Как переформулировать задачу?

Квант 2022, №5 с. 35, 36, 38 Тег DOI5

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Ю.БЛИНКОВ

Консерватория. Два студента разговаривают: – Завтра сдавать курсовую по композиции, а у меня ничего не готово. – А ты сыграй сочинение своего преподавателя, только наоборот, задом наперед. – Да пробовал уже, Моцарт получается…

В СТАТЬЕ БУДЕТ РАССМОТРЕНА конструкция, связанная с ортоцентром треугольника. Используя классические факты, можно заметить эквивалентность двух вроде бы изначально не похожих друг на друга задач, переформулировать уже известную олимпиадную задачу или попытаться придумать свою. Об этом и пойдет речь. Итак, вспомним следующий факт. Факт 1. Высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Напомним, что ортотреугольник – это треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром вписанной окружности ортотреугольника, а вершины треугольника – центрами его вневписанных окружностей.

Упражнение 1. Докажите факт 1. Указание (рис. 1). Можно использовать, например, то, что точки $A,^{A} 1, B и^{B} 1$ (и аналогичные четверки точек) лежат на одной окружности. Из этого следует, что угол B 1 A 1 C равен углу BAC (и аналогичные равенства углов).

Как же можно использовать эти факты? Пусть в какой-то задаче речь идет о высотах треугольника. Тогда задачу можно переформулировать, заменив треугольник на ортотреугольник, а высоты – на биссектри-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220503

Рис. 1

сы. И наоборот, если в задаче рассматриваются, например, биссектрисы внутренних или внешних углов и точки их пересечения (центры вписанных или вневписанных окружностей), то можно заменить, например, центры вневписанных окружностей на вершины треугольника, его биссектрисы – на высоты полученного треугольника и, соответственно, инцентр исходного – на ортоцентр полученного. Чем может быть привлекательна такая переформулировка? Во-первых, это приводит к другим способам доказательств известных утверждений. Рассмотрим классические примеры. Пример 1. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство (см. рис. 1). Для любого треугольника рассмотрим треугольник, образованный основаниями его высот (ортотреугольник). Тогда высоты будут являться биссектрисами ортотреугольника, которые, как известно, пересекаются в одной точке. Может возникнуть вопрос: а как быть с тупоугольным треугольником? На самом деле, проблем никаких нет: прямые, содержащие две высоты, станут биссектрисами внешних углов ортотреугольника, и пересечением будет являться центр вневписанной окружности ортотреугольника (вершина исходного треугольника). Пример 2 (окружность девяти точек). Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих вершину с ортоцентром, лежат на одной окружности. Доказательство (рис. 2). $Пусть_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ – ортотреугольник треугольника ABC, M – середина AB, K – середина CH, где H – ортоцентр. Достаточно показать, что точки M и K лежат на окружности, описанной

ШКОЛА

«КВАНТЕ»

Рис. 4

Рис. 2

около $треугольника_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ . Заметим, что обе эти точки равноудалены $от_{1}^{A} и_{1}^{B}$ и лежат на внешней и, соответственно, внутренней биссектрисах $угла_{1}^{A} C_{1}^{B} 1$ . Осталось заметить, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса противолежащего угла (внутреннего или внешнего) пересекаются на описанной окружности треугольника. Во-вторых, мы можем переформулировать уже известные задачи и получать «новые» и, наоборот, решения незнакомых задач сводить к уже известным. Для этого потребуется вспомнить еще некоторые факты, связанные с ортоцентром треугольника. Факт $2. Пусть_{1}^{AA} и_{1}^{BB}$ – высоты остроугольного треугольника АВС, O – центр описанной окружности. Тогда прямые $CO и_{1}^{A} B_{1}$ перпендикулярны.

Упражнение 2. Докажите факт 2. Указание (рис. 3). Воспользуйтесь тем, что угол B 1 A 1 C равен углу BAC и тем, что угол BCO дополняет угол BAC до 90q.

Факт 3. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Рис. 3

Упражнение 3. Докажите факт 3. Указание (рис. 4). Пусть O – центр описанной окружности, H – ортоцентр, $C_{0}, B_{0}, K$ и L – середины AB, AC, CH и BH соответственно. Докажите равенство треугольников $C_{0} OB_{0}$ и KHL. Возможны и другие способы доказательства.

Факт 4. Пусть высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Тогда радиусы окружностей, описанных около треугольников ABH, BCH, ACH и ABC, равны.

Упражнение 4. Докажите факт 4. Указание. Используйте симметрию относительно прямой AC или следствие из теоремы синусов.

