Tứ giác có ba cạnh bằng nhau

Tứ giác có ba cạnh bằng nhau

TRƯỜNG KVANT

E.BAKAEV

Hãy thảo luận về điều này bài toán của M. Volchkevich. Tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC, CD bằng nhau. Tìm góc A và D của tứ giác nếu $‘^{B} 108 q, ‘^{C} 48 q$ (Hình 1).

Hình 1

Chúng tôi trình bày nhiều cách xây dựng bổ sung khác nhau giúp giải quyết bài toán. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để đoán về chúng… Ý tưởng chung là tìm các góc có tính chất tốt: ví dụ: một góc 60q hoặc hai góc, một góc có kích thước gấp đôi góc kia. Phương pháp đầu tiên (tam giác đều và hình thang). Hãy nhìn vào những con số trong điều kiện. Tôi không hiểu tại sao góc $в^{108q} и^{48q}$ lại thuận tiện, nhưng $вот^{108} q^{48} q 60 q$ đã là một góc tuyệt vời rồi! Từ đây bạn có thể đưa ra cách xây dựng bổ sung tiếp theo.

Hình 2

Chúng ta hãy đánh dấu một điểm E sao cho tam giác CDE đều và $‘^{BCE} 108 q$ (Hình 2). Như vậy, chúng ta vừa “thêm” một góc 60q vào góc $в^{48q}$ và được 108q. Tính chất quan trọng của góc 60q là nó là một phần của tam giác đều nên cùng với góc 60q cần phải hoàn thiện ngay toàn bộ tam giác đó.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20241002

Khi đó tứ giác ABCE có các góc B, C và các cạnh AB, CE bằng nhau nên tứ giác này là hình thang cân. Chúng ta có thể chứng minh điều đó theo cách này: chúng ta kéo dài AB và CE đến giao điểm tại điểm X (Hình 3), khi đó các góc trong tam giác BXC bằng nhau và do đó, nó bằng đùi trong Hình 3. Do đó XB = XC và XA = XE, tức là ‘AX cân và AE P BC. Do đó, ABCE (xem Hình 2) là một hình thang cân và chúng ta biết các góc của nó: $‘^{A} ‘^{E} 180 q ‘^{B} 72 q$. Tam giác ABC là tam giác cân, các góc của nó là A và $C равны^{180} q^{108} q^{2} 36 q$, sau đó là $‘^{ACE} ‘^{BCE} ‘^{BCA} 108 q^{36} q 72 q$. Hóa ra tam giác ACE là tam giác cân vì các góc C và E trong đó bằng 72q. Do đó, hai điểm A và D nằm trên đường trung trực của CE, tức là DAC $90 q 72 q^{18} q$. Từ đây dễ dàng nhận được đáp số: các góc trong tứ giác ABCD bằng $‘^{A} 36 q^{18} q 54 q, ‘^{D} 180 q^{30} q^{150} q$. Phương pháp thứ hai (hình thoi và hình phân giác). Ý tưởng của công trình này như sau. Chúng ta có các góc giữa cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai và giữa cạnh thứ hai và cạnh thứ ba. Bạn cũng có thể tạo một góc giữa cạnh thứ nhất và cạnh thứ ba - bạn cần di chuyển song song cạnh thứ nhất sang cạnh thứ ba. Nói cách khác, hãy hoàn thành tam giác ABC để tạo thành hình bình hành. Vì tất cả các cạnh sẽ bằng nhau nên trong trường hợp này nó sẽ là hình thoi. Hãy nói về các tính chất của hình thoi. Chúng ta hãy lấy một tam giác cân PQR và kéo dài chiều cao QO được vẽ đến đáy trong đó bằng chiều dài của nó - chúng ta nhận được điểm S (Hình 4).

Hình 4

27

TRƯỜNG HỌC

TRONG

“QUANTE”

4 hình tam giác bằng nhau được tạo thành và khi đó PQRS là hình thoi vì tất cả các cạnh đều bằng nhau. Ngoài ra, P R, Q S, P Q 180 q. Vì vậy, hãy xây dựng ‘ABC thành hình thoi ABCK có các góc 108q và 72q (Hình 5). Thật dễ dàng để tính toán

Hình 7

Hình 5

Có nghĩa là ACD 12 q, DCK 24 q. Cách xây dựng bổ sung này gợi ý: vẽ đường phân giác của góc DCK, vì 12 2 24. Hãy vẽ nó cho đến khi nó cắt AK tại điểm F (Hình 6). Tam giác DFC và KFC

Hình 6

hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa chúng. Kể từ $72 q 12 q^{60} q$, rồi đến KFC $DFC^{60} q$, rồi đến $AFD^{60} q$. Trong tam giác AFC, hai đường phân giác cắt nhau tại điểm D, nghĩa là đường phân giác thứ ba cũng đi qua điểm này! Sau đó là CAD CAK 2 18 q, và bây giờ thật dễ dàng tính các góc của tứ giác ABCD. Chúng ta có thể tạo ra một lời giải tương tự mà không cần hình thoi - chúng ta phản chiếu điểm D so với AC và thay vào đó, tất cả cách dựng bên trong tam giác ACK sẽ được thực hiện trong tam giác ACB. Phương pháp thứ ba (ngũ giác đều và đối xứng). Bản thân góc 108q có tính chất hình học tốt. Lưu ý rằng góc kề của nó là 72q và $72 q ˜^{5} 360 q$. Hãy lấy điểm O và vẽ các đoạn bằng nhau từ đó với các góc bằng nhau tới các điểm K, L, M, N, P (Hình 7). Khi đó góc giữa các đoạn liền kề chính xác là 72q. Có 5 hình tam giác bằng nhau nên trong hình ngũ giác KLMNP tất cả các cạnh và mọi góc đều bằng nhau - đây là hình ngũ giác đều. Dễ dàng tính được rằng tất cả các góc của nó bằng 108q. Biết được điều này, bạn có thể đoán: bạn cần hoàn thành tứ giác ABCD thành hình ngũ giác đều ABCST $(рис.^{8).}$ Sau đó ba

Hình 8

tam giác CDS cân với $углом^{60q}$ và do đó là tam giác đều. Do đó, cách dựng của chúng ta gồm một hình ngũ giác đều và một tam giác đều có cạnh chung CS. Hãy chứng minh rằng cách dựng này đối xứng qua l, đường phân giác vuông góc với CS. Đối với ‘CSD, đường thẳng l là trục đối xứng. Và đối với một hình ngũ giác đều, điều này cũng đúng - l là trục đối xứng của nó, điều này dễ hiểu từ phương pháp dựng hình ngũ giác đều của chúng ta (xem $рис.^{7).}$ Điều này có nghĩa là toàn bộ cấu trúc đối xứng với l. Do đó rõ ràng là DAB $108 q 2^{54} q$.

Bài toán

1. Tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC, CD bằng nhau. Tìm các góc của tứ giác nếu a) $B^{80} q$, $C^{80} q$; b) $B^{80} q$, C 100q; c) B 60q, C 80q; d) (M. Volchkevich, Ngày lễ toán học, 2020) B 90 q, $C^{150} q$;