Conic trong các bài toán vật lý

29

Conic trong các bài toán vật lý

THUỘC VẬT CHẤT

A. BYCHKOV

KHÔNG BẮT BUỘC

Hyperbol là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, hiệu khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B cho trước bằng (về giá trị tuyệt đối) một giá trị không đổi (Hình 3). Những điểm này là tiêu điểm của hyperbol. Tính chất tiêu điểm của parabol. Giả sử parabol có tiêu điểm F và đường chuẩn l, và X là một số điểm của nó (Hình 4). Khi đó đường thẳng XF và đường vuông góc hạ từ X xuống l tạo thành các góc bằng tiếp tuyến

NGƯỜI HY LẠP CỔ ĐÃ Quen thuộc với những hình mà ngày nay chúng ta gọi là đường cong bậc hai. Họ gọi chúng là hình nón $сечениями^{1}$ hay hình nón và dành nhiều công sức nghiên cứu khoa học cho chúng. Vào thế kỷ 17-18, những đường cong này bắt đầu được sử dụng trong cơ học: hóa ra các viên đạn bay theo quỹ đạo parabol và các hành tinh quay theo quỹ đạo hình elip. Sau đó, khi nghiên cứu chuyển động của các vật thể trong không gian, các nhà khoa học phát hiện ra rằng tốc độ phóng của một vật thể quyết định quỹ đạo của nó. Hóa ra một vật thể được phóng từ Trái đất với các tốc độ khác nhau có thể di chuyển trong không gian dọc theo nhiều đường cong khác nhau, thuộc các đường cong bậc hai: hình elip, parabol và hyperbola. Bài viết này dành cho việc xem xét các đường cong bậc hai và ứng dụng của chúng trong các bài toán vật lý. Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa của đường cong bậc hai và một số tính chất của chúng theo quan điểm hình học. Parabol là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều điểm F và đường thẳng l cho trước (Hình 1). Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol và đường thẳng l được gọi là đường chuẩn. Hình elip là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B cho trước bằng một giá trị không đổi (Hình 2). Những điểm này được gọi là tiêu điểm của hình elip.

Hình 1

Hình 2

1

Đường cônic là những đường có được bằng cách cắt bề mặt của một hình nón tròn vuông với các mặt phẳng không đi qua đỉnh của nó.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20241003

Hình 3

Hình 4

m với parabol tại điểm X. Tính chất tiêu điểm của parabol có thể được sử dụng như sau. Nếu bạn tạo một gương phản xạ có hình paraboloid và đặt một bóng đèn vào tiêu điểm, bạn sẽ thu được một điểm sáng: tất cả các tia phản xạ sẽ song song với trục của paraboloid.

Bài tập 1. Chứng minh tính chất tiêu cự của hình elip: các đoạn thẳng nối một điểm của hình elip với tiêu điểm của nó tạo các góc bằng nhau với tiếp tuyến của hình elip tại điểm đó. Bài tập 2. Chứng minh tính chất tiêu điểm của hyperbol: các đoạn thẳng nối điểm X của hyperbol với tiêu điểm của nó tạo thành các góc bằng tiếp tuyến tại điểm X.

Bài toán 1. Một người muốn chèo thuyền qua sông đến điểm A, nằm đối diện chính xác với điểm xuất phát B. Vận tốc của dòng sông không đổi và bằng v. Người lái thuyền chèo sao cho vận tốc của người đó so với nước luôn hướng về điểm A và bằng v. Thuyền chuyển động theo quỹ đạo nào? Chúng ta hãy biểu thị chiều rộng của dòng sông d và xét một đường thẳng l, vuông góc với bờ của nó và nằm cách điểm xuất phát A của thuyền một khoảng d về phía hạ lưu. Ban đầu chiếc thuyền ở một khoảng cách d cả từ điểm B ở bờ đối diện và từ đường l. Vì tốc độ của nước và tốc độ của thuyền so với nước có độ lớn bằng nhau và bằng v nên nước đưa thuyền xuôi dòng bằng khoảng cách mà thuyền đi theo hướng điểm B.

