Có số âm không?

VÀ LỊCH SỬ KHOA HỌC

Có số âm không?

D.ZLATOPOLSKY

Số âm là gì

Thật kỳ lạ, đáp số đối với câu hỏi được đặt ra ở tiêu đề của bài viết: “Có, họ làm vậy!” Việc sử dụng số âm lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà toán học người Anh John Colson vào năm 1726 trong bài viết “Tóm tắt về số học âm-dương” [1]. Để phân biệt số âm với số “bình thường”, ông đề xuất ký hiệu chúng bằng dấu gạch ngang phía trên số. Vì vậy, ở đầu bài viết, nhà khoa học đưa ra con số 3709286573961472 và tiếp tục chỉ ra rằng nó tương ứng với số “bình thường” 2308726432039468, mặc dù ví dụ đã cho không hoàn toàn tương ứng với mục tiêu mà chính Colson viết, ông đặt ra bằng cách đưa ra các số âm. Và mục tiêu này là đơn giản hóa các phép tính số học trên số lớn bằng cách loại bỏ việc sử dụng các số “lớn” 6, 7, 8 và 9 và thay thế chúng bằng các giá trị​​bằng các số âm 14, 13, 12 và 11. Ở đây 14 10 4, giống như 14 10 4 (tương tự với 13, 12, 11). Sau đây, Colson đưa ra một ví dụ về phép biến đổi như vậy - thay vì số 181937462, hãy sử dụng số $22 2 143542.^{1}$ trong phép tính

Dễ dàng gấp lại hơn

Cho thấy những ưu điểm (theo ý kiến ​​của ông) trong hệ thống của mình, Colson đưa ra ví dụ sau về việc cộng một số số:

1 Tất nhiên, Colson mô tả trong bài viết quy tắc chuyển đổi số có chữ số 6, 7, 8 và 9 thành số có chữ số âm và ngược lại.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210402

Có thể thấy rằng nếu các thuật ngữ được trình bày dưới dạng ký hiệu thập phân thông thường thì sẽ cần phải cộng các số ở chữ số cuối cùng.

3 8

7 1

8 6

5 trong khi ở phiên bản trên bạn cần thêm số

3 2

3 1

2 4

5 tất nhiên là đơn giản hơn (và cũng làm giảm khả năng xảy ra lỗi).

14

KVANT 2021/№4

đặt nó là 1. Khi đó đẳng thức cuối cùng có thể được viết là 2 $3^{m} 3^{m} 1 1$ $3^{m}$. Điều này có nghĩa là bất kỳ số nguyên K nào cũng có thể được biểu diễn trong hệ thống số ba bằng cách sử dụng các số 0, 1 và 1 (thay thế tất cả các chữ số 2 trong ký hiệu mở rộng của nó bằng hiệu tương ứng):

K

$b_{m} ˜^{3} m b_{m} 1 ˜^{3} m^{1}$ … $b_{1} ˜^{3} b_{0}$, trong đó mỗi hệ số $b_{m}, b_{m} 1$, …

$..., b_{0}$ có thể bằng 0, 1 hoặc 1. Cách viết số này được gọi là “hệ cân bằng bậc ba $счисления».^{2}$ Vì vậy, nếu chúng ta biết khối lượng của tải K được viết trong hệ này như thế nào, thì để cân nó trên cân, chúng ta cần đặt nó lên đĩa cân đầu tiên và đặt quả nặng 1 g lên cốc thứ hai, nếu $b_{0} 1$, và trên cốc đầu tiên, nếu $b_{0} 1$ (nếu $b_{0} 0$ thì quả cân 1 g hoàn toàn không được sử dụng); hơn nữa, quả cân 3 g được đặt trên cốc thứ hai nếu $b_{1} 1$, và quả cân đầu tiên nếu $b_{1} 1$, v.v. Dễ hiểu là bằng cách sắp xếp các trọng số theo nguyên tắc này, chúng ta sẽ cân bằng tải. Trước khi đưa ra ví dụ, chúng tôi sẽ trình bày cách chuyển ký hiệu bậc ba thông thường thành ký hiệu trong cân bằng. Để thực hiện việc này, bạn cần thực hiện các bước sau cho mỗi hai: 1) thay thế bằng số 1; 2) thêm 1 vào chữ số liền kề bên trái (nếu kết quả ở chữ số này là 2 thì các hành động đã chỉ định sẽ được lặp lại cho nó).

5

4

111111 ( 3 3 3 3 3 3

3

2

1

0

130 ).

Vì vậy, để cân bằng tải trọng 130 gram đặt trên một trong các

2 Hệ thống như vậy lần đầu tiên được mô tả bởi kỹ sư người Pháp Leon Lalanne vào năm 1840. Ông đưa ra một số số tự nhiên đầu tiên trong hệ thống này:

1, 11, 10, 11, 111, 110, 111, 101, 100, 101, 111, …

Cốc cân, bạn cần đặt các quả cân 81, 27 và 9 gam trên cùng một cốc và các quả nặng 243, 3 và 1 gam trên cốc đối diện. Trong lời giải bài toán chúng tôi đã được trợ giúp bởi hệ thống số ba ngôi cân bằng.$^{3}$ Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng ví dụ “thực tế nhất” về việc sử dụng số âm là máy tính điện tử $«Сетунь»^{4}$ và “Setun 70”, được phát triển lần lượt vào năm 1960 và 1970 tại Đại học Quốc gia Moscow. MV Lomonosov dưới sự lãnh đạo của Nikolai Petrovich Brusentsov (1925–2014). Thiết kế và hoạt động của chúng dựa trên hệ thống số ba cân bằng với các số 1, 0 và 1.[5]

