Về bất biến Poncelet và bút chì đường tròn

Về bất biến Poncelet và bút chì đường tròn

P.KOZHEVNIKOV

Xung quanh định lý Poncelet

Định lý Poncelet là một trong những định lý hình học mà bạn có thể ngưỡng mộ không ngừng! Hãy để chúng tôi trình bày một trong những phiên bản “cổ điển” của công thức của nó (tất nhiên, các biến thể và khái quát đều được biết đến). Định lý Poncelet. Cho hai đường tròn trên một mặt phẳng và đường tròn thứ hai nằm bên trong đường tròn thứ nhất (Hình 1).

Hình 1

Giả sử có một đường đứt liên kết n khép kín, tất cả các đỉnh của nó nằm trên đường tròn đầu tiên và tất cả các liên kết của nó đều chạm vào đường tròn thứ hai. Khi đó có vô số đường đứt đoạn liên kết n khép kín như vậy và bất kỳ điểm nào trên đường tròn đầu tiên đều có thể là đỉnh của đường đứt đoạn đó. Thus, the construction of a polyline can be started from any point of the first circle, drawing a tangent to the second circle and obtaining a new intersection point on the first circle. The step-by-step construction of such a broken line is called the Poncelet process for a pair of given circles, and the broken line itself (inscribed in the first circle and circumscribed around the second) is called the Poncelet broken line or Poncelet trajectory. Về cơ bản, định lý Poncelet

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20250102

phát biểu rằng nếu quỹ đạo Poncelet, bắt đầu tại một điểm nào đó trên vòng tròn đầu tiên, hóa ra là tuần hoàn, tức là đóng sau một số bước, thì quỹ đạo khép kín này có thể được “xoay” giữa các vòng tròn. Chúng ta hãy tự hỏi: quỹ đạo của Poncelet có những đặc tính thú vị nào? Một tính chất thú vị có thể là một bất biến, tức là một đại lượng hoặc đặc tính không phụ thuộc vào việc lựa chọn quỹ đạo. Một ví dụ về bất biến số liệu được đưa ra trong bài toán M2817 từ “Bài toán Kvant (cô ấy lời giải xem số tạp chí này). Trong này bài toán một cặp đường tròn được coi là có họ Poncelet nội tiếp (2n)-giác, và người ta phát biểu rằng tỉ số giữa diện tích và tổng chiều dài các đường chéo chính là bất biến, tức là bất kỳ tam giác (2n)-Poncelet nào cũng có cùng giá trị. TRONG lời giải bài toán M2817 một bất biến hình học đáng chú ý thuộc họ Poncelet của (2n)-giác được sử dụng: các đường chéo chính của chúng cắt nhau tại một điểm cố định (không phụ thuộc vào việc chọn (2n)-giác). Chúng tôi sẽ giải quyết thực tế này trong bài toán 10 ở cuối bài viết. Chúng ta hãy xem xét phát biểu về một bất biến hình học khác đối với các quỹ đạo Poncelet tuần hoàn. Tuyên bố. Giả sử một cặp đường tròn: Z là quỹ đạo Poncelet liên kết n khép kín. Xét n điểm tiếp xúc của các mắt xích với Z. Khi đó khối tâm của hệ gồm n điểm này là một điểm cố định. Vì vậy, khối tâm của các điểm tiếp tuyến, hay chính xác hơn là khối tâm của một hệ có n khối lượng bằng nhau,

35

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

Nhân tiện, những từ in nghiêng là tiêu đề của một bài báo được xuất bản hai lần trong «Kvant» (xem «Kvant» số 9 cho năm 1981 và số 12 cho năm 1987). Bản thân luận án này là của Ya. I. Cuốn sách “Đại số giải trí” của Perelman. Đây là một ví dụ bài toán, có thể quy cho nhận định này: Một tảng băng có nhiệt độ 0 q C và khối lượng m được đặt trong nước có nhiệt độ 35 q C. Khối lượng của nước là 2 m. Xác định nhiệt độ của hỗn hợp, giả sử sự trao đổi nhiệt chỉ xảy ra giữa nước đá và nước. Biết rằng nhiệt dung riêng của nước đá nóng chảy là 340 kJ kg, nhiệt dung riêng của nước là 4,2 kJ kg q C. Giả sử toàn bộ băng tan hết, ta thu được phương trình

340 m 4,2 ˜ 3 m ˜ t

TRẺ EM HỌC SINH

giờ sau khi uống một thùng kvass và hỏi có bao nhiêu người cắt cỏ sẽ uống cùng một thùng đó trong 3 giờ. Từ “máy cắt cỏ” còn xa lạ với học sinh cũng như từ “thang cuốn” đối với ông bà của chúng ở thế kỷ trước.

