Bài toán M2786—M2789; F2793—F2796

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2786–М2788а, M2789 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán. Tác giả bài toán F2793–F2796 – S. Varlamov.

Bài toán M2786–M2789, F2793–F2796

M2786. Có 100 chấm trắng trong một vòng tròn. Anya và Borya lần lượt sơn một điểm chưa được sơn màu đỏ hoặc xanh, Anya bắt đầu. Anya muốn có càng nhiều cặp chấm lân cận nhiều màu càng tốt, và Borya muốn có càng ít cặp như vậy càng tốt. Số cặp chấm lân cận nhiều màu lớn nhất mà Anya có thể đảm bảo cho chính mình, bất kể trò chơi của Bori là bao nhiêu? P.Kozhevnikov

M2787. Một hình bán nguyệt được dựng trên đoạn XY làm đường kính và điểm Z tùy ý trên đoạn này đã được chọn (Hình 1). Chín tia từ điểm Z phân chia sự khai triển

Hình 1

Góc XZY này được chia thành 10 phần bằng nhau và cắt hình bán nguyệt lần lượt tại các điểm $A_{1}, A_{2}$, … $, A_{9}$ (theo thứ tự truyền từ X đến Y). Chứng minh rằng tổng diện tích của các tam giác $A_{2} ZA_{3}$ và $A_{7} ZA_{8}$ bằng diện tích $четырехугольника_{2}^{A} A_{3}^{A} 7_{8}^{A}$. M. Evdokimov

M2788. a) Một tam giác đều T có cạnh 111 được chia bởi các đường thẳng song song với các cạnh của nó thành các tam giác đều cạnh 1. Tất cả các đỉnh của các tam giác này, trừ tâm tam giác T, đều được đánh dấu. Chúng ta gọi một tập hợp gồm nhiều điểm được đánh dấu là tuyến tính nếu tất cả các điểm này nằm trên cùng một đường thẳng song song với cạnh T. Có bao nhiêu cách chia tất cả các điểm được đánh dấu thành 111 tập hợp tuyến tính? b) Câu hỏi tương tự nếu yêu cầu thêm rằng mỗi tập hợp tuyến tính phải là một đoạn gồm các điểm được đánh dấu (nghĩa là nếu hai điểm được đánh dấu khác nhau được bao gồm trong một tập hợp tuyến tính thì tất cả các điểm được đánh dấu trên đoạn giữa chúng cũng vậy). I. Bogdanov

M2789*. Cho số tự nhiên n! 100. Ban đầu, số 1 được viết trên bảng. Mỗi phút Petya biểu thị số viết trên bảng là tổng của hai phân số dương bất đẳng thức, và Vasya chỉ để lại một trong hai phân số này trên bảng. Chứng minh rằng Petya có thể đảm bảo mẫu số của phân số còn lại không vượt quá $2^{n} 50$ sau n phút, bất chấp hành động của Vasya. M. Didin

29

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

F2793. Trong một chiếc cung đồ chơi (Hình 2), năng lượng được tích trữ không phải ở các cánh cong của cung mà ở sợi dây căng. Khoảng cách giữa hai đầu của sợi dây nhẹ gắn vào cánh cung là L. Độ cứng của sợi dây k. Robin Hood thời trẻ khi bắn đã kéo dây cung thật chặt đến nỗi lực căng của dây cung tăng gấp đôi, đầu dây cung và điểm giữa của dây cung chạm vào đầu mũi tên có lông nằm ở Hình 2 ở các góc của một tam giác đều có cạnh L. Khi mũi tên được phóng thẳng đứng lên trên, nó bay lên đến độ cao h 20L. Khối lượng của mũi tên m là bao nhiêu? Sức cản của không khí có thể bỏ qua.

F2794. Một ống có thành mỏng chứa đầy chất lỏng đồng nhất, không nhớt và không nén được, chất lỏng này nằm trong đoạn thẳng của ống, cách xa đoạn cong, chảy với cùng tốc độ v ở bất kỳ vị trí nào trên mặt cắt ngang của ống. Mặt cắt ngang của ống ở vị trí bất kỳ là hình chữ nhật có cạnh A và a, có $A_{?} a$. Đoạn thẳng của ống biến thành đoạn cong, trên đó ống trông giống như một hình xoắn ốc có độ cao là a. Bán kính trong của ống xoắn ốc là A và bán kính ngoài của nó là 2A. Tất cả các thành ống có kích thước a đều thẳng đứng, và trên đoạn ống thẳng, các thành ống rộng nằm ngang. Trên phần xoắn ốc của ống, thành ống rộng tạo thành một góc M nhỏ với đường chân trời cỡ $a 2 S A_{=} 1$. Dòng chất lỏng ổn định theo thời gian và phân lớp. Hình 3 cho thấy mặt cắt ngang của đường ống, các phần thẳng và xoắn ốc của đường ống trông như thế nào khi nhìn từ bên cạnh cũng như nhìn từ phía dưới. Tốc độ của dòng chất lỏng trong một đoạn ống cong (cách xa đoạn thẳng) phụ thuộc như thế nào vào khoảng cách x giữa điểm, trong

“QUANTA”

Hình 3

tốc độ nào được đo và trục của đường xoắn ốc? Có thể bỏ qua lực hấp dẫn.

F2795. Vòng có bán kính R, độ dày của vòng nhỏ so với bán kính, khối lượng của vòng m phân bố đều dọc theo chu vi của nó. Chiếc nhẫn được tháo xoắn quanh trục đối xứng của nó, đặt trên một mặt phẳng có hệ số ma sát gồ ghề bằng P, nghiêng một góc D so với phương ngang và được đẩy lên trên. Trục đối xứng của vòng vuông góc với mặt nghiêng. Chiếc nhẫn được ép vào bề mặt ở tất cả các điểm trên chu vi của nó. Tại một thời điểm nào đó, tâm của vòng có tốc độ bằng 0 (so với bề mặt) và vòng quay với vận tốc góc Z. Tâm của vòng chuyển động tại thời điểm đã cho với gia tốc bằng bao nhiêu? Tốc độ góc quay của vòng giảm ở tốc độ nào tại thời điểm này?

F2796. Một hộp cố định rất dài, có thành mỏng, làm bằng vật liệu không dẫn điện. Mặt cắt ngang của hình hộp là hình vuông có cạnh a. Trên trục đối xứng của hộp có một thanh mỏng rất dài mang điện tích phân bố đều dọc theo chiều dài của nó. Mật độ điện tích tuyến tính V. Gắn vào mép hộp là một đầu của một sợi dây mỏng, không dẫn điện, không trọng lượng và không dãn, được quấn quanh hộp, tạo thành N vòng giống hệt nhau. Các mặt phẳng quay vuông góc với trục đối xứng của hình hộp. Một vật điểm (quả bóng) có khối lượng m và điện tích q được gắn vào đầu kia của sợi dây. Tại thời điểm ban đầu, đối tượng này nằm cạnh vị trí mà đầu sợi chỉ được cố định vào