54

KVANT 2024/№10

b

Hình 15

Hình 13

từ $S_{W}$ tất cả các khu vực $w_{1i}$ sẽ bị trừ (Hình 14, b). Do đó, hiệu $S_{W} S_{B}$ sẽ giảm theo diện tích của vùng Z w 1. Vì đa giác này là đều nên tất cả các vùng của nó đều có diện tích bằng nhau. Do đó, khi một cặp đoạn màu đen được đổi màu thành màu trắng thì độ chênh lệch $S_{W} S_{B}$ sẽ không đổi.

b)

Hình 14

13. Giả sử có một chu trình trong biểu đồ và để nó đi dọc theo đoạn ngang $a_{1}$. Lấy một hình thoi cạnh cạnh $a_{1}$ và đánh dấu cạnh song song là 2 trong đó. Lấy một hình thoi cạnh cạnh a 2 và đánh dấu cạnh song song $a_{3}$ trong đó. Và vân vân. Chuỗi kim cương tương tự có thể được xây dựng theo hướng khác. Kết quả là một chuỗi các viên kim cương cắt xuyên qua hình lục giác của chúng ta. Xe đạp phải vượt qua vạch này, đi theo các hướng khác nhau, điều này là không thể. 14. Hãy giới thiệu hệ tọa độ sao cho đường thẳng mới là trục OY. Hãy xem xét điểm giao nhau ngoài cùng bên trái của một số đường. Bây giờ chúng ta hãy xét các tia của những đường này đi từ điểm giao nhau này sang bên trái. Hãy chọn một số hai cái lân cận (Hình 15, a). Nếu chỉ có hai đường thẳng đi qua một điểm và một trong hai đường thẳng đó song song với OY thì xét tia trên của nó (Hình 15, b). Lưu ý rằng các tia này không có giao điểm với các đường khác (nếu không sẽ có giao điểm ở bên trái của chúng ta hoặc có cùng tọa độ OX nhưng cao hơn). Điều này có nghĩa là góc này được tạo bởi hai tia, tức là tất cả các điểm của nó đều bị tô bóng.

Rõ ràng là góc này tiến tới vô cực về bên trái, do đó, dù trục OY nằm ở vị trí nào thì ở đâu đó bên trái nó sẽ có các điểm được lấp đầy. Lý luận tương tự có thể được thực hiện bằng cách xem xét giao điểm trên cùng bên phải của các đường. Như vậy, có những điểm được tô màu ở cả hai phía của đường thẳng OY. 15. b) Chúng ta hãy chia mỗi mặt của khối đa diện này thành các hình bình hành. Mỗi cạnh của khối đa diện xác định một tập hợp các cạnh song song nhất định và do đó xác định một tập hợp các hình bình hành nhất định mà chúng ta gọi là một vùng. Mỗi hình bình hành xác định hai vùng chạy theo các hướng khác nhau dọc theo bề mặt của khối đa diện. Hai vùng này phải giao nhau một lần nữa dọc theo một hình bình hành khác mà chúng ta sẽ gọi là ghép đôi với hình bình hành đầu tiên. Các hình bình hành chính và ghép đôi đều bằng nhau và nằm trong các mặt phẳng song song, vì các cạnh của chúng bằng nhau và song song. Hơn nữa, mặt phẳng của bất kỳ hình bình hành nào cũng không thể song song với mặt phẳng của nhiều hơn một hình bình hành, vì nếu không thì khối đa diện sẽ không lồi. Các hình bình hành còn lại từ phân vùng cùng mặt F sẽ có các hình bình hành ghép đôi nằm trong cùng một mặt phẳng, nghĩa là các hình bình hành ghép đôi sẽ cộng lại thành một mặt bằng và song song với F (ghép đôi với F). Mỗi hai mặt sẽ có một tâm đối xứng và đối với các mặt liền kề thì các tâm này sẽ trùng nhau, vì chúng phải là tâm đối xứng của một cạnh chung. Vì khi di chuyển từ một mặt sang một mặt liền kề, chúng ta có thể đi dọc theo tất cả các mặt của một khối đa diện nhất định, tâm đối xứng sẽ chung cho tất cả các mặt, nghĩa là nó sẽ là tâm của toàn bộ khối đa diện. 16. Một mặt sẽ cần ít nhất 2 n 1 bước. Thật vậy, từ tính đối xứng của tình huống, ở bước đầu tiên, bất kỳ hai quả bóng nào cũng có thể được hoán đổi cho nhau. Giả sử đây là những quả bóng có số $1 и^{2.}$ Sau đó, sẽ mất ít nhất $мере^{2n}$ bước để di chuyển những quả bóng có số 3 đến vị trí của chúng. Mặt khác, 2 n 1 bước là đủ, vì sau khi di chuyển các quả bóng có số 3 đến vị trí của chúng, tất cả các quả bóng khác cũng sẽ ở đúng vị trí của chúng. 17. Lời giải được nêu trong [3].