Sự giãn nở nhiệt

Sự giãn nở nhiệt

E.SOKOLOV

KHI NÓNG, CƠ THỂ MỞ RỘNG, mọi người đều đồng ý với điều này. (Có một ngoại lệ quan trọng đối với quy tắc này. Nước trong khoảng từ 0 q C đến 4 q C co lại khi đun nóng. Nhờ điều này, các hồ chứa của chúng ta không đóng băng xuống đáy vào mùa đông.) Nhiều người thậm chí có thể đưa ra công thức thay đổi chiều dài của thanh khi đun nóng: $l l_{0} 1 D' t$. Nhưng về câu hỏi hình dạng của vật thay đổi như thế nào khi bị nung nóng thì không còn sự thống nhất nữa (Hình 1).

Hình 1. Sự giãn nở nhiệt của vòng: a) hình dạng ban đầu của vòng; b và c) “sưng” và “căng”

Một số biểu thị sự giãn nở nhiệt dưới dạng “sự giãn nở” của vật thể được làm nóng theo mọi hướng (xem Hình 1, b), trong khi một số khác - là sự “kéo dài” của nó theo mọi hướng (xem Hình 1, c). Có lẽ, cái trước, khi vẽ, hãy tưởng tượng một vết mực lan rộng, và cái sau, một màng cao su trải dài ra mọi hướng. Câu hỏi đặt ra: hình ảnh nào trong số này truyền tải chính xác sự thay đổi hình dạng của vật thể trong quá trình giãn nở nhiệt? Công thức nổi tiếng không cung cấp cho chúng ta đáp số cho câu hỏi này: nó chỉ cho chúng ta biết về độ dài của các thanh và không cho biết gì về bán kính cũng như độ dày của các vòng. Để tìm hiểu cách trả lời những câu hỏi như vậy, chúng ta cần cố gắng xây dựng định luật giãn nở nhiệt trong hiện trường.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210202

ở dạng tổng quát. Cụ thể, cần phải xây dựng nó cho một hình hình học như vậy và theo cách sao cho kết quả là các vòng, hình tròn, hình tam giác, v.v. sẽ được lấy một cách tự động từ nó, trong các trường hợp đặc biệt. Điều này không khó để thực hiện. Chúng ta hãy chuyển sang tính chất của vật nóng, tính chất quen thuộc với những ai cắt bằng ghép hình. Nếu chúng ta cắt một hình tròn trên một tấm được làm nóng đến 20 q C bằng một chiếc dũa mỏng, mỏng thì hình tròn sẽ dễ rơi ra khỏi đĩa. Điều này có nghĩa là khi trở nên tự do, vòng tròn không tăng kích thước. Và ngược lại, nếu chúng ta muốn chèn lại thì nó sẽ dễ dàng chèn và chiếm hoàn toàn vị trí cũ. Nói cách khác, khi trở nên tự do, hình tròn không giảm kích thước. Hóa ra trạng thái của một vật ở một nhiệt độ nhất định là như nhau bất kể nó được nung nóng dưới dạng một hình riêng biệt hay dưới dạng một phần của tấm. Và điều này sẽ xảy ra không chỉ ở nhiệt độ 20 q C, mà còn ở 37 q C, ở 156 q C và ở bất kỳ nhiệt độ nào khác. Do đó, tất cả các hình đều giãn nở như nhau, bất kể chúng tự nóng lên hay là một phần của tấm. Quan sát này cho phép chúng ta lấy một mặt phẳng vô hạn làm trường hợp chung của một vật thể được nung nóng: vẽ các hình khác nhau lên nó, chúng ta, khi biết các điểm của mặt phẳng chuyển động như thế nào, sẽ luôn tìm ra các điểm của các hình được vẽ chuyển động như thế nào và hình dạng của chúng thay đổi như thế nào. Vẫn còn phải thực hiện bước cuối cùng - từ định luật nổi tiếng về việc tăng chiều dài của thanh, rút ​​ra định luật chuyển động của các điểm trên một mặt phẳng vô hạn. Điều này cũng dễ thực hiện: chúng ta có thể coi hai điểm bất kỳ của mặt phẳng là hai đầu của một thanh mỏng vô hạn được vẽ, do đó khoảng cách giữa chúng được xác định bởi công thức $l l_{0} 1 D' t$.

