Định lý ba mặt phẳng

TRƯỜNG KVANT

Định lý ba mặt phẳng

Y. BLINKOV

BÀI NÀY SẼ XEM XÉT một phát biểu quan trọng có thể được xây dựng và sử dụng ngay sau khi nghiên cứu các tiên đề của phép đo lập thể. Lưu ý rằng ở dạng định lý, nó chỉ có trong sách [1] và gắn liền với chủ đề “Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng”. Đôi khi tuyên bố này xuất hiện (ở dạng đơn giản hóa hoặc công thức khác) ở dạng bài toán (ví dụ: xem [2], [3], [4]), nhưng người ta không tập trung chú ý vào nó. Chúng tôi sẽ cố gắng lấp đầy một phần khoảng trống này. Vì vậy, từ ngữ. Định lý ba mặt phẳng. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau dọc theo ba đường thẳng khác nhau thì ba đường thẳng này song song với nhau hoặc cắt nhau tại một điểm. Bằng chứng. Cho các mặt phẳng D và E cắt nhau dọc theo đường thẳng c, E và J – dọc theo đường thẳng a, D và J – dọc theo đường thẳng b. Vì mỗi cặp đường thẳng (ví dụ a và b) nằm trong cùng một mặt phẳng nên chúng cắt nhau hoặc song song. Nếu không có hai đường thẳng nào giao nhau (Hình 1), thì chúng song song từng cặp và điều kiện của định lý được thỏa mãn. Giả sử một số đường thẳng cắt nhau, ví dụ a và b cắt nhau tại điểm C (Hình 2). Khi đó điểm C thuộc hai mặt phẳng E và J vì nó thuộc chúng

Hình 2

giao lộ (đường a). Mặt khác, điểm này thuộc mặt phẳng D và J vì nó nằm trên đường thẳng b. Do đó, điểm C thuộc cả ba mặt phẳng, cụ thể là giao điểm của D và E, tức là đường thẳng s. Vậy các đường thẳng a, b, c song song hoặc cắt nhau tại một điểm, đây là điều cần chứng minh. Xin lưu ý rằng bằng chứng chỉ sử dụng thực tế là hai mặt phẳng cắt nhau trên một đường thẳng. Chúng ta hãy xem xét việc áp dụng định lý đã được chứng minh. Hãy bắt đầu bằng cách xây dựng các phần. Hãy giải quyết vấn đề tiếp theo bài toán. Bài toán 1. a) Cách dựng hình tứ diện ở Hình 3 có đúng không? b) Vẽ đoạn tứ diện PABC đi qua trung điểm của các cạnh PA, PC và AB. Lời giải. a) Xét ba mặt phẳng: PAC, ABC và mặt phẳng cắt. Theo định lý ba mặt phẳng, các đường thẳng giao nhau theo cặp của chúng song song hoặc cắt nhau tại một điểm. Cần lưu ý rằng cả bản vẽ này lẫn bản vẽ khác đều không được thực hiện trong bản vẽ này. Vì vậy, việc xây dựng đã được thực hiện không chính xác. b) Gọi M, K và N là điểm giữa của các cạnh (Hình 4). Hãy xem xét ba mặt phẳng:

Hình 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20231003

Hình 3

Hình 4

29

TRƯỜNG HỌC

Bài tập 5. Chứng minh điều này.