Những độc giả tinh ý có lẽ đã thấy rằng hai bài toán 1 và 2 có vẻ khác nhau trên thực tế lại giống nhau về mặt toán học bài toán. Sự giống nhau là tuyệt đối, có thể thấy rõ từ bảng:

4,2 ˜ m ˜ 35 t.

Theo đó t < 0. Bất đẳng thức này có nghĩa là toàn bộ băng sẽ không tan. Một phần của nó sẽ vẫn ở dạng băng ở nhiệt độ 0 và tất cả nước sẽ nguội đến 0 độ. Nhiệt độ của hỗn hợp sẽ bằng không. Bây giờ chúng ta hãy nhớ bài toán vật lý này. Bài toán 2. Một người đàn ông chạy dọc theo thang cuốn. Lần đầu tiên anh đếm được 50 bước, lần thứ hai, di chuyển cùng chiều với tốc độ gấp ba lần, anh đếm được 75 bước. Anh ta sẽ đếm được bao nhiêu bước trên một thang cuốn đứng yên?

Dựa vào điều kiện của bài toán này, chúng ta lưu ý những điều sau. Một người không chạy dọc theo thang cuốn mà chạy dọc theo vành đai thang cuốn. Thang cuốn là một loại máy nâng và vận chuyển lớn và phức tạp. Bằng sáng chế đầu tiên cho thang cuốn có từ năm 1859; thang cuốn đầu tiên xuất hiện vào năm 1894 ở New York như một điểm thu hút khách du lịch và trên tàu điện ngầm vào năm 1911 ở London. Ở nước ta, những chiếc thang cuốn đầu tiên bắt đầu hoạt động vào năm 1935 tại tàu điện ngầm Moscow. Vì lý do này, bài toán về một người đàn ông chạy dọc theo thang cuốn không thể xuất hiện trong các cuốn sách có vấn đề vào những năm 30, thậm chí là những năm 40 của thế kỷ trước. Nhưng học sinh hiện đại đặt ra câu hỏi về bài toán cũ, trong đó 6 máy cắt cỏ vào một ngày nắng nóng ở 8

Rõ ràng là sau khi giải được bài toán 1 về một chiếc tàu máy, một chiếc thuyền và hai chiếc bè trên sông, chúng ta cũng đã giải được bài toán 2. Vậy đáp số với nó: 100 bước. Hình 1, được hiển thị ở bài toán 1, có thể dễ dàng được quy cho bài toán 2 về thang cuốn. Đồng thời, chúng tôi tin rằng một người chạy theo hướng chuyển động của thang cuốn - đây chính xác là điều mà một hành khách vội vã đi tàu điện ngầm thường làm. Nhưng trong điều kiện bài toán điều này không được nêu trực tiếp, vì vậy hãy xem xét trường hợp một người chạy ngược lại chuyển động của thang cuốn. Giả sử thang cuốn di chuyển từ trên xuống dưới và một người cố gắng leo từ dưới lên trên (Hình 2). Đối với anh ta, thang cuốn đóng vai trò như một loại thiết bị thể thao, một máy chạy bộ. Gọi N là một bậc thang ban đầu không nhìn thấy được và nằm ở khoảng cách l tính từ điểm bắt đầu nhìn thấy được của thang cuốn. Bước này và người gặp nhau ở đầu thang cuốn.