11

NHIỆT

Tính chất 3. Trong quá trình giãn nở nhiệt, các hình vẽ trên mặt phẳng biến thành các hình đồng dạng. Thuộc tính này kế thừa từ hai thuộc tính đầu tiên. Nó cho chúng ta biết rằng khi nhiệt độ thay đổi, các vùng riêng lẻ của mặt phẳng có thể di chuyển và quay (so với các vật thể bên ngoài, chẳng hạn như bề mặt của một cái bàn), tăng và giảm kích thước của chúng, nhưng hình dạng của chúng không thay đổi. Từ tính chất này, có thể suy ra rằng Hình 1c minh họa chính xác sự thay đổi hình dạng của vòng trong quá trình giãn nở nhiệt. Từ hai tính chất đầu tiên, cũng theo sau một tính chất dân chủ nhất khác là sự giãn nở nhiệt. Tính chất 4. Tất cả những người quan sát “bên trong” (những người quan sát ngồi trên một mặt phẳng nóng) đều nhận thấy sự giãn nở nhiệt theo cách giống hệt nhau - như sự giãn nở đẳng hướng của Vũ trụ. Cụ thể, mọi điểm trên mặt phẳng mà chúng nhìn thấy sẽ di chuyển ra xa chúng với tốc độ tỷ lệ thuận với khoảng cách đến nó. Thật vậy, nếu người quan sát không nhìn thấy thế giới bên ngoài xung quanh, chẳng hạn như bề mặt của chiếc bàn nơi đặt chiếc đĩa, thì anh ta sẽ không nhận thấy sự dịch chuyển của mình so với cái bàn hoặc chuyển động quay của anh ta. Anh ta chỉ nhìn thấy các điểm của tấm nóng đang di chuyển ra xa anh ta, các góc giữa chúng không đổi. Và đây là bức tranh về sự giãn nở đẳng hướng của Vũ trụ. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về hình dạng giãn nở nhiệt “bên ngoài”, tức là chúng ta sẽ tìm hiểu sự giãn nở nhiệt của mặt phẳng được nhìn thấy như thế nào bởi một người quan sát ở bên ngoài tấm. Thuộc tính 5 (công nghệ). Người quan sát bên ngoài có thể khôi phục vị trí mới của bất kỳ điểm nào trên vật thể được làm nóng nếu anh ta được cung cấp vị trí mới của ít nhất một đoạn. Tổng quát hơn, bằng cách sử dụng một đoạn và hình ảnh của nó, bạn có thể tái tạo lại toàn bộ bức tranh về sự giãn nở nhiệt. Thật vậy, chúng ta hãy cho một đoạn AB và ảnh A c B c của nó trên mặt bàn (Hình 4a). Hãy dựng hình ảnh của một điểm C tùy ý. Để thực hiện việc này, hãy kết nối nó với

SỰ MỞ RỘNG

Hình 4

đầu của đoạn ban đầu để tạo thành một hình duy nhất - một hình tam giác. Chúng ta biết hệ số giãn nở tuyến tính (đây là tỷ lệ chiều dài hình ảnh của đoạn đó với chiều dài của chính đoạn đó), vì vậy chúng ta có thể dựng một tam giác “nóng”. Và vì chúng ta biết vị trí của một trong các cạnh của nó (đây là hình ảnh của đoạn ban đầu), chúng ta có thể đặt hình tam giác “nóng” một cách chính xác trên mặt bàn. Trong trường hợp này, vị trí mới của điểm C được xác định hoàn toàn.

Bài tập 2. Hình 4b cho thấy đoạn AB và ảnh A c B c của nó được đặt như thế nào so với mặt bàn. Xây dựng hình ảnh của đoạn CD.

