Hai bài toán về việc che bảng bằng các góc

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Hai bài toán về việc che bảng bằng các góc

A.KANUNIKOV

MỘT TRONG NHỮNG chủ đề THƯỜNG GẶP của câu lạc bộ là ốp lát, cắt, tô màu. Một bài toán điển hình về chủ đề này được xây dựng như sau: “Một hình đã cho gồm các ô có thể cắt thành các hình thuộc một loại nhất định không?” (xem, ví dụ, [1]). Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải quyết hai nghiên cứu tương tự bài toán về việc che một tấm bảng hình chữ nhật bằng các góc. Bài toán 1. Tấm ván có kích thước bao nhiêu có thể cắt thành các góc của ba hình vuông? Rõ ràng, số lượng ô mn phải là bội số của 3, có nghĩa là m hoặc n là bội số của 3. Hãy xem xét mức đóng bài toán, trong đó hạn chế này được dỡ bỏ. Bài toán 2. Bảng $размеров^{m} u^{n}$ nào có thể được phủ đều các góc của ba hình vuông thành nhiều lớp? (Mỗi ô được bao phủ bởi cùng một số góc.) Trong đáp số với bài toán m và n này có thể không còn là bội số của 3 nữa (trong trường hợp này số lớp sẽ là bội số của 3). Tác giả đã nhìn thấy một lời giải bài toán 2 thú vị cho bảng 5 u 7 trong một cuốn sách [2] khi ông còn là một cậu học sinh. Đoán được lời giải này không hề dễ dàng.

che một góc theo hai cách (Hình 1) - trong cả hai trường hợp, một góc khác được đặt rõ ràng bên dưới và hai góc này tạo thành $прямоугольник^{3} u^{2}$. Chúng ta áp dụng lý luận tương tự cho $доске^{3} u^{n} 2$ còn lại và thấy rằng $доска^{3} u^{n}$ bị cắt thành các góc $œ^{n}$ chẵn. (1) Tiếp theo, chúng ta lấy $m 6. Доски^{6} u^{2} и^{6} u^{3}$ có thể được cắt thành $блоки^{3} u^{2}$, và do đó thành các góc (Hình 2). Từ đây rõ ràng bảng 6 u n được cắt thành các góc cho n bất kỳ! 1. (2)

Hình 2

Thật vậy, với n chẵn, một tấm ván như vậy được cắt thành 6 u 2, và với n lẻ - thành một $доску^{6} u^{3} и^{n} 3^{2} досок^{6} u^{2}$. Việc còn lại là khám phá các bảng có m, n lẻ! 3, trong đó m là bội số của 3. Giá trị nhỏ nhất: m 9 và $n^{5.}$ Việc cắt $доски^{9} u 5$ có ​​thể phải thực hiện nhiều lần thất bại. Trong lời giải, màu bảng như trong Hình 3 sẽ hữu ích. Rõ ràng là mỗi góc bao phủ nhiều nhất một ô màu xanh lá cây. Mặt khác, có 15 ô màu xanh lá cây - con số tương đương với số góc. Điều này có nghĩa là ở mọi ngóc ngách cần có

Lời giải bài toán 1

Chúng ta sẽ giả sử rằng m là bội số của 3. Hãy bắt đầu với trường hợp m 3. Với n 2, chúng ta thu được một hình chữ nhật $^{3}$ $u^{2}$, được cắt thành hai góc. Chúng ta cùng nghiên cứu trường hợp tổng quát $доски^{3} u^{n}$ cho n! 1. Ô phía trên bên trái của nó có thể là

Hình 3

Hình 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201105

Hình 4

40

KVANT 2020/№11–12

kami, không sắp xếp số. Ví dụ, hãy xem xét một tấm bảng 5 x 7. Hãy để nó được phủ các góc trong N lớp. Khi đó số ô xanh trong tất cả các lớp là 12N và số góc là $35^{N} 3$. Nhưng ở mỗi góc không có nhiều hơn một ô xanh, tức là không có nhiều góc hơn ô xanh (trên tất cả các lớp), $т.е.^{12} N 35^{N} 3$ là mâu thuẫn. Điều này lời giải được kể bởi giáo viên Khoa Cơ học và Toán học nhỏ Marina Molchanova. Bảng 7 và 7 đáng được quan tâm đặc biệt. Nếu học cách che nó, chúng ta sẽ có thể che tất cả các bảng $7^{2} p u 7^{2} t$ chưa được xem xét trước đây. (8) Nó đủ để chứng minh rằng bằng cách cắt bỏ bất kỳ hình vuông nào của bảng 7 và 7, chúng ta có thể che phần còn lại bằng các góc trong một lớp. Trên thực tế, bằng cách chồng tất cả 49 lớp phủ như vậy lên nhau, chúng ta sẽ phủ tấm bảng 7 u 7 thành 48 lớp! Tất nhiên, chỉ cần đưa ra các ví dụ về mức độ bao phủ không phải cho 49 ô mà chỉ cho 10 ô - chúng được đánh dấu ở $рисунке^{7,}$ bất kỳ

