Bài toán M2690—M2693; F2697—F2700

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2690 – M2693 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLVIII dành cho học sinh môn toán. Bài toán F2697 – F2700 đã được đưa ra tại Olympic Kỹ thuật dành cho học sinh năm học 2021/22. Tác giả bài toán – S. Muravyov.

Bài toán M2690–M2693, F2697–F2700 M2690. Vasya có n viên kẹo thuộc nhiều loại, trong đó n t 145. Biết rằng nếu từ n viên kẹo cho trước, chúng ta chọn bất kỳ nhóm nào không chứa $менее^{145}$ viên kẹo (đặc biệt, chúng ta có thể chọn một nhóm từ tất cả n viên kẹo đã cho), thì tồn tại một loại kẹo sao cho nhóm được chọn chứa $точности^{10}$ viên kẹo thuộc loại này. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của n. A. Antropov

M2691. N điểm được đánh dấu trên mặt phẳng. Ba hình bất kỳ tạo thành một hình tam giác, các góc tính bằng độ được biểu thị bằng số tự nhiên. N lớn nhất mà điều này có thể xảy ra là bao nhiêu? E. Bakaev

M2692. Nội tiếp đường tròn: lục giác AECDBF $(рис.^{1).}$ Biết điểm D chia cung BC làm đôi và hai tam giác ABC và DEF có một điểm chung

Hình 1

vòng tròn ghi. Đường thẳng BC cắt các đoạn DF và DE tại các điểm X và Y, đường thẳng EF cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm Z và T. Chứng minh các điểm X, Y, T, Z cùng thuộc một đường tròn. D. Brodsky

M2693. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên b sao cho mọi số tự nhiên n! b là tổng các chữ số của n! không phải $меньше^{10} 100$. D. Khramtsov

F2697. Dunno quyết định thực hiện một “vanka-stand-up đầy sáng tạo”. Để làm điều này, anh ta lấy rất nhiều quả bóng có cùng mật độ, bán kính của chúng chênh nhau một nửa. Dunno đã buộc chặt các quả bóng sao cho tất cả tâm của chúng nằm trên cùng một đường thẳng và bán kính của quả sau nhỏ hơn 2 lần bán kính của quả trước. Dunno quyết định rằng do khối lượng lớn của quả bóng thấp nhất nên cấu trúc như vậy khi đặt trên một quả bóng lớn sẽ ổn định. Nhưng “Vanka-Vstanka” không ổn định. Giải thích tại sao. Znayka khuyên Dunno nên gắn một vật thể nhọn lớn vào điểm thấp nhất của quả bóng lớn (Hình 2; vật thể đồ sộ được thể hiện dưới dạng một chấm đậm màu). Khối lượng cần có để trở thành một “vanka-vstanka sáng tạo”