Bài toán M2766—M2769; F2773—F2776

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2766, M2768 were offered at the training camp for candidates for the team for the International Mathematical Olympiad. Bài toán F2773 was offered at the International School Olympiad “Tuymaada” in 2023, and bài toán F2774-F2776 in 2022.

Bài toán M2766–M2769, F2773–F2776

M2766. Cho số tự nhiên n. Trường “Master Sudoku” đại diện cho $собой^{n} n 1 2$ ô $квадрата^{n} u^{n}$ nằm trên hoặc bên dưới đường chéo chính. Thầy đoán n ô của trường này, mỗi ô trong mỗi cột và cho học sinh biết mỗi hàng có bao nhiêu ô ẩn (học sinh cũng biết rằng có chính xác một ô ẩn trong mỗi cột). Học sinh có thể sử dụng thông tin này để khôi phục các ô được Master ẩn một cách đáng tin cậy. Master có thể tạo ra bao nhiêu loại Sudoku khác nhau? T. Amdeberhan, M. Rubi, F. Petrov

M2767. Dễ dàng chứng minh rằng trong một tam giác vuông, tổng bán kính nội tiếp và ba đường tròn ngoại tiếp bằng chu vi. Chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng. I. Weinstein

M2768*. Cho số tự nhiên n. Các số nguyên khác 0 riêng biệt theo cặp $a_{1},^{…}, a n$ sao cho số $x_{1}^{a} x_{2}^{a} …^{…} x^{a} n$ chia hết cho $число_{1}^{a} a_{2}^{…} a n$ với mọi $целом^{x.}$ Tìm giá trị lớn nhất có thể có của n. F. Petrov, K. Sukhov

M2769*. Đường tròn nội tiếp: tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA và

Hình 1

AB lần lượt tại các điểm D, E và F (Hình 1). Cho đường tròn Z tiếp xúc với các đoạn CA và AB lần lượt tại các điểm Q và R, chọn các điểm M và N lần lượt trên các đoạn AB và AC sao cho các đoạn CM và BN tiếp xúc với Z. Các phân giác của các góc NBC và MCB lần lượt cắt các đoạn DE và DF tại các điểm K và L. Chứng minh hai đường thẳng RK và QL cắt nhau tại Z. Trần Quang Hưng (Việt Nam)

F2773. Một lò xo không trọng lượng có số vòng lớn nhưng ban đầu chỉ có N? 1 vòng có thể biến dạng, các vòng còn lại được gắn chặt với nhau. Tải trọng tác dụng lên lò xo này làm chuyển động tự do