Bài toán M2754—M2757; F2761—F2764

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2754 – M2756 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Caucasian lần thứ VIII. Tác giả bài toán F2761–F2764 – S. Varlamov.

Bài toán M2754–M2757, F2761–F2764 M2754. Nazar chọn hai số thực a và b và viết hai phương trình: $x^{4} 2 b^{3} x a^{4} 0$ và $x^{4} 2 a^{3} x b^{4} 0$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình này có nghiệm thực. N. Agakhanov

M2755. Pasha và Vova chơi trò chơi, lần lượt gạch bỏ các ô trên bảng 3 u 101. Ban đầu, chỉ có ô trung tâm được gạch bỏ trên bảng. Trong một nước đi, người chơi phải chọn một đường chéo (một đường chéo có thể có 1, 2 hoặc 3 ô) và gạch bỏ tất cả các ô chưa gạch chéo trong đó. Mỗi nước đi phải gạch bỏ ít nhất một ô mới. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Pasha bắt đầu. Người chơi nào có thể giành chiến thắng bất kể nước đi của đối thủ? I. Efremov

M2756. a) Tìm xem đối với một số lục giác lồi ABCDEF có thể thỏa mãn đồng thời ba bất đẳng thức: ABD AED! 180q,

‘ BCE ‘ BFE! 180 q,

CDE CAF! 180 q. b) Câu hỏi tương tự, nếu biết thêm rằng trong một hình lục giác các đường chéo AD, BE và CF cắt nhau tại một điểm. M. Sagafian, P. Kozhevnikov

M2757. Cho một số nguyên tố p. Có p số nguyên xung quanh đường tròn. Trong một nước đi, bạn được phép chọn một số nguyên k và thay thế tập hợp hiện có $a_{0},^{…}, a_{p} 1$ bằng một tập hợp các số $a_{0} a_{k}, a_{1} a_{1} k,^{…}, a_{p} 1 a_{p} 1_{k}$ (các chỉ số được lấy theo modulo p, tức là a i a i p ). a) Chứng minh rằng sau khi thực hiện p các bước di chuyển như vậy thì mọi số trên đường tròn đều là bội số của p. b*) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên m, n, n! 1, với tuyên bố sau đây là đúng: với bất kỳ tập hợp p số nguyên ban đầu nào, sau khi thực hiện bất kỳ m bước di chuyển nào được mô tả, sẽ thu được một tập hợp các số p là bội số của n. P.Kozhevnikov

F2761. Con lắc Maxwell là một cấu trúc bao gồm một chân máy hình chữ U được gắn chặt vào đế, hai hình trụ đồng trục được kết nối cứng nhắc có đường kính khác nhau và chiều dài khác nhau, cũng như hai sợi dây có cùng chiều dài, với một đầu của mỗi sợi được cố định vào một hình trụ có đường kính nhỏ hơn và đầu kia vào thanh ngang ngang của chân máy (Hình 1). Cả hai xi lanh đều được làm bằng cùng một vật liệu đồng nhất có mật độ U 10 g $см^{3}$. Tỷ lệ đường kính của hình trụ là $D_{1} D_{2} 10$, tỷ lệ chiều dài của chúng (dọc theo trục đối xứng) là $l_{2} l_{1} 3$. Chiều dài của mỗi sợi thẳng là $10,5 D_{1}$.