Làm thế nào để cải cách bài toán?

TRƯỜNG KVANT

Làm thế nào để cải cách bài toán?

Y. BLINKOV

Nhạc viện. Hai sinh viên đang nói chuyện: “Ngày mai em phải học bài về sáng tác, nhưng em chưa chuẩn bị sẵn gì cả”. – Và bạn chơi bản nhạc của giáo viên, chỉ đảo ngược, ngược lại. – Vâng, tôi đã thử rồi, hóa ra là Mozart…

BÀI VIẾT SẼ XEM XÉT cách dựng trực tâm của tam giác. Bằng cách sử dụng các sự kiện cổ điển, bạn có thể nhận thấy sự tương đương của hai bài toán ban đầu có vẻ khác nhau, xây dựng lại Olympic bài toán đã được biết đến hoặc cố gắng nghĩ ra kỳ thi của riêng bạn. Đây là những gì chúng ta sẽ nói về. Vì vậy, chúng ta hãy nhớ sự thật sau đây. Sự thật 1. Đường cao của một tam giác là các đường phân giác của tam giác trực giao của nó. Hãy nhớ lại rằng tam giác trực giao là một tam giác có các đỉnh trùng với các đường cao của tam giác đó. Trực tâm của một tam giác nhọn là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác trực giao, và các đỉnh của tam giác là tâm các đường tròn ngoại tiếp của nó.

Bài tập 1. Chứng minh khẳng định 1. Gợi ý (Hình 1). Ví dụ: bạn có thể sử dụng thực tế là các điểm $A,^{A} 1, B и^{B} 1$ (và bốn điểm tương tự) nằm trên cùng một vòng tròn. Từ đó suy ra góc B 1 A 1 C bằng góc BAC (và các góc bằng nhau).

Làm thế nào bạn có thể sử dụng những sự thật này? Đặt một số bài toán bằng chiều cao của hình tam giác. Sau đó, bài toán có thể được định dạng lại bằng cách thay thế tam giác bằng một tam giác trực giao và thay đường cao bằng đường phân giác

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220503

Hình 1

sy. Và ngược lại, nếu trong bài toán, ví dụ, chúng ta xem xét các phân giác của các góc trong hoặc ngoài và các điểm giao nhau của chúng (tâm của các đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp), thì chúng ta có thể thay thế, chẳng hạn như tâm của các đường tròn ngoại tiếp bằng các đỉnh của tam giác, các đường phân giác của nó bằng các đường cao của tam giác thu được và theo đó, tâm nội tiếp của tam giác ban đầu bằng trực tâm của tam giác thu được. Điều gì có thể hấp dẫn về một sự cải cách như vậy? Đầu tiên, nó dẫn đến những cách khác để chứng minh những phát biểu đã biết. Hãy xem xét các ví dụ cổ điển. Ví dụ 1. Các đường thẳng chứa đường cao của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Chứng minh (xem hình 1). Đối với bất kỳ tam giác nào, hãy xem xét tam giác được tạo bởi các đáy của các đường cao của nó (tam giác trực giao). Khi đó các đường cao sẽ là các đường phân giác của tam giác trực giao, như đã biết, cắt nhau tại một điểm. Câu hỏi có thể nảy sinh: còn một hình tam giác tù thì sao? Trên thực tế, không có vấn đề gì: các đường chứa hai đường cao sẽ trở thành phân giác của các góc ngoài của tam giác trực giao, và giao điểm sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác trực giao (đỉnh của tam giác ban đầu). Ví dụ 2 (vòng tròn chín điểm). Trung điểm các cạnh của một tam giác, đáy các đường cao và trung điểm các đoạn nối đỉnh với trực tâm đều nằm trên cùng một đường tròn. Chứng minh (Hình 2). $Пусть_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ là trực tam giác ABC, M là trung điểm AB, K là trung điểm CH, trong đó H là trực tâm. Chỉ cần chứng minh rằng điểm M và K nằm trên đường tròn ngoại tiếp là đủ

35

TRƯỜNG HỌC

TRONG

“QUANTE”

Hình 4

Hình 2

khoảng $треугольника_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$. Lưu ý rằng cả hai điểm này đều cách đều $от_{1}^{A} и_{1}^{B}$ và nằm trên các đường phân giác bên ngoài và theo đó là các đường phân giác trong $угла_{1}^{A} C_{1}^{B} 1$. Cần lưu ý rằng đường trung trực của một cạnh của tam giác và đường phân giác của góc đối diện (trong hoặc ngoài) cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Thứ hai, chúng ta có thể định dạng lại bài toán đã biết và thu được những cái “mới” và ngược lại, giảm lời giải không quen thuộc bài toán thành những cái đã biết. Để làm điều này, bạn sẽ cần nhớ thêm một số sự kiện liên quan đến trực tâm của một tam giác. Sự thật $2. Пусть_{1}^{AA} и_{1}^{BB}$ – đường cao của tam giác nhọn ABC, O – tâm đường tròn ngoại tiếp. Khi đó các đường $CO и_{1}^{A} B_{1}$ vuông góc.