41

MẬT E MẬT CHÉY KI Y

Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử có một số nhiều tập hợp (một tập hợp trong đó các phần tử có thể được lặp lại) gồm các số nguyên M và một số số S. Cần kiểm tra xem có tập con các số trong M cộng với S hay không. Chưa có thuật toán nhanh nào để tìm tập con cần thiết. Do đó, người ta không biết liệu bài toán này có nằm trong P hay không. Tuy nhiên, chúng ta có thể nói chắc chắn rằng bài toán nằm trong NP. Nếu chúng ta được cấp một tập hợp số nhất định, thì chúng ta chỉ cần đảm bảo rằng chúng ta không bị lừa và thực sự được cho một tập con M, đồng thời tổng các số được cung cấp cho chúng ta bằng S. Vì lời giải có ​​thể được kiểm tra nhanh chóng, bài toán nằm trong NP. Ngoài ra, còn có lớp NP-đầy đủ bài toán, tức là lớp NP-bài toán “phức tạp” nhất. Nếu bạn tìm thấy ít nhất một số thuật toán “nhanh” lời giải thì điều này sẽ tự động có nghĩa là đối với mọi NP-bài toán đều có thuật toán “nhanh”. Và bài toán mà chúng tôi đã xem xét chính xác là NP-đầy đủ. Lưu ý rằng bài toán việc tìm tập con M có tổng S về cơ bản là một trường hợp đặc biệt của trò chơi mà trí tuệ nhân tạo nghĩ ra. Chỉ là trong trường hợp này, trò chơi được chơi trên một bảng, một trong các cạnh của nó bằng 1. Vì vậy, nếu tồn tại một thuật toán tốt thì rất có thể một người sẽ khó đoán được nó, và thậm chí còn hơn thế nữa đối với trí tuệ nhân tạo hiện đại. Tất cả những gì còn lại là bằng cách nào đó sắp xếp các lựa chọn. bài toán như vậy thường là NP-đầy đủ. Ví dụ như Sudoku cũng nằm trong số đó. Vì vậy, bạn có thể chắc chắn rằng khi một cấp độ mới được tạo ra, các con số trên bảng sẽ xuất hiện ngẫu nhiên và “lời giải” cũng được chọn ngẫu nhiên. Vì vậy, rất có thể một số cấp độ sẽ không có sự kết hợp chính xác duy nhất và điều này tất nhiên là không tốt cho lắm. Rốt cuộc, với lời giải, bạn sẽ phải hành động ngẫu nhiên vào một lúc nào đó. Chúng ta hãy tóm tắt lý luận của mình bằng nhận xét rằng trí tuệ nhân tạo phải được sử dụng cùng với trí thông minh (con người) chứ không hy vọng vào sự hoàn hảo của nó. Tuy nhiên, thật tuyệt khi anh ấy có thể mang đến cho một người biết suy nghĩ rất nhiều điều để suy nghĩ. trước-

ĐỂ ROUGE OK

Hãy đặt cược xem bạn có thể nghĩ ra bao nhiêu khái quát dựa trên trò chơi này! Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng trò chơi đang được thảo luận đã được phát minh trước đó (xem [3]). Vì vậy, vẫn còn phải xem liệu trí tuệ nhân tạo có tự tạo ra các quy tắc như vậy hay liệu nó có thực sự sử dụng vật liệu có sẵn hay không.

Bài tập

3. Trong chụp cắt lớp rời rạc bài toán, trở ngại duy nhất cho sự độc đáo của lời giải là sự tồn tại của “bộ tứ cờ vua”. Đưa ra ví dụ về những trở ngại đối với tính duy nhất của lời giải có ​​thể nảy sinh với lời giải bài toán do trí tuệ nhân tạo đề xuất. 4. Có phải lời giải bài toán là giải pháp duy nhất được đề xuất bởi trí tuệ nhân tạo (Hình 8) không?

Hình 8

Văn học

1. H. J. Ryser. Tính chất tổ hợp của ma trận số 0 và số 1. – Tạp chí Toán học Canada, 2010, n. 9, tr. 269–275. 2. D.V.Musatov. Độ phức tạp tính toán. – MIPT, 2016. 3. https: www.digitaltrends.com game sumlete-chatgpt-ai-game-design-ethics

43

F IZY CHES KY

vị trí cân bằng bằng 0, áp suất đạt cực đại và cực tiểu $p_{0} r$ ‘p. Những khoảnh khắc giống nhau về thời gian và địa điểm trong không gian tương ứng với những vận tốc có trật tự cực đại của chuyển động của hạt r Av O. Nói cách khác, ở những nơi này và tại những thời điểm này mật độ dòng năng lượng cực đại trong sóng đạt được, bằng ’ pAv O. Hơn nữa, dấu của dòng năng lượng theo hướng trục x ở những nơi này (nơi không có sự dịch chuyển của hạt nào) là như nhau. Ở những nơi mà các hạt chuyển động với tốc độ tối đa, lượng áp suất bổ sung so với giá trị trung bình bằng không. Tích của tốc độ chuyển động có trật tự (không nhiệt) của chúng với áp suất trung bình ở nơi này cũng cho mật độ dòng năng lượng, nhưng những dòng năng lượng này chảy ở một nơi và ở lân cận gần nhất dọc theo hướng truyền sóng có dấu ngược nhau, vì tốc độ chuyển động của sóng khác nhau về hướng ở những nơi này. Trong một sóng truyền theo hướng +x, giá trị trung bình theo thời gian của mật độ thông lượng năng lượng theo hướng này là dương và bằng một nửa giá trị cực đại, giá trị này đạt được chính xác ở những nơi đó và tại những thời điểm đó khi và khi độ dịch chuyển của các hạt khỏi vị trí cân bằng bằng không. Như vậy, theo thời gian, dòng năng lượng dao động với tần số 2v O, cao gấp đôi tần số dao động của các hạt trong chuyển động sóng, bằng v O.

