng đoạn ngắn hơn và có được đường đi ngắn hơn $из^{A} в^{B,}$ điều đó là không thể. Điều tương tự cũng xảy ra với ba cung còn lại. Vì vậy, mọi thứ đều ổn ở các điểm bên trong của cung. Sự cố xảy ra ở phần cuối của cung. Tại sao, nói, trong $точке^{A}$ Đường dây của chúng tôi tại địa phương có phải là ngắn nhất không? Hãy mang nó đến gần $с^{A}$ hai $точки^{M} и^{N}$ trên các cung khác nhau. Tại sao $путь^{MN}$ dọc theo một đường thẳng có phải là con đường ngắn nhất trên hình elip không? Điều này không theo sau việc xây dựng. Hãy giả sử rằng $дуга^{AM}$ dài hơn $дуги^{AN.}$ Sau đó hãy tiếp tục $дуги^{AN}$ vì $точку^{N}$ điểm M c mà $дуга^{AM} c$ bằng $дуге^{AM}$ (Hình 7, a). Thông thoáng,

Hình 7

$что^{M} и^{M} c$ biến đổi thành nhau khi quay 180q so với $оси^{AC.}$ Nếu $дуги^{AM} и^{AN}$ bằng nhau thì chỉ cần $обозначим^{M} c^{N}$. Bây giờ, giả sử điều ngược lại: có một đường đi ngắn hơn trên bề mặt của hình elip giữa $точками^{M} и^{N.}$ Bằng cách thêm $дугу^{NM} c$ vào đường dẫn này, chúng ta có được một đường đi ngắn hơn dọc theo bề mặt $между^{M}$ và M c. Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất $между^{M} и^{M} c$ không trùng với cung của đường thẳng MM c của chúng ta. Hãy rẽ 180q so với $оси^{AC.} Точки^{M}$ và M c sẽ đổi chỗ, và con đường ngắn nhất giữa chúng sẽ biến thành chính nó - xét cho cùng, đó là con đường duy nhất! Chúng ta hãy biểu thị $через^{P}$ phần giữa của con đường ngắn nhất này (khoảng cách được đo dọc theo con đường). Xoay 180° so với $оси^{AC}$ sẽ giữ nguyên điểm này. Nhưng sau đó nó nằm trên trục quay - $прямой^{AC.}$ Và vì nó nằm trên bề mặt của hình elip nên nó trùng với $с^{A,}$ hoặc $с^{C.}$ Cho đến khi $точки^{C}$ quá xa, con đường ngắn nhất sẽ không đi tới đó. $Значит,^{P} A.$ Vậy điểm giữa của đường đi ngắn nhất $из^{M}$ trong M c nằm ở $точке^{A}$ (Hình 7, b). Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất $из^{A} в^{M}$ đi dọc theo đường thẳng của chúng ta. Nếu không, chúng tôi sẽ đặt nó thay vì $дуги^{AM}$ và do đó giảm độ dài $дуги^{AB,}$, điều này là không thể. Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất $из^{M}$ trong M c

đi dọc theo đường của chúng tôi, điều này mâu thuẫn với giả định. Bây giờ mọi thứ đã được chứng minh.

Chà, họ đã hứa một ví dụ rất cơ bản… Nhưng nó đòi hỏi một lý luận khá tinh tế. Đúng, nhưng đây là bằng chứng. Và việc xây dựng ví dụ này thực sự rất đơn giản. Nếu một giáo viên tiểu học đưa cho học sinh một hình elip phẳng tương tự và yêu cầu chúng kéo một vòng cao su trên đó theo hướng khác với một trong ba đường xích đạo, chắc chắn chúng sẽ thành công. Móc nó bằng một vòng ở phía trên, luồn qua phía dưới, sau đó dùng một vòng khác ở phía trên. Điều đáng ngạc nhiên hơn là trong nhiều thập kỷ không ai nghĩ tới ví dụ này. Và không ai, kể cả những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20 - Poincaré và Hilbert, cho phép ý tưởng rằng có thể có đường trắc địa thứ tư trên một hình elip. Điều kỳ diệu xảy ra! Trên thực tế, đây không phải là ví dụ duy nhất về đường trắc địa “không đều” trên hình elip. Còn nhiều hơn nữa. Trong Bài tập 5, chúng tôi mời bạn xây dựng chúng. Và khối đa diện đang chờ đợi chúng ta!

Bài tập

1. Bề mặt của ngọn núi có dạng hình nón, sự phát triển của nó là một phần ba hình tròn có bán kính 1 km. Hai thôn nằm dưới chân núi, ở hai phía đối diện nhau của căn cứ. Độ dài của con đường ngắn nhất giữa chúng là bao nhiêu? 2. Một du khách rời khỏi một trong những ngôi làng từ bài toán trước đó, muốn đi vòng quanh núi và quay trở lại làng. Độ dài của tuyến đường ngắn nhất là bao nhiêu? Tuyến đường này có phải là tuyến đường trắc địa khép kín không? 3. Trên một hình trụ tròn bên phải có hai đường trắc địa khép kín rõ ràng: “vành đai” (một hình tròn song song với đáy) và “tay cầm” (một hình chữ nhật chứa hai đường kính song song). Hoặc có thể có những người khác? 4. Đường sinh của hình nón gấp đôi bán kính đáy. Xây dựng một trắc địa khép kín trên bề mặt của nó. Chiều dài của nó là bao nhiêu nếu bán kính cơ sở là 1? 5. Xét một hình elip trong đó một bán trục nhỏ và hai bán trục còn lại bằng nhau. Xây dựng một số loại trắc địa khép kín mới trên đó. Gợi ý. Đường trắc địa theo Định lý 1 có thể được gọi là “tứ giác” vì nó bao gồm bốn phần. Xây dựng các đường trắc địa “lục giác”, “bát giác” và các đường trắc địa tương tự.

(Còn tiếp)