Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLVIII dành cho học sinh môn toán

45

GIỚI THIỆU

Hình 3

Máy đo cillograph cho thấy ở tần số dòng điện xoay chiều đầu vào là 20 kHz với biên độ $I_{0} 10$ mA, giá trị trung bình của dòng điện $I_{2cp}$ chạy qua điện trở $R_{21}$ không bằng 0 và khoảng 0,9 mA (Hình 3). Đổi lại, điều này có nghĩa là tốc độ trung bình của “thuyền rung” phải là $v_{cp} a Z_{в} I_{2cp} I_{0}$, và trong trường hợp cụ thể này, với biên độ 5 cm và tần số 1 Hz, nó sẽ là 28 mm s. Nói cách khác, trong một lần dao động của một tải không cân bằng, con thuyền chuyển động có biên độ lớn hơn một nửa biên độ dao động. Tất nhiên, điều này xảy ra với giá trị trung bình tương đối lớn của hệ số lực cản của môi trường $O_{сp} | 1,7$ kg s. Với hệ số cản như vậy, thuyền chuyển động với vận tốc ban đầu là 1 m/s.

dừng lại sau khi đi được quãng đường chỉ 5,8 cm. Tốc độ trung bình sẽ thay đổi như thế nào đối với các giá trị khác của hệ số cản? Điều gì sẽ thay đổi nếu dao động của một vật không cân bằng không điều hòa? Và nói chung, liệu chuyển động rung động “xuyên tường” như vậy có thể thực hiện được nếu có một chất trung gian, các dao động không điều hòa và hệ số lực cản khi thuyền di chuyển tới lui là như nhau? Có rất nhiều câu hỏi. Một trong những cách để trả lời những câu hỏi này và không chỉ những câu hỏi này là không lao vào sản xuất và thử nghiệm “máy tập đi rung”, “thuyền rung”, “máy bay rung” và các thiết bị khó hiểu khác mà hãy chuyển sang các chất tương tự động để được trợ giúp.

GIỚI THIỆU

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLVIII dành cho học sinh môn toán

Thế vận hội diễn ra vào ngày 17–25 tháng 4 năm 2022 tại thành phố Saransk.

Điều kiện bài toán

lớp 9

1. Ta gọi các ước số chính của một hợp số n là hai ước số tự nhiên lớn nhất của nó ngoài n. Tổng hợp các số tự nhiên a và b sao cho các ước chính của a bằng các ước chính của b. Chứng minh rằng a b. A. Golovanov 2. Xem bài toán M2702 “Bài toán Kvant.

2. Có 200 số tự nhiên được viết thành một dòng. Trong hai số liền kề bất kỳ trên một dòng, số bên phải lớn hơn số bên trái 9 lần hoặc nhỏ hơn số bên trái 2 lần. Tổng của tất cả 200 số này có thể là $24^{2022}$ không? O. Podlipsky, I. Bogdanov

47

GIỚI THIỆU

một số đường chạm vào biểu đồ hình sin cả phía trên trục x (Ox) và bên dưới (và có thể có thêm một vài điểm giao nhau)? A. Kuznetsov

3. Tam giác nhọn ABC có cạnh BC dài nhất cố định trên mặt phẳng. Gọi PQ là đường kính tùy ý của đường tròn ngoại tiếp, với điểm P nằm trên cung nhỏ AB và điểm Q trên cung nhỏ AC. Các điểm X, Y, Z là các đáy của các đường vuông góc kẻ từ điểm P đến đường thẳng AB, từ điểm Q đến đường thẳng AC và từ điểm A đến đường thẳng PQ. Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác XYZ nằm trên một đường tròn cố định (không phụ thuộc vào việc chọn điểm P và Q). I. Kukharchuk, M. Didin

4. Xem bài toán M2705 “Bài toán Kvant”. 5. Xem bài toán 5 cho lớp 10. 6. Cho số tự nhiên n. Sasha khẳng định rằng với bất kỳ tia n nào trong không gian, không có hai tia nào có điểm chung, anh ta sẽ có thể đánh dấu k điểm trên những tia nằm trên cùng một mặt cầu. Tại mức k tối đa thì phát biểu của anh ta là đúng? A. Kuznetsov

5. Xem bài toán 8 cho lớp 10. 8. Từ mỗi đỉnh của tam giác ABC vẽ vào đó hai tia đỏ và xanh đối xứng qua phân giác của góc tương ứng. Các vòng tròn được vẽ xung quanh các hình tam giác được tạo thành bởi sự giao nhau của các tia cùng màu. Chứng minh rằng nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với một trong các đường tròn này thì nó cũng tiếp tuyến với đường tròn kia. A. Kuznetsov, I. Frolov

người chiến thắng Olympic

lớp 9

Saprunov Egor - St. Petersburg, Yugov Mikhail - St. Petersburg, Paramonov Dmitry - St. Petersburg, Chasovskikh Ivan - Vùng Khimki Moscow, Dmitriev Lev - St. Petersburg, Ivanov Maxim - Vùng Penza, Nikitin Fedor - St. Petersburg, Utkin Evgeniy - Saratov, Lenskaya Natalia - Moscow, Artem Sadykov - Chelyabinsk;

lớp 10

Gnusov Alexander - Kirov, Prozorov Pavel - St. Petersburg, Mishukov Nikolay - St. Petersburg, Khisamutdinov Eldar - St. Petersburg, Akkaya Timur - St. Petersburg, Gontar Dmitry - St. Petersburg, Koposov Timofey - St. Petersburg, Lakhtin Anton - Vùng Sverdlovsk, Fakanova Victoria - Moscow, Klimchuk Alexander - Moscow, Lataria Mirian - Moscow;

lớp 11

Turevsky Maxim - St. Petersburg, Korotchenko Taisiya - St. Petersburg, Bakharev Ivan - St. Petersburg, Mustafin Denis - Moscow, Pocheptsov Igor - Moscow, Kuznetsov Roman - St. Petersburg, Romanov Vladimir - Cộng hòa Udmurt, Sharafetdinova Galia - Kazan, Yusupova Ralina - Kazan, Vitaly Kurin - Moscow, Maxim Peskin - Moscow, Alexander Fedorov - Moscow, Vladislav Dotsenko - Mátxcơva.

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Aghanov, M. Antipov, A. Antropov, S. Berlov, I. Bogdanov, D. Brodsky, A. Golovanov, M. Didin, K. Knop, P. Kozhevnikov, P. Kozlov, D. Krachun, S. Kudrya, A. Kuznetsov, Y. Kuzmenko, E. Molchanov, F. Petrov, O. Podlipsky, K. Sukhov, D. Tereshin, I. Frolov, A. Khrabrov, D. Khramtsov, G. Chelnokov, O. Yuzhkov