Thuộc tính 6 (thông số giãn nở nhiệt đạt được). Sự giãn nở nhiệt hoàn thành có hai tham số phổ quát (chúng giống nhau đối với tất cả các hình hình học): hệ số giãn nở tuyến tính k và góc quay M. Các tham số này được xác định duy nhất nếu hình ảnh của nó được đưa ra cho một phân đoạn nhất định. Thật vậy, nếu hình ảnh giãn nở nhiệt được tái tạo hoàn toàn từ hình ảnh đã biết của một đoạn đơn lẻ, thì các tham số xác định hình ảnh của đoạn đó cũng là các tham số xác định hoàn toàn chuyển động đã hoàn thành. Hình ảnh của một đoạn được xác định bởi ba tham số: vectơ dịch chuyển của một trong các đầu của đoạn ban đầu, kéo dài đoạn đó k lần và xoay nó qua một góc M nhất định. Tham số đầu tiên, vectơ dịch chuyển của một trong các đầu, không phổ quát - nó khác nhau đối với mỗi điểm (xem Hình 4), nhưng hai tham số cuối cùng giống nhau đối với tất cả các đoạn, vì vậy chúng ta có thể lấy chúng làm tham số của chuyển động đã hoàn thành.

Bài tập 3. Việc hệ số khai triển tuyến tính là như nhau đối với tất cả các đoạn là

13

NHIỆT

Hình 6

chuyển động tuyến tính. Ví dụ: nếu bạn đặt các tấm hình vuông và hình chữ nhật trên một bàn ngang gần nhau (Hình 6, a) và làm nóng chúng, thì sau khi các tấm nguội đến nhiệt độ trước đó, chúng sẽ bị dịch chuyển so với vị trí ban đầu. Xác định độ lớn dịch chuyển của điểm A và kích thước của khoảng cách hình thành giữa các tấm trong thí nghiệm được mô tả. Để tính toán, giả sử rằng cạnh của hình vuông tăng thêm ‘a 1 mm khi được nung nóng. Bài toán 3. Ba đĩa được xếp thành một hàng sao cho khoảng cách giữa các đĩa liền kề bằng d 0,5 mm (Hình 6, b). Khi đun nóng, bán kính của mỗi đĩa tăng thêm ’ a 1 mm. Điểm cực trị A của đĩa ngoài cùng bên phải dịch chuyển bao nhiêu khi bị nung nóng? Bạn có hiểu “thủ thuật” của bài toán này là gì không? Trong quá trình chuyển động nhiệt, bản thân các vật thể và cùng với đó là các điểm cố định của chúng có thể thay đổi trong quá trình hoạt động. Vì vậy, trong bài toán 2, hình vuông và hình chữ nhật, khi được nung nóng, hoạt động giống như một hình chữ nhật lớn và điểm cố định trong quá trình nung nóng là tâm của hình chữ nhật lớn này - điểm O (Hình 7, a). Khi làm mát, hình vuông và hình chữ nhật co lại thành các hình riêng biệt và tâm riêng lẻ của chúng là các điểm cố định (Hình 7,b). Và ngược lại, ở bài toán 3, các đĩa lần đầu tiên được làm nóng “riêng lẻ”, và sau đó - như một khối lớn.

Hình 7

SỰ MỞ RỘNG

Nhưng chúng ta quay lại câu hỏi chính của mình. Trong ba vấn đề được xem xét, việc xem xét tính đối xứng ngay lập tức chỉ cho chúng ta những điểm cố định. Đây là những tâm hình học của các vật thể có hình dạng đều đặn. Điều kiện nào xác định điểm cố định trong trường hợp tổng quát?

