Bài toán M2646—M2649; F2653—F2656

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2646, M2647 được đề xuất ở chặng cuối của Thế vận hội XIII mang tên L. Euler. Bài toán F2653–2656 đã được đưa ra tại Olympic Vật lý Moscow 2021.

Bài toán M2646–M2649, F2653–2656 M2646. Koschey the Bessmertny đã mở một tài khoản tại Sperbank. Ban đầu, tài khoản có 0 rúp. Vào ngày đầu tiên, Koschey đếm $k (^{k}$! 0) rúp, và mỗi ngày tiếp theo sẽ cộng thêm một rúp so với ngày hôm trước (vào ngày thứ hai là $добавляет^{k} 1$ rúp, vào ngày thứ ba$^{k}$ 2 rúp, v.v.). Mỗi lần, ngay sau khi Koschey gửi tiền vào tài khoản, tổng số tiền trong tài khoản sẽ bị ngân hàng giảm đi một nửa. Tìm tất cả k như vậy mà số tiền trong tài khoản sẽ luôn được biểu thị dưới dạng số nguyên rúp. S. Berlov

M2647. Với n tự nhiên nào thì có thể đánh dấu nhiều ô của bảng n n n sao cho tất cả các hàng và cột có số ô được đánh dấu là chẵn và tất cả các đường chéo có chiều dài lớn hơn một ô đều là số lẻ? S. Berlov

M2648. Cho tam giác ABC. Đặt $точка^{C} c$ trên cạnh AB sao cho $отрезок^{CC} c$ chia tam giác thành hai tam giác có bán kính các đường tròn nội tiếp bằng nhau (Hình 1). Chúng ta ký hiệu bằng $t_{c}$ độ dài của đoạn CC c. Tương tự như $определим_{a}^{t} и_{b}^{t}$. Biểu thị diện tích tam giác ABC theo $t_{a}, t_{b}, t_{c}$. K. Mosevich Hình 1

M2649. Ban đầu các hạt điểm A, B, C lần lượt nằm ở các điểm 0;0, 1;0, 0;1 của mặt phẳng tọa độ. Mỗi phút, có hai hạt đẩy nhau dọc theo một đường thẳng nối các vị trí hiện tại của chúng, đi qua cùng một khoảng cách (dương) Hình 2 (Hình 2). Liệu hạt A có thể kết thúc tại điểm a) 3;3; b) 2;3? c) B và C có thể đồng thời lần lượt ở các điểm 0;100 và 100;0 không? K. Krivosheev

F2653. Tỷ lệ giữa lượng oxy và lượng nitơ trong một thể tích “không khí sai” nhất định là 1:5. Hình 3 thể hiện đồ thị áp suất hơi bão hòa của nitơ (đường màu đỏ) và oxy (đường màu xanh) so với nhiệt độ. Nhiệt độ của không khí sai ở thời điểm ban đầu $равна_{0}^{t} 120 q C$. Trong quá trình làm mát, tại một thời điểm nào đó, oxy và nitơ bắt đầu ngưng tụ đồng thời. Sử dụng đồ thị, hãy xác định càng chính xác càng tốt áp suất ban đầu của không khí không đều là bao nhiêu nếu quá trình làm mát là đẳng áp. Nếu đẳng tích thì sao? A. Bychkov, P. Kryukov

22

KVAN T 2021/№4

Các chip được chia thành 1200 khối. Sau đó, anh ta cần lấy một khối loại 0 (trên thực tế, anh ta sẽ nhận được ba khối như vậy, tạo nên mã thông báo cần thiết). Trong lượt của Petya, anh ấy chọn một khối loại nhỏ nhất trong mỗi hàng. Một trong ba khối này sẽ di chuyển sang bên phải và trở thành ba khối thuộc loại trước đó nên tổng số khối sẽ giữ nguyên. Petya sẽ có thể làm điều này miễn là mỗi dòng không trống; Tất cả những gì còn lại là chứng tỏ rằng điều này sẽ không xảy ra trước khi giành chiến thắng. Thật vậy, chúng tôi lưu ý rằng sau mỗi lần di chuyển trong bất kỳ ô nào, ngoại trừ ô ngoài cùng bên trái và ô có chip vừa đến, không có nhiều hơn hai khối. Điều này có nghĩa là mỗi dòng chứa không quá 400 99 2 1 600 khối. Vì tổng số khối là 1200 nên có ít nhất một khối còn lại trong mỗi hàng, đây là số khối được yêu cầu. I. Bogdanov, P. Svyatokum, A. Khuzieva, D. Shabanov

