Задачи М2754—М2757; Ф2761—Ф2764

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2754 – М2756 предлагалась на VIII Кавказской математической олимпиаде. Автор задач Ф2761–Ф2764 – С.Варламов.

Задачи М2754–М2757, Ф2761–Ф2764 M2754. Назар выбрал два вещественных числа a и b и написал два уравнения: $x^{4} 2 b^{3} x a^{4} 0$ и $x^{4} 2 a^{3} x b^{4} 0$. Докажите, что хотя бы одно из этих уравнений имеет вещественный корень. Н.Агаханов

M2755. Паша и Вова играют в игру, по очереди зачеркивая клетки доски 3 u 101. Исходно на доске зачеркнута только центральная клетка. За один ход игрок должен выбрать диагональ (в диагонали может быть 1, 2 или 3 клетки) и зачеркнуть в ней все еще не зачеркнутые клетки. Каждым ходом должна быть зачеркнута хотя бы одна новая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Паша. Кто из игроков может выиграть вне зависимости от ходов противника? И.Ефремов

M2756. а) Выясните, могут ли для некоторого выпуклого шестиугольника ABCDEF одновременно выполняться три неравенства: ‘ ABD ‘ AED! 180 q,

‘ BCE ‘ BFE! 180 q,

‘ CDE ‘ CAF! 180 q. б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что в шестиугольнике диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке. М.Сагафиан, П.Кожевников

M2757. Дано простое число p. По окружности стоят p целых чисел. За один ход разрешается выбрать некоторое целое число k и заменить имеющийся набор $a_{0},^{…}, a_{p} 1$ на набор чисел $a_{0} a_{k}, a_{1} a_{1} k,^{…}, a_{p} 1 a_{p} 1_{k}$ (индексы берутся по модулю p, т.е. a i a i p ). а) Докажите, что после выполнения p таких ходов все числа на окружности будут кратны p. б*) Найдите все пары натуральных чисел m, n, n! 1, для которых верно следующее утверждение: для любого начального набора p целых чисел после выполнения любых m описанных ходов получится набор из p чисел, кратных n. П.Кожевников

Ф2761. Маятник Максвелла представляет собой конструкцию из П-образного жестко закрепленного на основании штатива, двух жестко соединенных соосных цилиндров разных диаметров и разных длин, а также двух нитей одинаковой длины, причем один конец каждой нити закреплен на цилиндре меньшего диаметра, а второй – на горизонтальной перекладине штатива (рис. 1). Оба цилиндра сделаны из одного и того же однородного материала плотностью U 10 г $см^{3}$. Соотношение диаметров цилиндров $D_{1} D_{2} 10$, соотношение их длин (вдоль оси симметрии) $l_{2} l_{1} 3$. Длина каждой выпрямленной нити $10,5 D_{1}$.