Điều kiện chung xác định điểm cố định

Có vẻ như mọi thứ rất đơn giản - trong trường hợp chung, từ “trung tâm hình học của một hệ vật thể” nên được thay thế bằng từ “tâm khối của một hệ vật thể”. Suy cho cùng, sự giãn nở nhiệt của các vật thể là kết quả của sự tương tác giữa các nguyên tử của nó. Và từ cơ học, người ta biết rằng các tương tác bên trong giữa các bộ phận của cơ thể không thể dẫn đến sự chuyển động của khối tâm của nó. Như vậy, chúng ta đã xây dựng điều kiện tìm điểm cố định cho các vật thể tuyệt đối tự do mà khi đun nóng sẽ không tương tác với các vật thể xung quanh. Chúng ta có thể quan sát sự giãn nở của những vật thể như vậy trên trạm vũ trụ liên hành tinh. Nhưng tôi muốn thu được điều kiện tương tự cho các trường hợp thực tế hơn, chẳng hạn, đối với các trường hợp vật nóng nằm trên một bề mặt nhất định, như trường hợp trong các bài toán đang xét. Một vật thể như vậy không còn có thể được gọi là một vật thể tuyệt đối tự do - khi các bộ phận của nó dịch chuyển, lực ma sát tác dụng lên các bộ phận này. Nhưng nó có một đặc tính khiến nó rất giống một vật hoàn toàn tự do - nó vẫn có thể thực hiện sự giãn nở nhiệt tự do (biến dạng tuân theo nguyên lý cơ bản) nếu nó chọn một điểm cố định thích hợp. Chúng tôi sẽ gọi những cơ thể như vậy là $квазисвободными^{1}$.

1 Quasi (từ tiếng Latin quasi) - gần như, được cho là, như thể. Gần như thuật ngữ là những khái niệm hoạt động của các nhà vật lý chuyên nghiệp (gần như trung hòa, gần như cân bằng, quasiparticles, v.v.). Những khái niệm này có một điểm đặc biệt - “chúng không phù hợp lắm với những bộ óc được nuôi dưỡng bằng logic toán học” (M. Planck). Vì vậy, bạn cần phải nghiên cứu đặc biệt cách làm việc với những khái niệm như vậy.

15

NHIỆT

Hình 9

tal mặt phẳng sao cho đường phân chia của các mặt phẳng chạy chính xác ở giữa tấm (Hình 9, a). Nửa mặt phẳng bên trái nhẵn $( P_{1} 0 ),$ nửa mặt phẳng bên phải thô $( P_{2}$! 0). Tấm được nung nóng sao cho kích thước bên của nó (khoảng cách giữa các điểm A và B) tăng ’ a = 1 mm. Tìm độ dịch chuyển của các điểm A và B, với điều kiện độ tăng kích thước của tấm nhỏ hơn nhiều so với kích thước của nó. Độ dịch chuyển của những điểm này sẽ là bao nhiêu nếu tấm được mở rộng một cách đáng kinh ngạc, ví dụ, nếu kích thước của nó tăng lên 16 lần? Bài toán 7. Ở góc bên phải được tạo bởi $( P_{1}$ 0) mịn và $( P_{2}$ thô! 0), đặt một tấm vuông (Hình 9, b). Khi đun nóng, kích thước của tấm tăng thêm ’ a = 1 mm. Các đỉnh của hình vuông – điểm A và B – dịch chuyển bao nhiêu trong trường hợp này? Kích thước được hiển thị trong hình ảnh. Bài toán giải theo giả định rằng độ tăng kích thước của tấm nhỏ hơn nhiều so với kích thước của nó.

Điểm dừng

Chuyển động của các vật thể trong quá trình giãn nở nhiệt trở nên đa dạng hơn nếu chúng gặp phải các điểm dừng trên đường đi của chúng. Chúng tôi sẽ gọi các điểm dừng là những rào cản theo một cách nào đó hạn chế chuyển động của cơ thể, nhưng lại để nó có cơ hội thực hiện sự giãn nở nhiệt tự do. Bài toán 8. Một tấm hình vuông nằm trên mặt bàn phẳng (Hình 10, a) được giới hạn ở các bên bởi các điểm dừng $Г_{1}$ và $Г_{2}$ (đinh). Sau đó, tấm được làm nóng. Khi tấm nguội xuống nhiệt độ trước đó, nó dường như bị dịch chuyển so với vị trí ban đầu. Xác định độ lớn của sự dịch chuyển kết quả của cực trị

