Trên các tứ giác trực tâm liên kết với một tam giác

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

“QUANTA”

Trên các tứ giác trực tâm liên kết với một tam giác

$ЧАН^{КУАНГ}$ HYUNG

Bài viết này nói về một số khái quát về bài toán M2553. Trong quá trình suy luận chúng ta cũng sẽ thu được lời giải bài toán M2615. Xét tam giác ABC tùy ý. Cho đường tròn nội tiếp có tâm I và tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm A 1, B 1 và C 1. Trong bài toán M2553, K và L lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp tứ giác AB 1 IC 1 và BA 1 IC 1, còn H lần lượt là đáy của đường cao hạ xuống từ điểm C. Điểm P và Q lần lượt được xác định là giao điểm của phân giác của góc AHC với A 1 C 1 và là giao điểm của phân giác của góc BHC với B 1 C 1. Phát biểu bài toán là tứ giác K, L, P, Q là trực tâm. Lời giải bài toán M2553 được đưa ra trong bài viết của A. Zaslavsky “Trên một tứ giác trực tâm” ở «Kvant» số 7 cho năm 2019. Một số tính chất khác của cách xây dựng này cũng đã được chứng minh ở đó. Đặc biệt, người ta đã chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua C, giao điểm D của KQ và PL nằm trên AB, còn CD là tiếp tuyến chung của các đường tròn nội tiếp các tứ giác AB 1 IC 1 và BA 1 IC 1. Tác giả đã phát hiện tổng quát các sự kiện này và có thể phát biểu dưới dạng một định lý. Định lý. Gọi D là một điểm tùy ý trên cạnh AB của tam giác ABC, K và L lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD (Hình 1). Hãy để $P LD \cap A 1 C 1$,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201103

Hình 1

$Q KD \cap B 1 C 1$. Khi đó đường thẳng PQ đi qua C và bốn điểm K, L, P, Q trực tâm. Vì các đường thẳng DKQ và DLP là các đường phân giác của các góc kề nhau nên chúng vuông góc, tức là một trong các đường vuông góc bắt buộc được lắp đặt: QK A PL. Dưới đây ta sẽ chứng minh CP A KL. Vì, tương tự, CQ A KL, điều này sẽ hoàn thành việc chứng minh định lý, vì từ đó các điểm C, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng và các điểm vuông góc khác PQ A KL. Hãy giới thiệu giao điểm M của CK với B 1 C 1. Mệnh đề phụ sẽ là bài toán M2615. M2615. Trong tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh CA và AB lần lượt tại các điểm B 1 và C 1 (Hình 2). Về phía AB chọn một cái tùy ý

Hình 2