Задачи М2626—М2633; Ф2633—Ф2640

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2630–М2632, М2633а предлагались на XLII Турнире городов. Автор задач Ф2633–Ф2640 – А.Власов.

Задачи М2626–М2633, Ф2633–Ф2640

M2626. На межгалактическую олимпиаду съехалось бесконечное количество участников, которых зарегистрировали под номерами 1, 2, 3,… Оказалось, что при каждом n = 1, 2, … участник с номером n имеет не менее n друзей среди оставшихся участников (дружба взаимна). Имеется гостиница для проживания участников с бесконечным количеством двухместных номеров. Докажите, что участников можно расселить в двухместные номера так, чтобы в каждом номере оказалась пара друзей. В.Брагин, П.Кожевников

M2627. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Рассматриваются произведения пар ее членов. Докажите, что произведения в каких-то двух различных парах отличаются не более чем на 1. А.Кузнецов

M2628*. Имеется N внешне одинаковых чашечных весов. Известно, что ровно одни из них испорченные – они показывают что угодно, и их вес отличается от веса остальных, которые весят одинаково и всегда показывают верный результат. За одно взвешивание можно положить несколько весов на каждую из чаш каких-то других весов. При каком наибольшем N за три взвешивания можно гарантированно найти испорченные весы? А.Грибалко, О.Манжина

M2629*. На рисунке 1 в центре изображен произвольный (зеленый) треугольник. На его сторонах во внешнюю сторону построили белые квадраты. Некоторые из их вершин соединили отрезками, на них снова построили во внешнюю сторону белые квадраты и т.д. В промежутках между квадратами образовались треугольники и четырехугольники, которые окрасили в различные цвета. Докажите, что а) все окрашенные четырехугольники являются трапециями; б) площади всех многоугольников одного и того же цвета равны; в) отношения оснований одноцветных трапеций равны; г) если $S_{0}^{1}$ — площадь исходного треугольника, а $S_{i}$ — площадь цветного многоугольника в i-м слое, то $S 1^{1}, S 2 5$, а для

Рис. 1

15

ЗАДАЧНИК

ках до сброса резервного топлива на самолетах. За какое время произойдет освобождение бака от жидкости? Как изменится это время, если начальное давление газа увеличить в 4 раза? Считайте известными следующие величины: D S s – отношение площадей сечения бака и сливного отверстия, $p_{0}$ – начальное давление газа, $x_{0}$ – начальная высота газового столба, n – вертикальный размер бака в $единицах_{0}^{x}, U$ – плотность жидкости. Расширение газа считайте изотермическим, а внешнее давление примите равным нулю. Вязкостью жидкости и гравитацией пренебречь, бак закреплен.

Ф2636*. Ученик, который успешно перешел в 11 класс, летом на даче развлекался следующим образом. Он из большой бочки и других подручных материалов изготовил необычный термометр. Схема этого простого изобретения представлена на рисунке 5. В герметичной бочке находится вода. Высота столбика воды в прозрачной трубке зависит от температу- Рис. 5 ры. Определите чувствительность такого термометра в диапазоне летних и осенних температур 10–40 градусов Цельсия. Внутренний диаметр трубки значительно меньше внутреннего диаметра бочки. При решении задачи вам не обойтись без таблицы зависимости давления насыщенных паров воды от температуры:

Ф2637. На рисунке 6 показана схема простейшего теплообменника. В теплоизолированном баке находится теплоноситель при высокой температуре. Через бак проходит длинная и тонкая трубка-змеевик, сделанная из металла с высокой теплопроводностью. Определите конечную температуру первоначально холодной жидкости (напитка), протекшей через змеевик теплообменника. В рабочем режиме скорость про-

«КВАНТА»

текания и массу жидкости в змеевике считайте малыми. Известны следующие величины: $M, T_{0}$ – масса и начальная температура теплоносителя, $m, t_{0}$ – соответственно масса и начальная температура нагреваемой жидкости (напитка). Теплоемкости жидкостей считайте $равными,^{Рис.} 6$ потерями тепла можно пренебречь. Как изменится результат, если «поменять местами» жидкости – нагреваемую жидкость налить в бак, а через змеевик проливать теплоноситель?

Ф2638. Из материала с удельным сопротивлением U изготовлена тонкостенная сфера радиусом А (рис.7). Толщина стенок

Рис. 7

сферы $d E A, E_{≪} 1$. Небольшие области полюсов сферы (контактные области) изготовлены из сверхпроводника, их приближенно можно считать дисками радиуса r. Определите сопротивление сферы между контактными областями. Каким станет это сопротивление, если все геометрические размеры сферы увеличить в n раз?

Ф2639. Металлический стержень подвешен горизонтально на двух параллельных нитях (рис.8). Такая конструкция представляет собой гравитационный маятник, который имеет три степени свободы и соответственно может совершать три разных собственных колебаний. Очевидно, что период малых колебаний ортогональной моды (стержень при таком колебании смещается поперек оси симметрии) определяется $формулой^{T} 2 S l g$. Как изменит-