SỰ MỞ RỘNG

Hình 10

điểm của tấm - điểm A. Để tính toán, giả sử rằng cạnh của hình vuông tăng khi bị nung nóng bởi ’ a = 1 mm và không có ma sát tại các điểm tiếp xúc của tấm và đinh tán. Bài toán 9. Giải bài toán tương tự cho một đĩa có chuyển động bị giới hạn bởi hai điểm dừng tạo thành một góc 60q (Hình 10, b). Giả sử bán kính của đĩa tăng lên 1 mm khi bị nung nóng. Điều xảy ra là sự hiện diện của các điểm dừng không chỉ dẫn đến sự dịch chuyển mà còn dẫn đến chuyển động quay của vật thể! Bài toán 10. Tấm hình vuông được cố định trên trục $Г_{1}$, đi qua gần giữa mặt dưới và một điểm dừng $Г_{2}$ được dẫn vào gần giữa mặt bên (Hình 11, a). Tấm sẽ quay một góc bao nhiêu khi bị nung nóng, nếu biết kích thước của nó tăng 0,2% khi bị nung nóng? Không có ma sát giữa tấm, trục và điểm dừng. Lời giải. Điểm dừng $Г_{2}$ khiến bạn không thể mở rộng tấm một cách đơn giản - mặt bên “chạy qua” nó (Hình 11, b). Tuy nhiên, nếu tấm quay nhẹ (Hình 11, c) thì có thể giãn nở.

Hình 11

17

NHIỆT

mỗi điểm dừng có cùng một lực $F_{1}$ 61H, “hình chữ nhật” (Hình 13, b) ấn vào điểm dừng AB với một lực $F_{2}$ 51H và lên điểm dừng BC với một lực $F_{3}$ 31H. “Hình vuông nhỏ” ép lên mỗi điểm dừng bằng lực nào (Hình 13, c)? “Hình vuông đôi” ép lên mỗi điểm dừng bằng bao nhiêu (Hình 13, d)? Không có ma sát giữa các mặt của tấm và các điểm dừng.

Sự giãn nở nhiệt không đẳng hướng

Nếu bạn đã giải được hai bài toán trước đó, thì chắc chắn bạn đã học được cách cắt các hình dạng hình học trong đầu và thêm các hình mới từ chúng. Kỹ năng này sẽ rất hữu ích cho bạn trong lời giải bài toán cuối cùng của chúng tôi. Bài toán 14. Một tấm hình vuông làm bằng vật liệu dị hướng, khi được nung nóng đến một nhiệt độ nhất định, sẽ giãn nở theo phương thẳng đứng 15,4% và theo phương ngang 2,2%. Trong hình 14a, hướng là

Hình 14

Sự giãn nở tốt nhất của vật liệu được thể hiện bằng các đường thẳng. Một tấm hình chữ nhật được cắt ra khỏi tấm này sao cho hướng giãn nở tốt nhất tạo thành một góc 45° với đáy của tấm và nó được nung nóng đến cùng nhiệt độ (Hình 14, b). Chiều dài các cạnh của một tấm hình chữ nhật sẽ tăng lên bao nhiêu phần trăm khi đun nóng? diện tích tấm bìa sẽ tăng lên bao nhiêu phần trăm?

SỰ MỞ RỘNG

Gợi ý. Vật liệu dị hướng là những vật liệu có tính chất vật lý khác nhau theo các hướng khác nhau.