Tính chất sóng

F A C U L TATIVE

Năng lượng sóng. Âm lượng

Năng lượng của sóng âm trong một thể tích có kích thước tuyến tính ngang vượt quá đáng kể bước sóng tỷ lệ với bình phương biên độ dao động áp suất trong sóng. Nếu giả sử không có tổn thất và nguồn âm tạo ra công suất không đổi theo thời gian, tạo ra sóng truyền theo mọi hướng có thể thì khi khoảng cách từ nguồn âm đến nơi ghi sóng theo hướng không đổi đã chọn tính từ nguồn, biên độ của sóng A giảm. Ví dụ: nếu nguồn và máy thu âm thanh ở trong một môi trường đồng nhất và kích thước của nguồn D và bước sóng O của âm thanh nhỏ so với khoảng cách R từ nguồn đến máy thu thì tích của khoảng cách và biên độ của sóng ở khoảng cách này được bảo toàn: AR const.

Sự nhận biết tín hiệu âm thanh có những đặc điểm nhất định. Được biết, dải tần của tín hiệu mà con người cảm nhận được dưới dạng âm thanh là từ 20 Hz đến 20 kHz đối với giới trẻ. Càng lớn tuổi, độ nhạy với tần số cao càng giảm. Trong trường hợp này, các tín hiệu có cùng biên độ dao động của các hạt trong sóng ở các tần số khác nhau được coi là khác nhau về âm lượng. Hình 1 cho thấy các mức âm thanh ở các tần số khác nhau được coi là có âm lượng bằng nhau. Độ nhạy lớn nhất đạt được với

Đối với sóng âm có biên độ dao động áp suất nhỏ, nguyên lý chồng chất là đúng. Trong trường hợp này, các sóng truyền qua cùng một vùng không gian theo các hướng khác nhau không ảnh hưởng lẫn nhau. Đối với sóng âm thanh (cũng như đối với ánh sáng, tức là sóng điện từ), hiện tượng sóng nổi tiếng diễn ra. Cụ thể là: giao thoa và nhiễu xạ sóng. Không giống như sóng ánh sáng, sóng âm trong chất khí không thể hiện tính chất lượng tử.$^{1}$

1 Nhân tiện, hiệu ứng lượng tử xảy ra đối với sóng âm trong chất rắn. Chính những hiệu ứng này quyết định sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung của chất rắn ở nhiệt độ thấp.

Hình 1. Sự phụ thuộc của mức âm lượng vào tần số

45

F IZY CHES KY

niya ’ $p = p_{0}$ tốc độ của âm thanh không phụ thuộc vào biên độ dao động áp suất. Nhưng khi biên độ áp suất trong sóng tăng đến giá trị tương đương (hoặc lớn hơn) với giá trị trung bình $p_{0}$ thì tốc độ truyền âm tăng lên (phát sinh sóng xung kích).

Chuyển động của nguồn âm thanh và máy thu

Nếu một nguồn âm thanh di chuyển so với chất khí, thì sự phân bố không gian của các khu vực có áp suất cao và thấp (áp suất cực đại và cực tiểu trong sóng) phụ thuộc vào hướng truyền sóng âm và vectơ tốc độ của nguồn âm thanh (cả hướng và độ lớn của tốc độ nguồn đều được tính đến). Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler, được đặt theo tên của nhà vật lý đầu tiên giải thích hiệu ứng này. Ví dụ, một người đứng bất động (trong thời tiết lặng gió) và lắng nghe âm thanh của một chiếc ô tô (tàu hỏa hoặc máy bay trực thăng) đi ngang qua mình với tốc độ nhỏ hơn tốc độ âm thanh sẽ nghe thấy tần số rung động của âm thanh cao hơn khi nguồn âm thanh đến gần anh ta so với tần số của âm thanh đến người nghe từ cùng một nguồn âm thanh di chuyển ra xa anh ta. Chuyển động của bản thân người nghe so với không khí cũng dẫn đến sự phụ thuộc của độ cao của âm thanh nghe được vào hướng truyền sóng âm cũng như độ lớn và hướng tốc độ chuyển động của người nghe.