Tìm hiểu thêm về hệ thống số ba ngôi cân bằng Donald Knuth, tác giả của loạt sách nổi tiếng thế giới về các thuật toán cơ bản và phương pháp toán học tính toán, trong cuốn sách [6, trang 230–231] của ông đưa ra một phương pháp khác $перевода.^{5}$ như sau. 1. Một số đơn vị duy nhất được thêm vào một số ba. Ví dụ: đối với $130_{10} 11211_{3}$:

2. Từ số kết quả, số đơn vị được sử dụng trong phép cộng được trừ đi (theo bit) (mỗi chữ số của số trừ được giảm đi 1):

3 Lần đầu tiên, mối liên hệ bài toán về một tập hợp trọng lượng và một hệ ba ngôi cân bằng đã được Luke chỉ ra trong cuốn sách “Giải trí toán học” [4]. Đúng vậy, nhà khoa học không mô tả cách giải bài toán cho một giá trị trọng lượng cụ thể $груза.^{4}$ Setun là tên của con sông chảy gần $МГУ.^{5}$ Nhà khoa học gọi hệ ba ngôi cân bằng “có lẽ là hệ thống số thanh lịch nhất trong tất cả các hệ thống số”.

15

TỪ

CÂU CHUYỆN

Kết quả trùng khớp với kết quả thu được trong bài viết của chúng tôi.

Bài tập

1. Viết các số ba trong hệ cân bằng: a) 210; b) 1202. 2. Viết các số thập phân trong hệ tam phân cân bằng: a) 17; b) 53.

Tính chất của hệ số ba cân bằng Hệ thống số ba cân bằng có nhiều đặc tính rất hấp dẫn. Đầu tiên, nó có thể biểu diễn cả số dương và số âm một cách nhất quán (như đã lưu ý ở trên, khi sử dụng hệ nhị phân, số âm trong máy tính được biểu diễn bằng cái gọi là “mã máy tính”). Trong đó, dấu của số được xác định bởi ký tự đầu tiên trong ký hiệu của số trong hệ này: nếu bằng 1 thì số đó dương, còn nếu 1(1) thì số âm. Rất dễ dàng để tiến tới số đối diện bằng cách thay 1 bằng 1 (1) và ngược lại. Trong thực tế:

8 10

$101_{3} ; 8_{10}$

$101_{3}$.

Điều này có nghĩa là bạn có thể so sánh hai số bất kỳ như trong hệ thập phân, so sánh các số từ trái sang phải. Để làm tròn một số ba thực đến số nguyên gần nhất, chỉ cần loại bỏ phần phân số của nó là đủ. Tính chất này cũng khá rõ ràng, vì phần phân số dương lớn nhất có thể có 0,111… biểu thị tổng 1 3 1 9 1 27 …, luôn nhỏ hơn 1 2. Các phép toán số học trong hệ đối xứng bậc ba thực tế không phức tạp hơn hệ nhị phân, và nếu chúng ta cho rằng trong trường hợp số có dấu, số học nhị phân sử dụng mã nhân tạo, thì hóa ra số học bậc ba thậm chí còn đơn giản hơn. Hoạt động thêm bất kỳ số nào bằng 0

KHOA HỌC

kết quả trong cùng một hình. Cộng 1 vào 1 sẽ bằng 0. Và chỉ tổng của hai số 1 hoặc hai số 1 được hình thành bằng cách di chuyển một chữ số cùng dấu với các số hạng sang chữ số tiếp theo và đặt một chữ số có dấu ngược lại vào chữ số hiện tại. Bảng cộng hoàn chỉnh mà chúng ta sẽ sử dụng để cộng các số “cột” thông thường, có dạng

Ghi chú. Mục 11 nghĩa là kết quả là 1 và 1 khác được chuyển sang chữ số tiếp theo, mục 11 nghĩa là kết quả là 1 và 1 khác được chuyển sang chữ số tiếp theo.

Hãy cộng các số 412 và 181 trong hệ tam phân cân bằng:

412 10

120021 3

1110111 3

181 10

20201 3

111101 3

Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó $1111001_{3}$

$593_{10}$.

Bài tập 3. Tìm tổng các số trong hệ tam phân cân bằng:

a) 10111 và 1101; b) 111011 và 11011. Trình bày kết quả dưới dạng hệ thập phân.

Phép trừ cũng đơn giản như vậy: để thực hiện việc này, chỉ cần thay đổi dấu của số bị trừ thành số đối diện và cộng số với số bị trừ. Tất nhiên, phép trừ “trực tiếp” cũng có thể được thực hiện. Để làm điều này, thật thuận tiện khi tạo một bảng trừ. Hãy cùng thảo luận vì khi biên soạn một bảng như vậy sẽ thu được một số kết quả thú vị. Không có gì bất thường đối với các trường hợp sau: 1) 0 0 0; 2) 1 0 1; 3) 1 1 0; 4) 0 1 1 (điều này tuân theo các quy tắc đại số và từ bảng cộng ở trên); 5) 1 – 1 0 (vì lý do tương tự).