Phần kết luận

Chúng tôi hoàn toàn thừa nhận rằng sau khi đọc bài viết, một độc giả chu đáo có thể có những câu hỏi chính đáng. –Bạn biết đấy, tôi không nghi ngờ gì về tính đúng đắn của điều đáp số trên. Nhưng logic bạn sử dụng cho lời giải bài toán có ​​vẻ rất bất thường. Trong các vấn đề của bạn, các tấm vô tri tự chọn các điểm cố định, một điểm dừng cố định làm cho một hình vuông đang giãn nở quay, vận tốc tạo ra lực và các lực này có hướng chống lại vận tốc. Tất cả những điều này rất khác với Thế giới bình thường của chúng ta. Đây không phải là Thế giới của Newton, trong đó các lực tạo ra những thay đổi về tốc độ. Đây không phải là Thế giới của Aristotle, trong đó các lực tạo ra vận tốc hướng dọc theo các lực. Đây là một thế giới hoàn toàn khác. – Bạn nói đúng, có nhiều điều trong lý luận của chúng tôi không bình thường. Nhưng không có sai lầm nào trong đó. Hãy tưởng tượng một nhà hát múa rối cơ khí được thực hiện bởi một thợ cơ khí lành nghề. Những con búp bê trong nhà hát này di chuyển, nhảy múa, gặp gỡ và tách ra. Chuyển động của những con búp bê được điều khiển bởi hàng chục lò xo và thanh được chủ nhân giấu đằng sau khung cảnh. Và tất nhiên, nếu chúng ta xem xét kỹ hoạt động của cơ chế, chúng ta sẽ tìm thấy ở đây các định luật Newton, định luật Hooke và cách suy luận thông thường của chúng ta. Nhưng con người chúng ta còn có một khả năng khác. Chúng ta có thể quên đi các cơ chế và chỉ nhìn thấy trước mắt mình những anh hùng của một vở kịch hấp dẫn, những quý cô xinh đẹp và những quý ông hào hiệp sống theo luật lệ của riêng mình. Theo những định luật mà chúng ta sẽ không tìm thấy trong cơ học, nhưng chúng ta rất thường tìm thấy trong cuộc sống.

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

bài toán này khá đơn giản và chúng tôi để lại lời giải cho người đọc. Câu tiếp theo bài toán có ​​phần khó hơn. Bài toán 2 (S. Tokarev). Với n lớn nhất nào, các phép cân $за^{k}$ có thể đảm bảo tìm ra những chiếc cân bị lỗi nhẹ hơn trong số n chiếc cân? Đáp số: $при^{n} 3^{k} 2$. Lời giải. Giả sử rằng trong lần cân đầu tiên, x các cân khác được đặt trên mỗi đĩa cân A và y còn lại nhiều cân hơn. Khi đó, nếu một trong hai bát nặng cân thì cân ở bát kia hoặc cân A có thể bị lỗi, tức là chỉ còn lại x + 1 quả cân đáng ngờ. Tương tự, nếu đạt được trạng thái cân bằng trong lần cân đầu tiên thì vẫn còn y 1 khối lượng nghi ngờ. Vì trong cả hai trường hợp, một chiếc cân tốt đã biết đều xuất hiện nên tất cả các lần cân tiếp theo có thể được thực hiện trên chúng, như trong tìm kiếm tiền giả bài toán tiêu chuẩn. Theo đó, điều kiện cần và đủ để có khả năng tìm ra những chiếc cân bị lỗi cho các lần cân k 1 còn lại sẽ là việc thỏa mãn các bất đẳng thức $x 1 d 3^{k} 1, y 1 d 3^{k} 1$, cho kết quả đáp số trên. Điều thú vị là nếu bạn cho phép các phép cân phức tạp, trong đó một số cân khác được đặt trên các bát của cùng một cân, trên các bát của cân đó cũng được đặt, v.v. (trong một lần cân phức tạp, kết quả thu được từ tất cả các cân liên quan, ngoại trừ những cân có bát không có gì trên đó), thì hai lần cân là đủ để tìm ra một cân bị lỗi trong số bất kỳ cân nào lớn hơn hai. Mô tả thuật toán cho một n tùy ý khá phức tạp, vì vậy chúng tôi sẽ giới hạn ở một ví dụ cho n 15. Chúng ta đặt các thang đo $B_{1}$ và $B_{2}$ trên các thang đo A, sau đó trên các thang đo $B_{1}$ chúng ta đặt các thang đo $C_{1}$ và $C_{2}$, và trên các thang đo $B_{2}$ chúng ta đặt các thang đo $C_{3}$ và $C_{4}$, cuối cùng, trên cân $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ chúng ta đặt các thang đo $D_{1}$ và $D_{2}, D_{3}$ và $D_{4}, D_{5}$ và $D_{6}, D_{7}$ và $D_{8}$ tương ứng. Rõ ràng, nếu cân A hiển thị cân bằng thì chúng sẽ bị lỗi. Ngược lại, tất cả các cân ở cái bát nặng hơn, giả sử nó là cái bát có cân $B_{2}$, đều đúng thì

