Bài toán 5—8

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý đến địa chỉ: [email protected]. Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường và lớp nơi bạn học. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

5. Mười lăm thùng được đặt dưới dạng hình tam giác (Hình 1) và được bao phủ bởi một vòng đai. Mười sáu thùng đã được cung cấp

Hình 4

Hình 2

Hình 1

hoặc ở dạng hình vuông 4 u 4 (Hình 2) và cũng được che bằng một vòng tròn. So sánh độ dài của các vòng này. P.Kozhevnikov

6. Có một ly cà phê chứa đầy $на^{2} 3,$ và cùng một ly sữa chứa đầy $на^{2} 3$. Được phép đổ qua lại bất kỳ lượng chất lỏng nào, trộn kỹ, nhưng bạn không thể đổ bất cứ thứ gì ra ngoài. Có thể lấy đồ uống làm từ sữa và cà phê theo tỷ lệ 1: 1 trong một trong các ly không? E. Smirnov

7. Vasya đã vẽ một hình có dạng hình vuông 15 u 15, trong đó có bốn lỗ được khoét thành hình vuông $3 u 3 (рис.^{3).}$

Hình 3

Vasya cắt hình này thành các hình, mỗi hình là một trong ba loại $(рис.^{4).}$ Được biết, trong hình cắt có số lượng hình thuộc loại $2 и^{3}$ bằng nhau. Có bao nhiêu hình của mỗi loại trong hình cắt? S. Kostin

8. a) Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Petya viết bất kỳ số nguyên nào lên bảng. Vasya không nhìn thấy bảng và mục tiêu của anh ấy là đoán xem hiện trên bảng có số nào. Trong một nước đi, Vasya nêu tên dự đoán của mình và nếu nó sai (nghĩa là nó không trùng với số trên bảng tại thời điểm đoán), thì Petya sẽ tăng số trên bảng lên 1, sau đó Vasya cố gắng đoán lại. Liệu Vasya có thể luôn hành động theo cách đảm bảo đoán được số trong một số nước đi hữu hạn không? b) Cùng một trò chơi và cùng một câu hỏi, nhưng bây giờ Petya sau mỗi nước đi có thể thay đổi số 1 theo ý mình (tăng hoặc giảm 1; số không được giữ nguyên). c) Cùng một trò chơi và cùng một câu hỏi, nhưng bây giờ Petya tăng số lên 1 khi số đoán của Vasya nhỏ hơn số hiện có trên bảng và giảm số đó đi 1 nếu số đoán của Vasya lớn hơn. A. Gaek (học sinh lớp 11)