Bài toán 5—8

28

e) B f) B f) B

KVANT 2024/№10

90 q, ‘ C 30 q; 70 q, ‘ C 170 q; 108 q, ‘ C 168 q.

2* (M. Volchkevich, Kỳ nghỉ Toán, 2022, lớp 7). Cho tứ giác ABCD biết AB = BC = CD, A 70 q và B 100 q. Góc C và D có thể bằng bao nhiêu?

3* (M. Evdokimov, Olympic miệng Moscow, 2023, lớp 7). Trong tứ giác lồi ABCD, các cạnh AB, BC và CD bằng nhau và góc D bằng tổng các góc A và C. Góc DAC là gì?

4* (M. Volchkevich, Olympic Toán Moscow, 2007, lớp 8). Tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC và CD bằng nhau, M là trung điểm của cạnh AD. Được biết, BMC 90 q. Tìm góc giữa hai đường chéo của tứ giác ABCD.

5* (Giải đấu các thành phố, 2004). Trên các cạnh KB và KC của tam giác KBC, lần lượt đánh dấu các điểm $A и_{D}$ sao cho AB = BC = CD. Các đoạn AC và BD cắt nhau tại điểm N. Chứng minh NI A BC, trong đó I là tâm của đường tròn nội tiếp KBC.

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý đến địa chỉ: [email protected]. Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường và lớp nơi bạn học. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

5. Trong $острове^{30}$ cư dân, mọi người đều là người nói thật (luôn nói sự thật) hoặc kẻ nói dối (luôn nói dối). Mọi người đều biết về mọi người, ai là ai. Người dân trên đảo đứng thành vòng tròn, mỗi người nói về người hàng xóm bên phải xem người đó là người nói thật hay nói dối, rồi nói tương tự về người hàng xóm bên trái. Có lẽ nào không ai nói điều tương tự hai lần?

B.Frenkin

$6.^{Есть}$ cờ vua $доска^{8} u^{8}$. Trong một lần di chuyển, bạn có thể chọn bất kỳ hình vuông ca rô $2 u 2,^{3} u^{3} или^{4} u^{4}$ nào và thay đổi màu của bốn ô góc của nó thành ô đối diện. Có thể a) làm cho bảng hoàn toàn trắng; b) làm cho hai ô liền kề có màu đen và $клетки^{—}$ ô còn lại có màu trắng? Đưa ra một thuật toán hành động hoặc chứng minh rằng điều này là không thể.

M. Evdokimov

7. Tìm tất cả các góc $D,^{0} D^{180} q$ sao cho có một tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng (chứa ít nhất hai điểm) có tính chất sau: với mọi điểm $^{A}$ $и^{B}$ trong tập hợp đều tồn tại $точка^{C}$ tập hợp sao cho $‘^{ACB} D$.

E. Bakaev

8. Hình chữ nhật ô dọc theo các đường lưới được cắt thành các dải - hình chữ nhật $шириной^{1}$ và chiều dài $больше^{1.}$ Trong mỗi dải, hai ô ngoài cùng được sơn màu đỏ. Chứng minh rằng từ mỗi góc của hình chữ nhật có một đường đi dọc theo các ô màu đỏ đến một góc khác (đường đi có thể được đi qua bằng cách di chuyển từ ô này sang ô liền kề ở bên cạnh).

E. Bakaev