“QUANTA”

nhìn vào số đọc trên thang đo $B_{1}$. Tương tự như vậy, chúng tôi thấy rằng tất cả các cân trên chảo nặng hơn (và ở trạng thái cân bằng trên cả hai) của các cân này rõ ràng là chính xác và chúng tôi xem số chỉ của các cân trên chảo kia, hãy để nó là thang đo $C_{1}$. Một lần nữa, chúng tôi thấy rằng chỉ những quả cân nhẹ hơn $D_{1}, D_{2}$ mới có thể bị lỗi, tức là sau lần cân đầu tiên, chỉ còn lại không quá bốn cân đáng ngờ. Không khó để xác định bằng cách cân sau đây, cái nào trong số chúng bị lỗi.

Lời giải bài toán M2628. Điểm khác biệt của bài toán M2628 là không biết trọng lượng của cân bị hỏng khác với trọng lượng của cân đúng theo hướng nào. Như chúng ta sẽ thấy, điều này làm cho bài toán trở nên khó khăn hơn đáng kể. Đáp số: cho n 13. Giả sử có thể tìm thấy những chiếc cân bị hỏng trong ba lần cân cho $каком-нибудь^{n} t 14$. Rõ ràng là trong quá trình cân, không có ý nghĩa gì khi so sánh các số cân khác nhau, nếu không chiếc bát có số cân lớn sẽ nặng hơn và điều này sẽ không cung cấp bất kỳ thông tin nào. Sau mỗi lần cân, tất cả các cân sẽ được chia thành hai nhóm: một nhóm rõ ràng là có thật và nhóm thứ hai sẽ chứa những nhóm đáng ngờ, hiện chưa rõ chúng có phải là thật hay không. Chúng ta sẽ chứng minh rằng không có ích gì khi thực hiện lần cân thứ hai và thứ ba trên những chiếc cân đáng ngờ. Giả sử chúng ta đã thực hiện kiểu cân này trên cân X. Hãy đổi chúng với một số cân thật (không quan trọng chúng ở đâu, trên cân hay không). Nếu X là số thực thì kết quả cân sẽ không thay đổi. Nếu X bị hỏng thì chúng có thể hiển thị kết quả tương tự như sau khi thay thế. Điều này có nghĩa là trong mọi trường hợp, bộ cân đáng ngờ sẽ giữ nguyên (bao gồm cả thông tin sẽ không thay đổi cho dù mỗi chiếc cân có thể nhẹ hơn hay nặng hơn) hoặc thang đo X sẽ bị xóa khỏi nó. Vì vậy, chúng ta có thể giả định rằng lần cân thứ hai và thứ ba được thực hiện trên cân thật. Nếu trong lần cân đầu tiên chúng ta đặt không quá bốn chiếc cân trên mỗi chảo thì hãy xem xét trường hợp khi có

26

KVAN T 2021/№2

sự cân bằng. Trong trường hợp này, những chiếc cân trên bát là thật, và những chiếc cân đáng ngờ là những chiếc cân được tiến hành cân và ít nhất n – 9 người không tham gia vào việc cân đó, tức là tổng cộng có ít nhất sáu quả cân. Điều này có nghĩa là có ít nhất 12 khả năng về loại cân này là gì và trọng lượng của nó khác với cân thật ở hướng nào. Tất cả các cân đáng ngờ đều phải tham gia lần cân thứ hai và thứ ba, có lẽ ngoại trừ một chiếc, nếu không chúng ta sẽ không thể phân biệt được giữa hai chiếc cân không tham gia cân và những chiếc cân bị hỏng có thể nằm trong số đó. Điều này có nghĩa là sau lần cân thứ hai và thứ ba, nhiều nhất chúng ta sẽ không thể biết được chúng nhẹ hơn hay nặng hơn cân thật từ một số cân, tức là phải phân biệt được ít nhất 11 tình huống. Tuy nhiên, mỗi lần cân có thể có tối đa ba kết quả, vì vậy chúng ta sẽ không thể phân biệt được hơn chín tình huống khác nhau. Nếu trong lần cân đầu tiên, chúng ta so sánh ít nhất năm chiếc cân ở mỗi bên, thì có thể kết quả là một trong những chiếc cân nặng hơn. Khi đó số cân nghi ngờ sau lần cân đầu tiên nhiều hơn chín và sẽ không thể phân biệt được sau hai lần cân. Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cách tìm những chiếc cân bị hư hỏng cho n 13 trong ba lần cân. Như ước tính đã rõ, lần cân đầu tiên là đặt bốn chiếc cân lên chảo của một số chiếc cân. Nếu các cân ở trạng thái cân bằng thì các cân thật sẽ được so sánh trên chúng, còn các cân bị nghi ngờ là những cân được tiến hành cân và bốn cân không tham gia vào việc cân đó. Lần cân thứ hai, chúng ta lấy cân thật, đặt ba cái cân thật vào một cái bát và ba cái cân nghi ngờ vào cái kia. Nếu những cái đáng ngờ nhẹ hơn hoặc nặng hơn, thì trong số đó có những chiếc vảy bị hư hỏng và chúng ta biết trọng lượng của chúng khác với cân thật ở hướng nào. Sau đó, bằng cách so sánh hai cái bất kỳ trên cân thật với lần cân thứ ba, chúng ta sẽ xác định được cái bị hư hỏng. Nếu ở lần cân thứ 2 cân có thăng bằng thì cân bị hỏng nằm trong số 2 cân nghi vấn còn lại. Sau đó, chúng tôi so sánh một trong số chúng trên thang đo thực với

