Две задачи о покрытии доски уголками

Квант 2020, №11-12 с. 40, 47 Тег TR62

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

А.КАНУННИКОВ

ОДНА ИЗ РАСПРОСТРАНЕННЫХ кружковых тем – замощения, разрезания, раскраски. Типичная задача на эту тему формулируется так: «Можно ли данную фигуру, состоящую из клеток, разрезать на фигурки данного вида?» (см., например, [1]). В этой статье мы решим две схожие исследовательские задачи о покрытии прямоугольной доски уголками. Задача 1. Доски каких размеров m u n можно разрезать на уголки из трех клеток? Очевидно, что число клеток mn должно быть кратно 3, а значит, m или n кратно 3. Рассмотрим близкую задачу, в которой это ограничение снимается. Задача 2. Доски каких $размеров^{m} u^{n}$ можно покрыть уголками из трех клеток равномерно в несколько слоев? (Каждая клетка покрывается одним и тем же числом уголков.) В ответе к этой задаче m и n уже могут быть не кратны 3 (в этом случае число слоев будет кратно 3). Интересное решение задачи 2 для доски 5 u 7 автор увидел в книжке [2], когда был школьником. Догадаться до этого решения весьма не просто.

покрыть уголком двумя способами (рис.1) – в обоих случаях однозначно ставится еще один уголок снизу и эти два уголка образуют $прямоугольник^{3} u^{2}$ . К оставшейся $доске^{3} u^{n} 2$ применяем то же рассуждение и получаем, что $доска^{3} u^{n}$ разрезается на уголки $^{n}$ четно. (1) Далее возьмем $m 6. Доски^{6} u^{2} и^{6} u^{3}$ можно разрезать на $блоки^{3} u^{2}$ , а значит – и на уголки (рис.2). Отсюда ясно, что доска 6 u n разрезается на уголки при любом n! 1. (2)

Рис. 2

Действительно, при четном n такая доска разрезается на доски 6 u 2, а при нечетном n – на одну $доску^{6} u^{3} и^{n} 3^{2} досок^{6} u^{2}$ . Осталось исследовать доски с нечетными m, n! 3, где m кратно 3. Наименьшие значения: m 9 и $n^{5.}$ На разрезание $доски^{9} u 5$ может уйти много неудачных попыток. В решении поможет раскраска доски, показанная на рисунке 3. Ясно, что каждый уголок покрывает не более чем одну зеленую клетку. С другой стороны, зеленых клеток 15 – столько же, сколько должно быть уголков. Значит, в каждом уголке должно быть по

Решение задачи 1

Будем считать, что m кратно 3. Начнем со случая m 3. При n 2 получаем прямоугольник $^{3}$ $u^{2}$ , который разрезается на два уголка. Исследуем общий случай $доски^{3} u^{n}$ при n! 1. Ее левую верхнюю клетку можно

Рис. 3

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201105

Рис. 4

КВАНТ 2020/№11–12

ками, не расставляя числа. Рассмотрим, к примеру, доску 5 u 7. Пусть ее можно покрыть уголками в N слоев. Тогда число зеленых клеток во всех слоях равно 12N, а число уголков равно $35^{N} 3$ . Но в каждом уголке – не более одной зеленой клетки, значит, уголков не больше, чем зеленых клеток (по всем слоям), $т.е.^{12} N 35^{N} 3$ – противоречие. Это решение рассказала преподаватель Малого мехмата Марина Молчанова. Особого внимания заслуживает доска 7 u 7. Если мы научимся покрывать ее, то сможем покрыть вообще все не рассмотренные ранее доски $7^{2} p u 7^{2} t$ . (8) Достаточно показать, что, вырезав любую клетку доски 7 u 7, мы сможем покрыть оставшуюся часть уголками в один слой. В самом деле, наложив друг на друга все 49 таких покрытий, мы покроем доску 7 u 7 в 48 слоев! Конечно, примеры покрытий достаточно привести не для 49 клеток, а всего для 10 – они отмечены на $рисунке^{7,}$ любая

Рис. 8

Рис. 7

другая клетка переводится в одну из отмеченных поворотом или отражением доски. Каждая из 10 клеток, отмеченных на рисунке $^{7,}$ попадает в один из квадратов 2 u 2, выделенных красным. После вырезания клетки такой квадрат сам становится уголком, а как разрезать оставшуюся часть доски, показано на соответствующем из рисунков 8,а-в. Суммируя утверждения (4)–(8), получаем следующую теорему. Теорема 2. Доска m u n равномерно покрывается уголками в следующих случаях и только в них: $1)^{mn}$ четно $и^{m,n}$ ! 1; $2)^{m,} n$ нечетны и больше 3, кроме досок 5 u 5 и 5 u 7.

Литература 1. С.Табачников, Д.Фукс. Невозможные замощения. – «Квант», 2011, №2. 2. А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи. Как решать нестандартные задачи. – М.: МЦНМО, $2008.^{3.}$ П.А.Кожевников. Замощения: от шахматной раскраски до диаграмм Ван-Кампена и групп Конвея. – Материалы ЛШСМ-2013, https://www.mccme.ru/dubna/2013/ courses/kozhevnikov.htm

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

МАТЕРИАЛЫ

Рис. 14

В электрической цепи (рис.14) все элементы идеальные, конденсатор не заряжен. Величины E, R, C известны, r R. Ключ K на некоторое время замыкают, а затем размыкают, когда скорость роста энергии конденсатора максимальна. 1) Найдите ток, текущий через конденсатор, сразу после замыкания ключа. 2) Найдите ток, текущий через конденсатор, сразу после размыкания ключа. 3) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания ключа? 4. В цепи используется мостовая схема (рис.15,а). ЭДС идеального источника

Рис. 15

E 10 В, $R_{2} 12$ Ом, $R_{3} 8$ Ом, $R_{4} 2$ Ом. Вольт-амперная характеристика диода показана на рисунке 15,б, пороговое напряжение диода $U_{0} 1$ В. 1) Найдите ток через резистор сопротивлением $R_{3}$ при разомкнутом ключе K. 2) При каких значениях $R_{1}$ ток потечет через диод при замкнутом ключе K? 3) При каком значении $R_{1}$ мощность тепловых потерь на диоде будет равна $P_{D} 1,25$ Вт?

Рис. 16

Оптическая система состоит из тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F (F! 0), плоского зеркала и небольшого экрана Э, расположенного так, что свет от источника S может попасть на линзу только после отражения от зеркала (рис.16). Зеркало расположено перпендикулярно главной оптической оси линзы $OO_{1}$ . Источник S находится на расстоянии 3 F 4 от оси $OO_{1}$ и на расстоянии F 2 от плоскости линзы. Линза и источник неподвижны, а зеркало движется со скоростью v вдоль оси $OO_{1}$ . В некоторый момент зеркало оказалось на расстоянии F от линзы. 1) На каком расстоянии от плоскости линзы наблюдатель A сможет увидеть в этот момент изображение источника в системе? 2) Под каким углом D к оси $OO_{1}$ движется изображение в этот момент? (Найдите значение любой тригонометрической функции угла.) 3) Найдите скорость изображения в этот момент. Публикацию по математике подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, И.Глухов, А.Головко, С.Городецкий, В.Дубинская, Ю.Кузьменко, Е.Молчанов, О.Подлипский, Д.Терёшин; по физике – Л.Колдунов, В.Плис, В.Усков, В.Чивилёв, А.Шеронов, Ю.Юрьев

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru