Kỳ thi Vật lý thống nhất cấp bang

45

BÀI KIỂM TRA

các số chạy qua tất cả các số dư modulo 3, tức là 0, 1, 2 theo thứ tự nào đó; và trong tất cả 2m cột có số không phải là bội số của 3 thì có các số 0, 1 và 2 bằng nhau. Điều này nghĩa là có các số bằng nhau trong hợp của m cột có số là bội số của 3. Nhưng các cột này chỉ gồm 1, hoặc chỉ 2, hoặc chỉ 0. Điều này nghĩa là mỗi loại phải có số bằng nhau nên m chia cho 3, n chia cho 9. Lập luận của V. Retinsky đã hoàn tất. Đáp số cho câu hỏi bài toán cho n chia hết cho 9 thì chưa biết. Chúng ta cũng hãy lưu ý một mối liên hệ thú vị giữa bài toán này và những cái trước đó. Hãy xem xét hoán vị cần thiết $a_{i}$. Hãy quay trở lại các điểm được đánh số trên vòng tròn. Hãy vẽ mũi tên từ các đỉnh có số $a_{i}$ đến $a_{i} 2 i$. Sau đó, đầu tiên, một mũi tên đi ra từ mỗi đỉnh và một mũi tên đi vào đó. Thứ hai, tất cả các mũi tên này đều khác nhau (nghĩa là chúng không trùng nhau khi rẽ). Thứ ba, mọi thứ

NGUYÊN VẬT LIỆU

các điểm thuộc loại $a_{i} i$ khác nhau và đây là nửa tổng của các số $a_{i}$ và $a_{i} 2 i$, tức là điểm giữa của cung từ $a_{i}$ đến $a_{i} 2 i$. Và vì điểm giữa của các cung như vậy đối với tất cả các mũi tên là khác nhau, nên đối với n lẻ, điều này có nghĩa là trong số các mũi tên từ $a_{i}$ đến $a_{i} 2 i$ không có mũi tên nào song song! Tất nhiên, điều này nhắc nhở chúng ta về vấn đề 2 và 4… Để kết luận, chúng tôi trình bày một bài toán khó khăn khác về hoán vị trong một vòng tròn. 23 (D. Khramtsov, giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga, 2013). Trên một đường tròn có chiều dài 2013, 2013 được đánh dấu, chia nó thành các cung bằng nhau. Tại mỗi điểm được đánh dấu có một con chip. Hãy gọi khoảng cách giữa hai điểm là độ dài của cung nhỏ hơn giữa các điểm này. Với n lớn nhất là bao nhiêu, bạn có thể sắp xếp lại các mã thông báo sao cho lại có một mã thông báo tại mỗi điểm được đánh dấu và khoảng cách giữa hai mã thông báo bất kỳ cách nhau ban đầu không quá n tăng lên?

Kỳ thi Vật lý thống nhất cấp bang

VẬT LIỆU KIỂM TRA

Vào năm 2022, phiên bản USE trong vật lý bao gồm 30 nhiệm vụ: 23 nhiệm vụ trong phần đầu tiên (với đáp số ngắn) và 7 nhiệm vụ trong phần thứ hai (với đáp số mở rộng). Trong số các nhiệm vụ ở phần 1, có 12 nhiệm vụ đạt tối đa 1 điểm, 11 nhiệm vụ đạt tối đa 2 điểm. Trong số 11 nhiệm vụ hai điểm, có năm nhiệm vụ yêu cầu bạn chọn tất cả các câu đúng trong số năm câu đã cho. Hai nhiệm vụ đầu tiên của phần đầu tiên có tính liên ngành, trong đáp số mỗi nhiệm vụ yêu cầu thể hiện kiến ​​thức về các ngành vật lý khác nhau. Trong số các nhiệm vụ ở phần thứ hai, một nhiệm vụ có chất lượng cao (24, tối đa 3 điểm), hai nhiệm vụ có độ phức tạp trung bình (25 và 26, tối đa 2 điểm), ba nhiệm vụ có độ phức tạp tăng dần (27,28, 29, tối đa 3 điểm) và đối với nhiệm vụ thứ 30 cuối cùng, bạn có thể nhận được tối đa 4 điểm (3 điểm cho lời giải và 1 điểm để chứng minh khả năng áp dụng các định luật vật lý và tính đúng đắn của việc viết công thức). Tổng cộng, có thể đạt được tối đa 54 điểm chính cho toàn bộ tùy chọn. Các phương án năm 2023 sẽ có cấu trúc khác một chút so với các phương án năm 2022.

Bạn có thể tìm thấy phiên bản demo của Kỳ thi Thống nhất Quốc gia năm 2023 trên trang web FIPI. Dưới đây là một trong những phiên bản mở của Kỳ thi Thống nhất Quốc gia năm 2022 với câu trả lời cho tất cả các nhiệm vụ yêu cầu đáp số ngắn và giải pháp cho tất cả bài toán yêu cầu đáp số mở rộng. Lời giải được đưa ra trong ấn bản do ủy ban chủ đề đề xuất. Hướng dẫn thực hiện công việc và dữ liệu tham khảo cần thiết có thể được tìm thấy trên tạp chí «Kvant» số 9 năm 2020 hoặc trên trang web FIPI.

Phần 1 Câu trả lời cho nhiệm vụ 1–23 là một số hoặc một dãy số. Đáp số ghi vào trường đáp số trong nội dung bài làm, sau đó chuyển sang MẪU TRẢ LỜI số 1 bên phải số của bài tập tương ứng, bắt đầu từ ô đầu tiên. Viết từng ký tự vào một ô riêng theo các ví dụ được đưa ra trong mẫu. Đoàn kết

63

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Hình 10

Cách đầu tiên. Không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ giả sử rằng $‘^{BAC} d ‘^{BCA}$. Gọi $O_{a}$ và $O_{c}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AA 0 I và $CC_{0} I$ và gọi M là trung điểm của AC.

Vì MO a và $MO_{c}$ là đường trung bình của tam giác AIC nên $то^{MO} a_{c}^{O} I_{c}^{LO} и^{KO} a^{O} a^{I} MO_{c}$.

Từ sự song song của $прямых^{MO} a$ và CI, cũng như

$O a^{K} и^{IA} 0$ (cả hai đều là $перпендикулярны^{AA} 0 )$ chúng ta có MO a K CIA 0 CIC 0 C 0 IA 0

CIC 0 120 q. Tương tự như vậy, $LO_{c} M$

‘ CIC 0 ‘ CIA

‘ C 0 IA

CIC 0 120 q. Do đó, các tam giác MO a K và $LO_{c} M$ có hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa chúng, do đó MK = ML.

Cách thứ hai. Vì $‘^{A} 0^{IC} 0 ‘_{1}^{A} IC_{1} 120 q$ nên các cung A 0 C 0 và $A_{1} C_{1}$ của đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng nhau. Do đó, các dây $A 0 A_{1}$ và $C 0 C_{1}$ song song nên các điểm K, I, L nằm trên cùng một đường thẳng. Đồng thời $‘^{AKI}$

$‘^{CLI} 90 q$, tức là AKLC – hình thang hình chữ nhật. Đường giữa của nó là đường trung trực của cạnh KL, nghĩa là trung điểm của cạnh AC cách đều điểm K và $L. 14. За^{5}$ câu hỏi. Cấp. Mỗi câu hỏi chia các số thành hai nhóm: một số tương ứng với đáp số “có”, số còn lại tương ứng với đáp số “không”. Hãy để ban giám khảo trả lời “có” cho câu hỏi đầu tiên. Nếu chúng tôi biết chắc chắn liệu đáp số có đúng hay không thì câu hỏi của chúng tôi không tách các số thành các nhóm. Mặt khác, chúng tôi cũng không thể đưa ra bất kỳ kết luận nào về con số, vì chúng tôi không biết liệu họ có nói thật với chúng tôi hay không. Điều này có nghĩa là chúng ta vẫn có