những cái thật và tìm ra cái nào bị hư hỏng. Nếu trong lần cân đầu tiên, một trong hai chiếc bát nặng hơn, thì chiếc cân đáng ngờ nằm ​​trên chiếc bát đó và nặng hơn chiếc cân thật (chúng ta sẽ gọi tất cả những chiếc cân trên chiếc bát này là nặng), hoặc trên chiếc bát kia và chúng nhẹ hơn (chúng ta sẽ gọi chúng là nhẹ) hoặc những chiếc cân được tiến hành cân. Lần cân thứ hai, chúng ta lấy cân thật, đặt hai cái cân nặng và hai cái nhẹ vào một cái bát, một cái nặng, một cái nhẹ và hai cái thật vào cái kia. Nếu một trong những chiếc bát quá nặng, chẳng hạn như chiếc bát đầu tiên, thì hai chiếc cân nặng trên chiếc bát đó và những chiếc cân nhẹ trên chiếc bát kia vẫn đáng nghi ngờ. Sau đó, chúng ta sẽ so sánh hai quả cân nặng đáng ngờ trên cân thật và chúng ta sẽ tìm thấy một chiếc cân bị hỏng trong số chúng hoặc đó sẽ là một chiếc cân nhẹ đáng ngờ. Trường hợp được xử lý tương tự nếu trong lần cân thứ hai, cốc thứ hai nặng hơn. Nếu cân cân bằng thì cân đang cân là cân thật, còn ba cân vẫn đáng ngờ. Đến lần cân thứ ba, chúng ta sẽ so sánh trên cân thật những chiếc cân nặng và nhẹ đáng ngờ còn lại trên một chiếc bát này với hai chiếc cân thật ở chiếc kia. Trong trường hợp bất đẳng thức, tùy theo kết quả mà xác định được quả nào bị hỏng, còn trong trường hợp bằng nhau thì quả nào được thực hiện ở lần cân đầu tiên bị hỏng. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, không giống như hầu hết các trọng số bài toán, trong bài toán này, số lượng trọng số không chỉ bị giới hạn từ bên trên mà còn từ bên dưới. Vì vậy, với n 3, không có số lần cân nào đảm bảo tìm ra những chiếc cân bị lỗi! Thật vậy, chẳng hạn, giả sử cân A và B đúng, cân C bị lỗi và nặng hơn, và khi cân chúng thì hóa ra là A! B. Cân trên cân khác (dù sao cũng chẳng còn việc gì để làm nữa), ta cũng được điểm C! A và C! B. Chúng ta có thể có hệ bất đẳng thức tương tự nếu thang B bị lỗi và nhẹ hơn. Bây giờ điều duy nhất còn lại cho chúng ta là lặp lại việc cân nhắc khi có nghi ngờ.