Máy bay siêu thanh

Nếu một nguồn âm thanh di chuyển so với môi trường khí với tốc độ vượt quá tốc độ âm thanh (một số máy bay hiện đại có thể bay trong không khí với tốc độ lớn hơn tốc độ âm thanh), thì trong trường hợp này, toàn bộ không gian được chia thành hai vùng: một vùng chưa bị sóng âm chiếm giữ và ở vùng kia đã tồn tại sóng âm. Nếu nguồn âm như vậy chuyển động thẳng và đều thì có một bề mặt hình nón ngăn cách hai vùng này. Họ gọi nó là hình nón Mach, được đặt theo tên của nhà vật lý đầu tiên mô tả nó. Ở đỉnh của hình nón này có một nguồn âm và đỉnh di chuyển theo

F A C U L TATIVE

độ cao của nguồn âm thanh. Trong trường hợp này, rất có thể máy bay đã bay qua vị trí cách người quan sát đứng bất động trên mặt đất một khoảng tối thiểu và sóng âm vẫn chưa đến được với người quan sát. Trong trường hợp này, tại thời điểm sóng âm đến người nghe, áp suất (pop) thay đổi mạnh, sau đó người ta nghe thấy tiếng gầm của máy bay. Hơn nữa, từ cảm giác âm thanh, có vẻ như từ một vị trí phía trên người nghe, hai nguồn âm thanh đang phân tán theo các hướng khác nhau: một theo hướng máy bay bay và một theo hướng ngược lại. Đạn bắn ra từ một số loại súng hiện đại rời nòng với tốc độ gấp đôi tốc độ âm thanh. Và trên một phần đáng kể của đường bay, tốc độ của viên đạn vượt quá tốc độ âm thanh. Vì vậy, câu nói rất đúng: “nếu bạn nghe thấy tiếng đạn bay thì nó không phải của bạn”, tức là nó đã bay qua và sẽ không trúng bạn.

Sóng âm trong môi trường không đồng nhất

Rõ ràng là môi trường truyền sóng âm có thể không đồng nhất. Ví dụ, người ta biết rằng trong không khí (ngay cả trong không khí tĩnh) cả nhiệt độ và mật độ đều có thể thay đổi theo độ cao trên mức ngang ban đầu đã chọn. Do đó, sóng trong môi trường không đồng nhất như vậy có thể thay đổi hướng truyền nếu chúng di chuyển từ một khu vực có một tập hợp các đặc điểm môi trường sang một khu vực có tập hợp các đặc điểm môi trường khác. Trong trường hợp này, các mối quan hệ nhất định được thỏa mãn giữa sóng tới trên mặt phân cách giữa các mặt cắt, phản xạ từ ranh giới này hoặc sóng truyền qua mặt phân cách này. Áp dụng các định luật phản xạ và khúc xạ tương ứng. Nếu chúng ta giả sử rằng không có tổn hao, bề mặt phân cách phẳng và kích thước hình học của nó lớn hơn đáng kể so với bước sóng, thì các định luật này trùng khớp với các định luật tương ứng trong quang học hình học và dựa trên các định luật bảo toàn trong cơ học. Cụ thể: về định luật bảo toàn động lượng và năng lượng. Tất nhiên, có những tình huống trong đó các bước sóng có thể so sánh được

46

KVANT 2025/№1

với kích thước của các giao diện và bản thân các ranh giới có thể không bằng phẳng mà cong. Trong những trường hợp như vậy, các hiệu ứng sóng tương tự như đối với sóng điện từ có thể xuất hiện, tức là nhiễu xạ và giao thoa.

