25
ПР АКТИК У М
Чертеж в геометрической задаче
Г.ДОРОФЕЕВ, Н.РОЗОВ
НА РОЛЬ ЧЕРТЕЖА В РЕШЕНИИ геометрической задачи поступающие смотрят по-разному. Одни думают, что чертеж вообще не нужен, и выполняют его подчеркнуто небрежно. Другие, наоборот, считают сам чертеж достаточным аргументом в рассуждениях и даже не находят нужным как-либо обосновывать то, что «видно из чертежа». Обе эти крайние точки зрения неправильны. Разумеется, никакой чертеж, даже самый аккуратный, не может заменить логического доказательства, а является лишь иллюстрацией к рассуждениям. Любой геометрический факт, который мы «увидели» на чертеже, необходимо строго обосновать – только тогда можно утверждать, что этот факт действительно имеет место, а не получен из верного (или, что гораздо опаснее, неверного) рисунка. В то же время наглядный чертеж – хороший помощник при решении задачи: он может подсказать идею необходимых рассуждений и вычислений, натолкнуть на мысль использовать некоторую теорему или придумать удачное дополнительное построение. Недаром математики вообще часто прибегают к геометрическим иллюстрациям, чтобы сделать идеи доказательства более понятными. Однако помочь решить задачу может только чертеж, правильно отражающий существенные геометрические особенности конфигурации, о которой идет речь в условии. Именно поэтому к чертежу следует относиться очень внимательно. Часто поступающие ограничиваются первым более или менее удачно выполненным рисунком, не интересуясь, насколько точно сделанный чертеж отвечает условию задачи.
Опубликовано в «Кванте» №6 за 1976 год.
А Б ИТ УР И Е НТА
Между тем, во многих задачах провести полное решение по одному чертежу в принципе невозможно, поскольку условие задачи допускает существование геометрически различных конфигураций. Кроме того, такая привязанность к одному «случайному» чертежу приводит и к иной неприятности: в ходе решения задачи может обнаружиться противоречие между получающимися результатами и исходным чертежом, которое обычно ставит поступающих в тупик. Однако при правильном понимании роли чертежа в этом нет ничего страшного – следует просто отказаться от первоначального изображения и сделать новый чертеж, соответствующий появившейся геометрической информации (конечно, при условии, что проведенные рассуждения и вычисления правильны). При построении чертежа бывает полезно делать не примерный эскиз, дающий лишь общее представление о геометрической конфигурации, а стремиться последовательно конструировать чертеж, опираясь на данные задачи и общие геометрические факты. При таком подходе легче «увидеть» те идеи, которые можно применить в решении. Задача 1 (МГУ, ф-т почвоведения, 1974). В треугольнике АВС угол В равен 90q, АВ 4. На стороне ВС взята точка D так, что BD 1. Окружность радиуса 5 2 проходит через точки В и D и касается в точке В окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АВС. Прежде всего построим треугольник АВС с прямым углом В (рис.1). Для построения окружности, описанной около этого треугольника, выясним сначала, где находится ее центр О и чему равен ее радиус. Как известно, центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в
Рис. 1