Bài tập 2. Chứng minh khẳng định 2. Gợi ý (Hình 3). Lợi dụng góc B 1 A 1 C bằng góc BAC và góc BCO bù góc BAC bằng 90q.

Câu 3. Khoảng cách từ đỉnh của một tam giác đến trực tâm của nó lớn gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện.

Hình 3

Bài tập 3. Chứng minh khẳng định 3. Gợi ý (Hình 4). Gọi O là tâm đường tròn, H là trực tâm, $C_{0}, B_{0}, K$ và L lần lượt là trung điểm của AB, AC, CH và BH. Chứng minh đẳng thức của tam giác $C_{0} OB_{0}$ và KHL. Các phương pháp chứng minh khác cũng có thể thực hiện được.

Câu 4. Giả sử các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Khi đó bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABH, BCH, ACH và ABC bằng nhau.

Bài tập 4. Chứng minh khẳng định 4. Gợi ý. Sử dụng tính đối xứng qua đường thẳng AC hoặc hệ quả của định lý sin.

Lưu ý rằng tâm của các đường tròn mô tả xung quanh tam giác ABC và ACH đối xứng với đường thẳng AC. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán. Để bắt đầu, bài toán cổ điển. Bài toán 1. Chứng minh rằng các đường vuông góc hạ từ tâm $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tới các cạnh của nó cắt nhau tại một điểm (Hình 5,a). Lưu ý rằng bài toán cho phép nhiều cách giải khác nhau

Hình 5

36

KVAN T 2022/Số 5

bao gồm cả việc sử dụng định lý Carnot. Nhưng cách dễ nhất là giảm nó xuống mức đã biết. Đối với tam giác được chỉ ra ở bài toán, hãy xét tam giác trực giao của tam giác ABC. Khi đó các đỉnh của tam giác ABC là tâm của các đường tròn ngoại tiếp và bài toán sẽ trông như thế này (Hình 5,b): $Пусть_{1}^{AA},_{1}^{BB} и_{1}^{CC}$ là chiều cao của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng các đường vuông góc hạ từ B $на_{1}^{A} C_{1}$, từ A $на_{1}^{B} C_{1}$ và từ C $на_{1}^{A} B_{1}$ cắt nhau tại một điểm. Bằng chứng. Theo thực tế 2, các đường vuông góc đã cho cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bây giờ – một số Olympic bài toán. Bài toán 2 (Olympic hùng biện về hình học ở Moscow, 2012). Trong tam giác ABC, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, các điểm $I_{A}, I_{C}$ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với các cạnh BC và AB. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $II_{A} I_{C}$. Chứng minh $что^{OI} A^{AC}$ (Hình 6, a). Bằng chứng. Đối với tam giác được chỉ ra ở bài toán, hãy xét tam giác trực giao của tam giác ABC. Khi đó bài toán được phát biểu lại như sau: $Высоты_{1}^{AA} и_{1}^{CC}$ của tam giác ABC cắt nhau tại điểm $H,_{1}^{O}$ – tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Hãy chứng minh điều đó, $что_{1}^{O} H A_{1}^{A} C_{1}$. Thực tế này đã quen thuộc với chúng ta và là một bài toán cổ điển (Hình 6, b). Thật vậy, nếu O là tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác thì

Hình 6

nick ABC thì O $и_{1}^{O}$ đối xứng với AC (xem thực tế 4). Xét thực tế 3, chúng ta thu được rằng $что_{1}^{BOO} H$ là hình bình hành, từ đó, sử dụng thực tế 2, chúng ta có thể thu được phát biểu bài toán.

Bài tập 5. Hãy thử giải bài toán này theo công thức ban đầu của nó.