Tuyên bố đã nêu cũng có thể được coi là một trong những trường hợp của định lý ba mặt phẳng, nếu chúng ta giả sử rằng hai mặt phẳng song song cắt nhau dọc theo một đường thẳng ở vô cực. Bây giờ chúng ta nhớ lại dấu hiệu thứ hai về tính song song của các mặt phẳng. Bài toán 5. Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng kia thì các mặt phẳng này song song. Lời giải. Chúng ta hãy ký hiệu các mặt phẳng D và E, và các đường thẳng nằm trong chúng lần lượt là a, b và a c, b c, sau đó là a P a c, b P b c. Giả sử a cắt b tại điểm O. Hãy chứng minh rằng D P E. Xét một mặt phẳng chứa a và a c, cũng như các mặt phẳng D và E. Nếu hai mặt phẳng D và E cắt nhau thì dọc theo đường thẳng c song song với a và a c (xem bài toán 2). Xét mặt phẳng đi qua các đường thẳng b và b c, ta thấy đường thẳng c cũng song song với đường thẳng b và b c, tức là hai đường thẳng đi qua điểm O song song với đường thẳng c. Sự mâu thuẫn. Bây giờ hãy xem xét phát biểu liên quan đến sự song song của một đường thẳng và một mặt phẳng. Lưu ý rằng định lý ba mặt phẳng cho phép chúng ta nghiên cứu sự song song của các mặt phẳng và sự song song của đường thẳng và mặt phẳng độc lập với nhau, tức là thứ tự học các chủ đề có thể thay đổi tùy theo mục tiêu và thị hiếu của giáo viên. Bài toán 6. Nếu một đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì nó song song với đường giao nhau của chúng. Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị các mặt phẳng bằng D và E (Hình 7), đường giao nhau của chúng là c và đường này là x. Xét một mặt phẳng J tùy ý đi qua

Hình 7

TRONG

“QUANTE”

cắt đường thẳng x và cắt D và E. Để nó cắt các mặt phẳng này lần lượt dọc theo các đường thẳng a và b. Vì đường thẳng x song song với D và E nên nó song song với đường thẳng a và b (chứng minh đi!). Áp dụng định lý ba mặt phẳng cho các mặt phẳng D, E và J, chúng ta thấy rằng các đường thẳng a, b và c song song, do tính bắc cầu của tính song song, suy ra rằng các đường thẳng c và x song song. Bây giờ hãy chuyển sang những câu nói ít tiêu chuẩn hơn. Trong một số trường hợp, ba mặt phẳng này không dễ nhìn thấy. bài toán tiếp theo được lấy từ sách bài tập [5]. Bài toán 7. Tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C_{1}$ không nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 8). Đã biết

Hình 8

nhưng các đường thẳng AB và $A_{1} B_{1}$, BC và $B_{1} C_{1}$, AC và $A_{1} C_{1}$ cắt nhau theo cặp. Chứng minh rằng đường thẳng $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm hoặc song song. Lời giải. Hãy lợi dụng thực tế là hai đường thẳng giao nhau xác định một mặt phẳng. Xét ba mặt phẳng được xác định bởi các cặp đường thẳng: AB và $A_{1} B_{1}$, BC và $B_{1} C_{1}$, AC và $A_{1} C_{1}$. Sau đó, theo định lý ba mặt phẳng, các đường thẳng $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ của các cặp giao điểm của chúng cắt nhau tại một điểm hoặc song song, theo yêu cầu. Lưu ý rằng chúng ta chỉ sử dụng giao điểm của các đường tại lời giải bài toán 7 để chúng tạo thành một mặt phẳng, tức là điều kiện bài toán vẫn đúng nếu bất kỳ cặp đường thẳng nào trong số này song song. Hơn nữa, những đường này giao nhau ở ba

30

KVAN T 2023/№10

các điểm nằm trên cùng một đường thẳng vì chúng thuộc giao tuyến của các mặt phẳng của các tam giác đã cho. Và cuối cùng, người ta không thể không lưu ý đến mối liên hệ của phát biểu này với định lý Desargues (ví dụ, xem [2]). Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào bài toán V.V. Proizvolov từ Giải đấu Thành phố năm 2009. Bài toán 8. Trong không gian (nhưng không trong cùng một mặt phẳng) sáu khác nhau

mặc.