Отметим, что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ACH, симметричны относительно прямой AC. Теперь рассмотрим несколько задач. Для начала – классическая задача. Задача 1. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ вневписанных окружностей треугольника ABC на его стороны, пересекаются в одной точке (рис. 5,а). Отметим, что задача допускает различные способы реше-

Рис. 5

КВАН T 2022/№5

ния, в том числе, использование теоремы Карно. Но проще всего свести ее к уже известной. В качестве треугольника, указанного в задаче, рассмотрим ортотреугольник треугольника АВС. Тогда вершины треугольника АВС – центры вневписанных окружностей и задача будет выглядеть так (рис. 5,б): $Пусть_{1}^{AA},_{1}^{BB} и_{1}^{CC}$ – высоты остроугольного треугольника АВС. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из В $на_{1}^{A} C_{1}$ , из А $на_{1}^{B} C_{1}$ и из С $на_{1}^{A} B_{1}$ , пересекаются в одной точке. Доказательство. Согласно факту 2, указанные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности треугольника АВС. Теперь – несколько олимпиадных задач. Задача 2 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2012). В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки $I_{A}, I_{C}$ – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и AB соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника $II_{A} I_{C}$ . Докажите, $что^{OI} A^{AC}$ (рис. 6,а). Доказательство. В качестве треугольника, указанного в задаче, рассмотрим ортотреугольник треугольника АВС. Тогда задача переформулируется следующим образом: $Высоты_{1}^{AA} и_{1}^{CC}$ треугольника ABC пересекаются в точке $H,_{1}^{O}$ – центр описанной окружности треугольника AHC. Докажите, $что_{1}^{O} H A_{1}^{A} C_{1}$ . Этот факт нам уже знаком и является классической задачей (рис. 6,б). Действительно, если O – центр окружности, описанной около треуголь-

Рис. 6

ника ABC, то О $и_{1}^{O}$ симметричны относительно AC (см. факт 4). Учитывая факт 3, получим, $что_{1}^{BOO} H$ – параллелограмм, откуда, используя факт 2, и можно получить утверждение задачи.

Упражнение 5. Попробуйте решить эту задачу в первоначальной формулировке.

Теперь чуть более сложная задача. Задача 3 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2016). Точки $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из $I_{A}$ на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из $I_{B}$ на BC, в точке $X_{C}$ . Аналогично определяются точки $X_{A}$ и $X_{B}$ . Докажите, что прямые $I_{A} X_{A}, I_{B} X_{B}$ и $I_{C} X_{C}$ пересекаются в одной точке. Доказательство. Рассмотрим треугольник $I_{A} I_{B} I_{C}$ (рис. 7,а). Заметим, что перпендику-

Рис. 7

КВАН T 2022/№5

Мы же попробуем ее переформулировать (аналогичные рассуждения приводятся в статье [2]). В качестве треугольника, указанного в задаче, возьмем $ортотреугольник_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ треугольника ABC, а в качестве I – ортоцентр треугольника ABC. Тогда M – середина $стороны_{1}^{A} C_{1}$ ортотреугольника. А чем же является точка N? Вспомним, что описанная окружность ортотреугольника является окружностью девяти точек треугольника ABC. Середина стороны AC на ней лежит и является пересечением серединного перпендикуляра $к_{1}^{A} C_{1}$ и биссектрисы внешнего $угла_{1}^{B}$ (см. доказательство примера 2). Следовательно, в качестве точки N можно рассмотреть середину AC. Учитывая, что $точка_{1}^{B}$ также лежит на AC, задача переформулируется следующим образом: $Высоты_{1}^{AA} и_{1}^{CC}$ треугольника ABC пересекаются в точке H. Пусть N и M – середины $AC и_{1}^{A} C_{1}$ соответственно. Докажите, что $HMA_{1}$ HNC. Но эта задача нам знакома, ее решение следует из подобия треугольников $HMA_{1}$ и HNC, которое, в свою очередь, легко получить из подобия $треугольников_{1}^{C} HA_{1}$ и AHC.

Упражнение 11. Докажите это подобие.

Попробуем теперь придумать задачу сами. Возьмем, например, такой факт. Факт $5. Пусть_{1}^{B} и_{1}^{A}$ – точки касания вневписанных окружностей треугольника АВС со сторонами АС и BC соответственно. $Тогда_{1}^{BA} AB_{1}$ .

Упражнение 12. Докажите факт 5. Указание (рис. 9,а). Используйте равенство отрезков касательных.

Попробуем переформулировать? Обозначим треугольник, указанный в условии, $через_{1}^{A} B_{1}^{C} 1$ , и пусть он является ортотреугольником треугольника ABC. Тогда указанные точки касания – основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и B на соответствующие стороны ортотреугольника. Обозначив точки касания $через_{2}^{A} и_{2}^{B}, получим_{1}^{A} B_{2}^{B} 1_{2}^{A}$ (рис. 9,б). Задача не кажется совсем известной, но узнать можно… Попробуем еще чуть-чуть переформулировать. Из задачи 1 нам известно, что перпендикуляры из вершин треугольника к соответствующим сторонам ортотреугольника пересекаются в одной точке

Рис. 9

(центре О описанной окружности треугольника). Используя эти соображения, получим следующую «новую» задачу: Задача 7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA c и BB c. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что расстояние от $точки^{A} c$ до прямой BO равно расстоянию от $точки^{B} c$ до прямой AO. В действительности эта задача не нова: она предлагалась на Московской математической олимпиаде в 2019 году. Ну что ж, мы немного опоздали. Попробуем еще?

Упражнения для самостоятельного решения

Переформулируйте следующие утверждения: а) Факт 4. б) Биссектрисы двух внутренних и одного внешнего угла неравнобедренного треугольника пересекают прямые, содержащие противоположные стороны, в трех точках, лежащих на одной прямой. в) Описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей этого треугольника.