Hình 8

Hình 7

một ô khác được chuyển đến một trong những ô được đánh dấu bằng cách xoay hoặc phản chiếu của bảng. Mỗi ô trong số 10 ô được đánh dấu trong hình $^{7,}$ rơi vào một trong các ô vuông 2 u 2 được đánh dấu màu đỏ. Sau khi cắt hình vuông ra, bản thân hình vuông đó sẽ trở thành một góc, và cách cắt phần còn lại của bảng được thể hiện ở hình 8, a-c tương ứng. Tổng hợp các phát biểu (4)–(8), ta thu được định lý sau. Định lý 2. Bảng m u n được phủ các góc đều trong các trường hợp sau và chỉ trong các trường hợp đó: $1)^{mn}$ chẵn $и^{m,n}$! 1; $2)^{m,} n$ là số lẻ và lớn hơn 3, ngoại trừ bảng 5 u 5 và 5 u 7.

Văn học 1. S. Tabachnikov, D. Fuchs. Không thể lát gạch được. – «Kvant», 2011, số 2. 2. A.Ya.Kanel-Belov, A.K.Kovaldzhi. Cách giải quyết không chuẩn bài toán. – M.: MTsNMO, $2008.^{3.}$ P.A.Kozhevnikov. Tessellations: từ tô màu cờ vua đến sơ đồ Van Kampen và nhóm Conway. – Tài liệu của LSHSM-2013, https://www.mccme.ru/dubna/2013/ khóa học/kozhevnikov.htm

47

BÀI KIỂM TRA

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 14

3. Trong mạch điện (Hình 14) tất cả các phần tử đều lý tưởng, tụ điện không tích điện. Biết các giá trị E, R, C, r R. Công tắc K đóng một lúc rồi mở khi tốc độ tăng năng lượng của tụ điện là cực đại. 1) Tìm dòng điện chạy qua tụ điện ngay sau khi đóng công tắc. 2) Tìm dòng điện chạy qua tụ điện ngay sau khi mở công tắc. 3) Sau khi mở chìa khóa, mạch điện sẽ toả bao nhiêu nhiệt lượng? 4. Mạch sử dụng mạch cầu (Hình 15a). EMF của một nguồn lý tưởng

Hình 15

E 10 V, $R_{2} 12$ Ôm, $R_{3} 8$ Ôm, $R_{4} 2$ Ôm. Đặc tính dòng điện của diode được thể hiện trên hình 15, b, điện áp ngưỡng của diode là $U_{0} 1$ V. 1) Tìm dòng điện qua điện trở có điện trở $R_{3}$ khi công tắc K mở. 2) Dòng điện chạy qua diode sẽ ở giá trị nào $R_{1}$ khi công tắc K đóng? 3) Tại giá trị nào của $R_{1}$ thì công suất tổn thất nhiệt trên diode sẽ bằng $P_{D} 1,25$ W?

Hình 16

5. Hệ thống quang học bao gồm một thấu kính phân kỳ mỏng có tiêu cự F (F! 0), một gương phẳng và một màn chắn nhỏ E, được đặt sao cho ánh sáng từ nguồn S chỉ có thể tới thấu kính sau khi phản xạ từ gương (Hình 16). Gương nằm vuông góc với trục quang chính của thấu kính $OO_{1}$. Nguồn S nằm cách trục $OO_{1}$ một khoảng 3 F 4 và cách mặt phẳng của thấu kính một khoảng F 2. Thấu kính và nguồn đứng yên, gương chuyển động với tốc độ v dọc theo trục $OO_{1}$. Tại một thời điểm gương cách thấu kính một khoảng F. 1) Tại thời điểm này người quan sát A có thể nhìn thấy ảnh của nguồn trong hệ ở khoảng cách bao nhiêu so với mặt phẳng thấu kính? 2) Lúc này ảnh đang chuyển động ở góc D nào so với trục $OO_{1}$? (Tìm giá trị của bất kỳ hàm lượng giác nào của góc.) 3) Tìm tốc độ của ảnh tại thời điểm này. Ấn phẩm về toán học được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, I. Glukhov, A. Golovko, S. Gorodetsky, V. Dubinskaya, Y. Kuzmenko, E. Molchanov, O. Podlipsky, D. Tereshin; trong vật lý - L. Koldunov, V. Plis, V. Uskov, V. Chivilev, A. Sheronov, Yu. Yuryev

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Kể từ năm 2017, tạp chí «Kvant» đã trở thành tạp chí hàng tháng và 12 số tạp chí được xuất bản mỗi năm. Bạn có thể đăng ký tạp chí của chúng tôi từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»_{–} 90964.$”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblio-Globus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http://kvant.ras.ru