Lưu ý rằng, như trong bài toán 7, chúng tôi đã sử dụng vị trí tương đối của các đường thẳng để xác định mặt phẳng. Trong Olympic tiếp theo bài toán (do V.A. Letsko đề xuất), chúng ta sẽ sử dụng lại kỹ thuật này. Bài toán 9. Tất cả các mặt của lục giác lồi đều là tứ giác. Chứng minh rằng nếu một khối đa diện như vậy có một cặp đường chéo cắt nhau thì nó có một cặp đường chéo khác như vậy. Lời giải. Để các đường chéo $AC_{1}$ và $BD_{1}$ của hình lục giác $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ giao nhau -

Hình 9

điểm: A, B, C, D, E và F (Hình 9). Được biết, các đoạn AB và DE, BC và EF, CD và FA song song thành từng cặp. Chứng minh rằng các đoạn giống nhau này là từng cặp bằng nhau. Lời giải. Xét ba mặt phẳng được xác định bởi các cặp đường thẳng song song: (ABDE), (BCEF), (CDFA). Chúng cắt nhau dọc theo các đường thẳng (BE), (CF) và (AD). Khi đó ba đường thẳng này song song hoặc cắt nhau tại một điểm. Trong trường hợp thứ nhất (nếu có thể), từ sự song song của (BE) và (AD) và sự song song của (AB) và (DE) suy ra ABED là hình bình hành, tức là AB = DE, và tương tự cho các cặp đoạn thẳng khác. Trong trường hợp thứ hai, chúng ta có một hình lục giác không gian với các cặp cạnh đối diện song song và các đường chéo chính cắt nhau tại một điểm. Khi đó, từ sự giống nhau của một số cặp tam giác, suy ra các cạnh đối diện cũng bằng nhau, tức là hệ số giống nhau không thể khác 1 (chứng minh đi!).

xia (Hình 10). Khi đó các điểm $A, B, C_{1}$ và $D_{1}$ nằm trong cùng một mặt phẳng D, tức là các đường thẳng AB và $C_{1} D_{1}$ song song hoặc cắt nhau. Hãy xem xét hai mặt phẳng nữa: $AA_{1} B_{1} B$ và $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Khi đó, theo định lý ba mặt phẳng, đường thẳng $A_{1} B_{1}$ song song với các đường thẳng AB và $C_{1} D_{1}$ trong trường hợp thứ nhất và đi qua giao điểm của chúng trong trường hợp thứ hai. Lập luận tương tự cho các mặt phẳng D, ABCD và $DCC_{1} D_{1}$, ta thấy CD cũng song song với AB và $C_{1} D_{1}$ trong trường hợp thứ nhất và đi qua giao điểm của chúng trong trường hợp thứ hai. Do đó, $A_{1} B_{1}$ và CD song song hoặc cắt nhau, tức là các điểm $A_{1}, B_{1}, C$ và D nằm trong cùng một mặt phẳng và các đường chéo $A_{1} C$ và $B_{1} D$ cắt nhau như các đường chéo của một tứ giác lồi, theo yêu cầu. Phần tiếp theo của âm mưu này là bài toán 5 (cũng do V.A. Letsko đề xuất) từ bài toán dành cho độc lập lời giải.

Bài tập

Bài toán dành cho độc lập lời giải

6. a) Chứng minh rằng trường hợp đầu tiên trong lời giải bài toán 8 là không thể. b) Sử dụng phương pháp tương tự và phản chứng, hoàn thành lời giải bài toán 8 cho đến hết trong trường hợp thứ hai.

7. Giải bài toán 8 bằng cách sử dụng dấu thứ hai của sự song song của các mặt phẳng hoặc quan hệ vectơ

Hình 10

1. Mặt cắt hình chóp PABCD đi qua hai điểm A và D là hình thang có đáy AD. Xác định loại tứ giác ABCD nằm ở đáy hình chóp. 2. Ba đường thẳng vẽ trong không gian không nằm trong cùng một mặt phẳng nhưng không có hai đường thẳng nào cắt nhau. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng này đều đi qua một điểm