Sóng bề mặt

Ví dụ, nếu môi trường khí không đồng nhất và có giao diện sắc nét, tách biệt khỏi các khu vực có mật độ khác nhau của cùng một chất khí (ở nhiệt độ khác nhau, nhưng cùng áp suất) hoặc các khu vực có thành phần hỗn hợp khí khác nhau, cũng có mật độ khác nhau, thì trong trường hấp dẫn, các chất được đặt sao cho thành phần ít đậm đặc hơn nằm phía trên thành phần đậm đặc hơn. Trong tình huống như vậy, có thể hình thành và lan truyền cái gọi là sóng bề mặt dọc theo bề mặt này. (Một chất tương tự là sóng hấp dẫn trên bề mặt nước.) Tốc độ truyền của chúng phụ thuộc vào mật độ trên $U_{в}$ và dưới $U_{н}$ của giao diện, cũng như độ lớn của gia tốc trọng trường g. Và điều thú vị nhất là tốc độ truyền của những sóng như vậy phụ thuộc vào cả bước sóng và biên độ. Tất nhiên, trong khí quyển ở các độ cao khác nhau, mật độ không khí khác nhau và các sóng bề mặt như vậy đôi khi được quan sát thấy dưới dạng một dạng mây cụ thể, nhưng tần số dao động ở các sóng đó nhỏ đến mức chúng không rơi vào dải tần số mà chúng ta có thể nghe thấy. Nói cách khác, những sóng như vậy không thể gọi là sóng âm.

Bài toán dành cho độc lập lời giải

1. Hệ số tỷ lệ trong công thức $v^{2} \sim RT 0$ đối với khí hydro $( H_{2} )$ ở các nhiệt độ khác nhau $T_{1} = 10$ K và $T_{2} = 300$ K là bao nhiêu? 2. Tốc độ âm thanh trong hỗn hợp khí heli và hydro có cùng nồng độ phân tử của các chất này trong điều kiện bình thường là bao nhiêu? 3. Tốc độ âm thanh trong bầu khí quyển của Sao Thổ có nhiệt độ trung bình xấp xỉ 140 K là bao nhiêu? Thành phần khí quyển của Sao Thổ: $H_{2}$ (khoảng 96%), He (khoảng 3%), $CH_{4}$ (khoảng 0,4%).

4. Một đứa trẻ cáu kỉnh hét lên sao cho cách miệng 1 m thì mức âm thanh là 120 dB. Năng lượng tiếng hét của anh ta được phân bổ đều trên các tần số trong phạm vi (1–7) kHz. Ở khoảng cách nào thì đứa trẻ sẽ không còn nghe thấy tiếng khóc của mình nữa? 5. Biên độ dao động của áp suất không khí (trong điều kiện bình thường) trong một sóng hình sin phẳng là bao nhiêu, trong đó biên độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng là 1 mm và bước sóng là 1 m? Mật độ dòng năng lượng trong sóng này là gì? 6. Âm lượng (tính bằng dB) trong sóng so với bài toán trước đó là bao nhiêu nếu tần số dao động là 3000 Hz? 7. Bên trong một quả bóng có thành cao su mỏng có một chất gọi là NOVEK ở trạng thái khí (chất này có khối lượng mol rất lớn). Bên ngoài, không khí ở điều kiện bình thường. Bán kính quả bóng là 0,5 m. Một sóng âm phẳng có tần số 10 kHz truyền vào quả bóng. Ở xa quả bóng này, thiết bị ghi âm lượng âm thanh là 50 dB. Nên đặt micro ở đâu để thu được âm lượng tối đa? Khối lượng tối đa này là bao nhiêu? 8. Một chiếc máy bay bay ở độ cao 1000 m với vận tốc không đổi 200 m/s. Cánh quạt của chiếc máy bay này có ba cánh và quay với tần số 1000 vòng/phút. Ngay bên dưới quỹ đạo (trên quỹ đạo) có một người quan sát. Tần số âm thanh mà người quan sát này nghe được vào những thời điểm đó khi máy bay ở cách anh ta 3 km? 9. Trong một miệng núi lửa khổng lồ (đường kính hơn 10 km) của một ngọn núi lửa đã tắt từ lâu với thành cao (0,5 km), không khí lạnh $( - 10 \infty$ C). Không khí ấm di chuyển chậm trên miệng núi lửa $( + 20 \infty$ C). Tốc độ truyền của sóng bề mặt (tại bề mặt giữa không khí ấm và lạnh) có bước sóng 10 m là bao nhiêu? Áp suất khí quyển là $10^{5}$ Pa. 10. Tại sao trong thế kỷ trước, những bức tường được làm theo hình một phần tư hình cầu với bán kính 5–6 m trên các khu vực sân khấu mở phía trên bục cao khoảng 1 m, tức là gần bằng toàn bộ chiều rộng của các hàng ghế dài dành cho khán giả đứng trước khu vực này?