F2641. Một đoạn thẳng của đường ống dẫn khí chính áp suất cao (MG) chạy từ đông sang tây qua hai ngôi làng: Aniskino và Boriskino. Các ngôi làng nằm ở phía bắc của đường ống dẫn khí đốt. Khoảng cách ngắn nhất từ ​​những ngôi làng này đến đường ống dẫn khí đốt lần lượt là 14 km và 16 km. Khoảng cách giữa các điểm trên MG tương ứng với các khoảng cách tối thiểu này là 10,39 km. Để khí hóa các làng trên đường ống dẫn khí chính, cần xây dựng một trạm phân phối để cung cấp khí đốt với áp suất giảm cho các làng. Xác định tổng chiều dài ngắn nhất của đường ống dẫn khí áp suất thấp (LPG) cần thiết để cung cấp khí đốt cho các làng. Đồng thời chỉ rõ vị trí trên tuyến chính nơi cần xây dựng trạm phân phối này.

Có thể có nhiều lựa chọn khác nhau. Chúng ta hãy nhìn vào hai trong số họ. 1) Có một đoạn đường ống chung cho hai ngôi làng, đầu tiên đi dọc theo con đường ngắn nhất đến Aniskino, sau đó đi tiếp

Tuyến đường đi theo con đường ngắn nhất từ ​​Aniskino đến Boriskino. Trong trường hợp này, độ dài của GND sẽ là

14 km +

2

16 14 10,39

2km

24,58 km.

2. Chúng ta hãy nhớ lại tùy chọn mà “tự nhiên đang tìm kiếm” trong trường hợp màng xà phòng được căng trên cấu trúc dây và tự động “chọn” một cách sắp xếp trong đó diện tích của màng này sẽ là tối thiểu. Chúng tôi sẽ thảo luận chi tiết về tùy chọn này. Hãy tưởng tượng ba cấu trúc dây dài song song với nhau, hai trong số đó bất động và cấu trúc thứ ba có thể chuyển động về phía trước và không có ma sát theo hướng vuông góc với chính nó (trong trường hợp này, mỗi điểm của dây chuyển động này chuyển động hoàn toàn theo một đường thẳng). Người ta có thể nói, sợi dây thứ ba này trượt không ma sát dọc theo các thanh dẫn hướng (dọc theo đường ống dẫn khí chính). Đương nhiên, cấu trúc sẽ dừng ở vị trí mà ba phần của màng xà phòng sẽ tạo thành các góc nhị diện 120° với nhau. Trong trường hợp này, màng căng trên một dây di động sẽ vuông góc với các thanh dẫn mà dây di động này có thể trượt dọc theo (phần chung tương ứng của GND sẽ vuông góc với đường ống dẫn khí chính). Vâng, bây giờ bạn có thể thực hiện các phép tính. Các đoạn của đường chính, mỗi đoạn đi từ điểm phân nhánh đến thôn của mình, tạo góc 30° với đường chính. Nếu bạn vẽ những đường như vậy qua Aniskino và Boriskino (coi chúng là điểm), thì giao điểm của những đường này sẽ xảy ra ở khoảng cách 12 km tính từ đường ống dẫn khí cao áp. Như vậy, đoạn GND chung của 2 thôn dài 12km. Trong trường hợp này, điểm trên tuyến chính nơi cần lắp đặt trạm phân phối sẽ chia đoạn giữa các điểm có khoảng cách tối thiểu từ Aniskino (A) và Boriskino (B) theo tỷ lệ 1:2 và nằm gần điểm A hơn. Trong trường hợp này, các đoạn của trạm phân phối khí chính từ