Задачи

30

КВАН T 2020/№11–12

Искомый отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного $треугольника_{1}^{BB} A, катет_{1}^{BB}$ которого определяется из прямоугольного треугольника $CB_{1}^{B} :_{1}^{BB} 2 r$ sin M. Остается найти катет $AB_{1}$. Прямые ОА $и_{1}^{BB}$, перпендикулярные к плоскости Р, лежат в одной плоскости. Проведем в ней прямую $ON_{P} AB_{1}$; тогда $AONB_{1}$ – прямоугольник и, следовательно, $AB_{1} ON, NB_{1} OA r$. Так как

NB

BB 1 NB 1

2 r sin M r,

Рис. 9

то из $треугольника^{ONB}$

$ON^{2}$

$OB^{2} NB^{2}$

$4 r^{2}$ sin M 1 sin M, а из $треугольника_{1}^{BB} A$

AB

$AB_{1}^{2} BB_{1}^{2}$

$ON^{2} BB_{1}^{2}$

2 r sin M.

Не следует, однако, думать, что задача решена. В самом деле, при вычислении отрезка$^{NB}$ мы существенно использовали тот факт, что точки $В,^{N} и_{1}^{B}$ расположены именно так, как это изображено на рисунке 8. Но из условия задачи вовсе не следует, что $точка^{N}$ лежит между В $и_{1}^{B}$; точка В может лежать между $точками^{N} и_{1}^{B}, точки^{N}$ и В могут даже совпадать. Только рассмотрев все эти случаи, мы можем утверждать, что провели исчерпывающее решение задачи.

Если точка В лежит $между^{N} и_{1}^{B}$ (рис.9), то $NB NB_{1}^{BB} 1 r 2 r$ sin M, а дальнейшее вычисление $отрезков^{ON}$ и АВ проводится точно так же, как и выше; в результате мы приходим к той же формуле для отрезка АВ. Если, наконец, $точки^{N}$ и В совпадают, то ясно, $что_{1}^{BB} ON r$, и AB r 2. В этом случае в треугольнике $CB_{1}^{B} катет_{1}^{BB} r$ составляет половину гипотенузы СВ 2r, а потому M 30 q, т.е. AB 2 r sin M. Таким образом, равенство AB 2 r sin M справедливо при любых возможных значениях M. Решение этой задачи можно провести и с помощью рассуждений, не зависящих от конкретного расположения точек $В,_{1}^{B} и^{N}$ – попробуйте сделать это самостоятельно.

КОНК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com view savin-contest Желаем успеха!

9. Можно ли записать в каждой вершине куба натуральное число так, чтобы все 8 чисел были различны, но произведение чисел в вершинах каждой грани было одно и то же? М.Евдокимов

10. а) На клетчатом листе нарисовали четырехугольник с вершинами в узлах сетки (рис.1). Докажите, что у него один из углов в два раза больше другого. б) Нарисуйте на клетчатом листе выпуклый четырехугольник с вершинами в уз-