Об ортоцентрических четвёрках, связанных с треугольником

21

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Об ортоцентрических четверках, связанных с треугольником

$ЧАН^{КУАНГ}$ ХЮНГ

В этой статье рассказывается о некотором обобщении задачи М2553. В процессе рассуждений мы также получим решение задачи М2615. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть вписанная в него окружность имеет центр I и касается сторон BC, CA и AB в точках A 1, B 1 и C 1 соответственно. В задаче М2553 через K и L были обозначены центры окружностей, вписанных в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1 соответственно, а через H – основание высоты, опущенной из точки C. Точки P и Q определялись как точка пересечения биссектрисы угла AHC с A 1 C 1 и точка пересечения биссектрисы угла BHC с B 1 C 1 соответственно. Утверждение задачи состояло в том, что четверка K, L, P, Q – ортоцентрическая. Решение задачи М2553 было приведено в статье А.Заславского «Об одной ортоцентрической четверке» в «Кванте» №7 за 2019 год. Там же доказывались некоторые другие свойства этой конструкции. В частности, было показано, что прямая PQ проходит через C, точка D пересечения KQ и PL лежит на AB, при этом CD – общая касательная к окружностям, вписанным в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1. Автор обнаружил обобщения этих фактов, которые можно сформулировать в виде теоремы. Теорема. Пусть D – произвольная точка на стороне AB треугольника ABC, а K и L – центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD соответственно (рис.1). Пусть $P LD \cap A 1 C 1$,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201103

Рис. 1

$Q KD \cap B 1 C 1$. Тогда прямая PQ проходит через C, а четверка точек K, L, P, Q – ортоцентрическая. Поскольку прямые DKQ и DLP – биссектрисы смежных углов, они перпендикулярны, т.е. одна из нужных перепендикулярностей установлена: QK A PL. Ниже мы докажем, что CP A KL. Поскольку, аналогично, CQ A KL, это завершит доказательство теоремы, так как отсюда будет следовать и то, что точки C, P, Q лежат на одной прямой, и еще одна перпендикулярность PQ A KL. Введем точку M пересечения CK с B 1 C 1. В качестве вспомогательного утверждения будет выступать задача М2615. М2615. В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон CA и AB в точках B 1 и C 1 соответственно (рис.2). На стороне AB выбрана произвольная

Рис. 2