GIẢI PHÁP

chín lựa chọn có thể. Ngay cả khi tất cả đáp số tiếp theo đều đúng, thì việc đoán một số trong số chín sẽ cần ít nhất bốn câu hỏi nữa, vì 9! $2^{3}$. Thuật toán. Đầu tiên, chúng ta hãy học cách đoán một số trong năm trong bốn câu hỏi. Giả sử đây là những con số $1, 2,^{3,} 4,^{5.}$ Hãy hỏi: “Đây là 1 hay 2?” 1) Nếu đáp số “có”, hãy hỏi lại: “Đây là 1 hay 2?” 1.1) Nếu đáp số lại là “có” thì số ẩn thực sự là 1 hoặc 2 và họ chưa nói dối chúng ta đâu. Hãy hỏi hai lần: “Đây có phải là 1 không?” Nếu họ trả lời “có” cả hai lần thì số 1 sẽ được đoán và nếu có ít nhất một đáp số “không”, thì số đó là 2. 1.2) Nếu đáp số “không”, thì họ đã nói dối chúng tôi ở câu hỏi đầu tiên và một trong số $цифр^{3,} 4,^{5.}$ đã được đoán. Đối với hai câu hỏi được trả lời trung thực, chúng ta sẽ đoán con số này. 2) Nếu câu hỏi đầu tiên được trả lời “không”, thì chúng tôi sẽ hỏi: $«Это^{3?»}$ 2.1) Nếu đáp số là “có”, thì chúng tôi sẽ hỏi lại: $«Это^{3?»}$ Nếu họ trả lời lại là “có”, thì câu đố thực sự là $цифра^{3,}$ và nếu “không”, thì họ đã nói dối chúng tôi và câu đố là $цифра^{4} или^{5.}$ Trong một câu hỏi, chúng tôi sẽ đoán được. 2.2) Nếu đáp số là “không”, thì $цифра^{4} или^{5}$ bị ẩn và họ chưa nói dối chúng ta. Tương tự như trường hợp 1.1, ta sẽ xác định số ẩn trong hai câu hỏi. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang lời giải bản gốc bài toán. Hãy hỏi: “Đây là $1, 2,^{3} или^{4?»}$ Nếu đáp số là “không”, thì một trong năm $цифр^{5,} 6,^{7,} 8, 9$ được đoán và bạn cần đoán nó trong bốn câu hỏi và chúng tôi đã biết cách thực hiện việc này. Nếu đáp số là “có” thì chúng tôi hỏi: “Đây là 2, 3, 4 hay 5?” 1) Nếu đáp số là “không”, thì chúng ta hỏi: “Đây có phải là 1 không?” Nếu họ trả lời chúng tôi là “có”, thì số 1 thực sự đã được đoán, còn nếu “không”, thì họ đã nói dối chúng tôi ở câu hỏi đầu tiên và một trong $цифр^{6,} 7,^{8,} 9.$ đã được đoán. Đối với hai câu hỏi mà họ trả lời trung thực, chúng tôi sẽ đoán con số này. 2) Nếu đáp số là “có”, thì chúng tôi hỏi: “Đây là $2 или^{3?»}$ 2.1) Nếu đáp số là “không”, thì có thể có các lựa chọn sau: số $1 или^{5}$ đã được đoán và chúng tôi đã bị lừa hoặc $цифра^{4}$ đã được đoán và chúng tôi chưa bị lừa. Đầu tiên chúng ta hỏi: “Đây có phải là 1 không?”, sau đó: $«Это^{5?»}$ Nếu câu trả lời cho một trong các câu hỏi là “có”, thì số tương ứng sẽ được đoán và nếu cả hai đáp số đều là “không”, thì $цифра^{4.}$ được đoán 2.2) Nếu đáp số là “có”, thì có thể có các tùy chọn sau: số $2 или^{3}$ được đoán và chúng tôi chưa làm như vậy nhưng họ đã nói dối, hoặc $цифра^{4}$ đã bị giấu kín và họ đã nói dối chúng tôi về câu hỏi cuối cùng. Hãy hỏi: “Đây có phải là 2 không?”