Bây giờ phức tạp hơn một chút bài toán. Bài toán 3 (Olympic hùng biện về hình học ở Moscow, 2016). Điểm $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, AC và AB. Đường vuông góc hạ từ $I_{A}$ xuống AC cắt đường vuông góc hạ từ $I_{B}$ xuống BC tại $X_{C}$. Điểm $X_{A}$ và $X_{B}$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng đường thẳng $I_{A} X_{A}, I_{B} X_{B}$ và $I_{C} X_{C}$ cắt nhau tại một điểm. Bằng chứng. Xét tam giác $I_{A} I_{B} I_{C}$ (Hình 7, a). Lưu ý rằng vuông góc

Hình 7

38

KVAN T 2022/Số 5

Chúng tôi sẽ cố gắng trình bày lại nó (các lập luận tương tự được đưa ra trong bài [2]). Chúng ta lấy $ортотреугольник_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ của tam giác ABC là tam giác được chỉ ra trong bài toán và trực tâm của tam giác ABC là I. Khi đó M là trung điểm của tam giác trực giao $стороны_{1}^{A} C_{1}$. Điểm N là gì? Hãy nhớ rằng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác trực giao là đường tròn gồm chín điểm của tam giác ABC. Trung điểm của cạnh AC nằm trên nó và là giao điểm của đường trung trực $к_{1}^{A} C_{1}$ và đường phân giác ngoài $угла_{1}^{B}$ (xem chứng minh ví dụ 2). Do đó, điểm giữa AC có thể coi là điểm N. Cho rằng $точка_{1}^{B}$ cũng nằm trên AC nên bài toán được biểu diễn lại như sau: $Высоты_{1}^{AA} и_{1}^{CC}$ của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi N và M lần lượt là trung điểm của $AC и_{1}^{A} C_{1}$. Chứng minh rằng $HMA_{1}$ HNC. Nhưng bài toán này quen thuộc với chúng ta, lời giải của nó xuất phát từ sự giống nhau của các tam giác $HMA_{1}$ và HNC, do đó, dễ dàng có được từ sự giống nhau của $треугольников_{1}^{C} HA_{1}$ và AHC.

Bài tập 11. Chứng minh sự tương tự này.

Bây giờ chúng ta hãy thử tự mình nghĩ ra bài toán. Hãy lấy thực tế này làm ví dụ. Sự thật $5. Пусть_{1}^{B} и_{1}^{A}$ – điểm tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC tương ứng. $Тогда_{1}^{BA} AB_{1}$.

Bài tập 12. Chứng minh khẳng định 5. Gợi ý (Hình 9, a). Sử dụng sự bình đẳng của các phân đoạn tiếp tuyến.

Chúng ta hãy thử cải cách? Chúng ta hãy biểu thị tam giác được chỉ định trong điều kiện bằng $через_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ và coi nó là tam giác trực giao của tam giác ABC. Khi đó các điểm tiếp tuyến đã chỉ ra là các đáy của các đường vuông góc vẽ từ đỉnh A và B tới các cạnh tương ứng của tam giác trực giao. Chỉ định các điểm tiếp xúc $через_{2}^{A} и_{2}^{B}, получим_{1}^{A} B_{2}^{B} 1_{2}^{A}$ (Hình 9, b). Bài toán dường như không hoàn toàn được biết đến, nhưng bạn có thể tìm hiểu… Hãy thử định dạng lại nó thêm một chút. Từ bài toán 1 ta biết các đường vuông góc nối các đỉnh của tam giác với các cạnh tương ứng của tam giác trực giao cắt nhau tại một điểm

Hình 9

(tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác). Sử dụng những cân nhắc này, chúng ta thu được “mới” bài toán sau: Bài toán 7. Trong tam giác nhọn ABC, các đường cao AA c và BB c được vẽ. Điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng khoảng cách từ $точки^{A} c$ đến đường thẳng BO bằng khoảng cách từ $точки^{B} c$ đến đường thẳng AO. Trên thực tế, bài toán này không phải là mới: nó đã được đưa ra tại Olympic Toán học Moscow năm 2019. Chà, chúng ta đến hơi muộn. Chúng ta thử lại nhé?

Bài tập cho bản thân lời giải

Phát biểu lại các phát biểu sau: a) Tính chất 4. b) Các đường phân giác của hai góc trong và một góc ngoài của một tam giác cân cắt các đường thẳng chứa các cạnh đối diện tại ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng. c) Đường tròn ngoại tiếp một tam giác chia đôi đoạn nối tâm các đường tròn nội tiếp và các đường tròn ngoại tiếp của tam giác này.